2.5.2 分式方程的应用 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程的应用，梳理解题核心、六步解题法、高频题型及常用公式，通过工程、行程等实际问题导入，连接分式方程解法，搭建从理论到应用的学习支架，帮助学生找准等量关系。 其亮点在于结构化解题步骤与分类题型设计，强调双重检验，结合数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型意识）。实例如工程问题甲乙合作、行程问题速度变化分析，易错小结助力学生规避错误。学生能提升实际问题解决能力，教师可高效开展教学。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 2.5.2分式方程的应用 第2章 分式 湘教版数学八年级上册2.5.2 分式方程的应用同步练习题 核心知识点梳理 1. 解题核心：利用分式方程解决实际问题，核心是找准题目中的等量关系，列方程求解，必须双重检验。 2. 分式方程应用题六步解题法： ① 审：审题，梳理已知量、未知量，找准等量关系；② 设：设未知数（优先设所求量，注意带单位）；③ 列：根据等量关系列出分式方程；④ 解：解可化为一元一次方程的分式方程；⑤ 验：双重检验（检验是否为方程的解、是否符合实际题意）；⑥ 答：规范作答，补全单位。 3. 高频题型分类：工程问题、行程问题、销售单价问题、增长率问题、调配问题。 4. 常用等量公式： 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（常设工作总量为1）； 行程问题：路程=速度×时间； 销售问题：单价=总价÷数量。 5. 关键注意：实际问题中，人数、速度、数量等均为正数，求出的增根、负数解均需舍去。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 某工程队承接一项工程，甲单独完成需要x天，乙单独完成比甲多3天，则乙的工作效率为（） A. $$\dfrac{1}{x+3}$$ B. $$\dfrac{1}{x-3}$$ C. $$x+3$$ D. $$x-3$$ 2. 小明骑车去图书馆，路程为12千米，实际速度比原计划快2千米/时，提前半小时到达。设原计划速度为x千米/时，列方程正确的是（） A. $$\dfrac{12}{x}-\dfrac{12}{x+2}=\dfrac{1}{2}$$ B. $$\dfrac{12}{x+2}-\dfrac{12}{x}=\dfrac{1}{2}$$ C. $$\dfrac{12}{x}-\dfrac{12}{x-2}=\dfrac{1}{2}$$ D. $$\dfrac{12}{x-2}-\dfrac{12}{x}=\dfrac{1}{2}$$ 3. 用100元购买笔记本，打折后单价降低2元，多买了5本。设原价为x元，下列方程正确的是（） A. $$\dfrac{100}{x-2}-\dfrac{100}{x}=5$$ B. $$\dfrac{100}{x}-\dfrac{100}{x-2}=5$$ C. $$\dfrac{100}{x+2}-\dfrac{100}{x}=5$$ D. $$\dfrac{100}{x}-\dfrac{100}{x+2}=5$$ 4. 甲、乙两人加工零件，甲每小时比乙多加工2个，甲加工80个零件的时间与乙加工60个零件的时间相等。设乙每小时加工x个零件，列方程为（） A. $$\dfrac{80}{x}=\dfrac{60}{x+2}$$ B. $$\dfrac{80}{x+2}=\dfrac{60}{x}$$ C. $$80x=60(x+2)$$ D. $$\dfrac{80}{x}-\dfrac{60}{x}=2$$ 5. 分式方程解实际问题，必不可少的步骤是（） A. 设未知数 B. 列方程 C. 检验 D. 化简 6. 某工厂生产零件，实际每天产量是原计划的1.2倍，提前4天完成任务。设原计划x天完成，方程正确的是（） A. $$\dfrac{1}{1.2x}=\dfrac{1}{x-4}$$ B. $$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{1.2x}=4$$ C. $$\dfrac{1}{x-4}=1.2\times\dfrac{1}{x}$$ D. $$\dfrac{1}{x}+4=\dfrac{1}{1.2x}$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 7. 一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需x天完成，两人合作一天的工作量为________。 8. 轮船顺水航行40千米与逆水航行30千米所用时间相同，已知水流速度为2千米/时，设船在静水中速度为x千米/时，可列方程________。 9. 购买同种文具，花费60元的购买数量比花费48元的数量多2件，设文具单价为x元，列方程为________。 10. 分式方程解决实际问题的检验，除检验方程解的正确性外，还要检验________。 11. 甲、乙两队修路，甲每天比乙多修10米，甲修150米的时间和乙修120米的时间相同，设乙每天修x米，列方程：________。 12. 某班集资买书，原计划人均摊x元，后有5名同学加入，人均少摊2元，总集资额不变，可列方程________。 三、解答题（共52分） 13.（16分）工程问题： 一项工程，甲单独完成需要20天，乙单独完成所需天数是甲的1.5倍，若甲先做5天，剩下的由甲、乙合作完成，求还需要多少天？（列分式方程求解） 14.（18分）行程问题： A、B两地相距60千米，某人骑自行车从A地到B地，实际速度比原计划每小时快5千米，结果提前1小时到达。求原计划的骑行速度。 15.（18分）销售应用问题： 超市用3000元购进一批零食，上架后很快售完，又用2400元购进第二批同种零食，第二批单价比第一批便宜2元，购进数量比第一批少10袋，求第一批零食的单价。 参考答案及详细解析 一、选择题 1.A（工作效率=1÷工作时间，乙工作时间为$$x+3$$天，效率为$$\dfrac{1}{x+3}$$）； 2.A（原计划时间$$\dfrac{12}{x}$$，实际时间$$\dfrac{12}{x+2}$$，时间差为0.5小时）； 3.A（打折后数量-原价数量=多买的5本）； 4.B（甲效率$$x+2$$，甲乙工作时间相等，列等量方程）； 5.C（实际应用题必须双重检验，是必考关键步骤）； 6.C（实际效率=1.2×原计划效率，实际时间$$x-4$$）。 二、填空题 7. $$\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{x}$$； 8. $$\dfrac{40}{x+2}=\dfrac{30}{x-2}$$（顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度）； 9. $$\dfrac{60}{x}-\dfrac{48}{x}=2$$； 10. 结果是否符合实际题意； 11. $$\dfrac{150}{x+10}=\dfrac{120}{x}$$； 12. $$\dfrac{总金额}{x}+5=\dfrac{总金额}{x-2}$$。 三、解答题 13. 解：设还需要$$x$$天完成， 乙单独完成天数：$$20\times1.5=30$$天，甲效率$$\dfrac{1}{20}$$，乙效率$$\dfrac{1}{30}$$， 列方程：$$\dfrac{5}{20}+\left(\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}\right)x=1$$， 化简：$$\dfrac{1}{5}+\dfrac{5}{60}x=1$$，$$\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{12}x=1$$， 解得：$$x=9.6$$， 检验：$$x=9.6$$是方程的解，且符合实际。 答：还需要9.6天完成。 14. 解：设原计划骑行速度为$$x$$千米/时， 原计划时间$$\dfrac{60}{x}$$小时，实际速度$$(x+5)$$千米/时，实际时间$$\dfrac{60}{x+5}$$小时， 列方程：$$\dfrac{60}{x}-\dfrac{60}{x+5}=1$$， 去分母：$$60(x+5)-60x=x(x+5)$$， 化简：$$300=x^2+5x$$，即$$x^2+5x-300=0$$， 解得：$$x_1=15，x_2=-20$$（速度为负，舍去）， 检验：$$x=15$$是方程的解，符合实际题意。 答：原计划骑行速度为15千米/时。 15. 解：设第一批零食单价为$$x$$元，则第二批单价为$$(x-2)$$元， 第一批数量：$$\dfrac{3000}{x}$$袋，第二批数量：$$\dfrac{2400}{x-2}$$袋， 列方程：$$\dfrac{3000}{x}-\dfrac{2400}{x-2}=10$$， 化简得：$$300(x-2)-240x=x(x-2)$$， 整理：$$x^2-62x+600=0$$，解得$$x_1=50，x_2=12$$， 检验：$$x=50$$、$$x=12$$均为方程的解，且符合实际。 答：第一批零食单价为50元或12元。 本节易错小结 1. 忽略双重检验：只检验方程解，忘记检验结果是否符合实际意义（负数、不合理数值需舍去）； 2. 找错等量关系：行程、工程问题中混淆时间、效率、速度的前后变化关系； 3. 单位不统一：题目中出现小时、分钟，千米、米等不同单位，未统一直接列方程； 4. 设未知数、作答不写单位，步骤缺失导致扣分； 5. 混淆顺水/逆水、提速/减速的数量关系，列反方程。 学习目标 1.理解题目中的数量关系正确列出分式方程； 2.理解题目中的数量关系正确列出分式方程； 3.列出分式方程并求解，从而解决实际问题. 学习目标 例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 表格法分析如下： 工作时间（个月） 工作效率 工作总量（1） 甲队 乙队 等量关系： 甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量=“1” 设乙单独完成这项工程需要 x 个月. 列分式方程解决工程问题 1 解：设乙单独 完成这项工程需要 x 个月.记工作总量为 1，甲的工作效率是 ，根据题意得 即 方程两边同乘 2x，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，2x≠0. 所以，原分式方程的解为 x = 1. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. 想一想：本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量=“1” 此时表格怎么列，方程又怎么列呢？ 设乙单独完成这项工程需要 x 个月.则乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是 ，两队合作的工作效率 是 工作时间(个月) 工作效率 工作总量（1） 甲单独 两队合作 此时方程是： 1 表格为 “3 行 4 列” 工程问题 1. 题中有“单独”字眼通常可知工作效率； 2. 通常间接设元，如××单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率； 3. 弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效 = 甲乙两队工作效率的和”. 归纳总结 4. 解题方法：可概括为“321”，即 3 指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2 指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1 指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和 = 全部工作总量. 例1 用 A，B 两种型号的机器人搬运原料，已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 200 kg，且 A 型机器人搬运 10 000 kg 所用时间与 B 型机器人搬运 8 000 kg 所用时间相等， 求这两种机器人每小时分别 搬运多少原料. 典例精析 上述问题中存在以下两个等量关系： 设 B 型机器人每小时搬运 x kg，则由等量关系 (2) 可得，A 型机器人每小时搬运 (x + 200) kg. (1) A 型机器人搬运 10 000 kg 所用时间 = B 型机器人搬运 8 000 kg 所用时间. (2) A 型机器人每小时搬运量 = B 型机器人每小时搬运量＋200kg. 再根据等量关系 (1)，可列出如下方程： 经检验，x = 800 是原分式方程的解，且符合题意. 将方程两边同乘最简公分母 x(x＋200)，得 10 000x = 8 000(x + 200)， 解得 x = 800. 由此可知，B 型机器人每小时搬运原料 800 kg，A 型机器人每小时搬运原料 1000 kg. 2 列分式方程解决行程问题 例2 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动，现有两条线路可供选择：线路一全程 25 km，线路二全程 30 km. 若走线路二的平均车速是走线路一 的 1.5 倍，所花时间比走线路一少用 10 min，则走 线路一的平均车速为多少? 乡村 学校 线路一 线路二 分析 本题涉及的等量关系是： 走线路一的时间 - 走线路二的时间 = h. 平均车速/(km/h) 路程/km 时间/h 线路一 线路二 设走线路一的平均车速为 x km/h，则可得下表： x 1.5x 25 30 解：设走线路一的平均车速为 x km/h，则走线路二的平均车速为 1.5x km/h. 根据等量关系，可列出如下方程： 解得 x = 30. 答：走线路一的平均车速为 30 km/h. 经检验，x = 30 是原分式方程的解，且符合题意. 练一练：1. 一轮船往返于 A、B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到达.已知 A、B 两地相距 80 千米，水流速度是 2 千米/时，求轮船在静水中的速度. 检验：x = －18不合题意，舍去. 解：设轮船在静水中的速度为 x 千米/时,根据题意得 解得 x = ±18. 故 x = 18. 答：轮船在静水中的速度为 18 千米/时. 方程两边同乘 (x - 2)(x + 2) 得 80x + 160－80x + 160 = x2 －4. 返回 B 考试考法 16 2.神舟二十二号飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲、乙两组被分配了4 800个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的1.5倍，整个生产任务共用32天完成，则乙组每天能生产________个专用控制元件． 135 考试考法 17 返回 考试考法 考试考法 19 返回 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的顺序轮流工作至完成所有任务，共需________小时． 考试考法 20 考试考法 21 返回 考试考法 5. 国庆期间，小明和小李两家打算自驾去 某地游玩.制定行走路线时，发现有两种方案供选择，详见下表. 日常情况 方案一：走国道 方案二：走高速公路 路程 全程63千米 全程108千米 优缺点分 析 距离短，路上货车较 多，影响速度，比方案 二晚到10分钟 距离长，速度快，平均 速度是方案一平均速度 的2倍 考试考法 23 （1）求日常情况下方案一需要的时间. 【解】设日常情况下方案一需要的时间为 小时，则日常情 况下方案二需要的时间为 小时， 根据题意，得，解得 . 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. 答：日常情况下方案一需要的时间为 小时. 考试考法 24 （2）国庆期间规定货车白天不能走国道，小明家预判没有 货车的影响走国道会更快，于是决定走国道；小李家仍选择 走高速.同时出发20分钟后，他们发现小李家比小明家多走了 14千米，小明家在不违章的情况下，平均车速达到每小时60 千米以上.请问以此速度，在不考虑其他因素影响的情况下， 哪家能先到达目的地？请说明理由. 考试考法 25 小明家先到达目的地.理由如下： 设小明家的平均车速为 千米/时，则小李家的平均车速为 千米/时，所以小明家需要的时间为 小时， 小李家需要的时间为 小时. . 由题知 ，所以 . 考试考法 26 又因为，所以 . 所以.所以 . 所以小明家先到达目的地. 返回 考试考法 分式方程的应用 类型 行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等 方法 步骤 一审二找三设四列五解六验七答 321法 课堂小结 1.《北京市中小学人工智能教育地方课程纲要(试行)(2025年版)》指出，从2025年秋季学期开始，全市中小学校开展人工智能通识教育，每学年不少于8课时，实现中小学生全面普及．为了响应号召，刘老师决定利用AI研发的两个模型R1和R2设计一节通识课．已知R2单独设计的时间比R1少3小时，若两模型合作设计，仅需2小时即可完成．设R2单独设计需要x小时，则下列方程正确的是(　　) A.＋＝2 B.＋＝C.＋＝2 D.＋＝ 【点拨】设甲组每天能生产x个专用控制元件，则乙组每天能生产1.5x个专用控制元件，根据题意可列方程为＋＝32，解得x＝90，经检验，x＝90是所列分式方程的解，且符合题意，所以乙组每天能生产1.5×90＝135(个)专用控制元件． 3.[郴州市期中]甲、乙、丙三名工人共同承担生产一批零件的任务．已知甲、乙、丙、丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我的工作效率＝乙的工作效率－； 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等： 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．我知道工程问题中三者关系是工作效率×工作时间＝工作总量． 4.长株潭城际铁路是湖南省境内一条连接长沙、株洲、湘潭的城际铁路．铁路建成后，从长沙到株洲的铁路运行里程由原来的70 km缩短至60 km，城际铁路设计的平均时速要比原来的平均时速快110 km，运行时间是原来时间的.则该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为 ________h. 【点拨】设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的时间为x h．根据题意，得－＝110，解得x＝，经检验，x＝是原分式方程的解，且符合题意，所以x＝×＝，所以该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为h. $