精品解析：2026年6月福建厦门市翔安区九年级数学第三次阶段测试卷

厦门市翔安区2026年九年级适应性考试 数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．试卷共4页，三大题，25小题，另有答题卡． 2．解答内容一律写在答题卡上，否则不能得分；作图或辅助线请使用2B铅笔． 一、选择题（本大题有10题，每题4分，共40分，每题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的） 1. 如果把向东走记作，那么表示的实际意义是（ ） A. 向东走 B. 先向东走，再向西走 C. 向西走 D. 向西走 2. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ） A. B. C. D. 7. 某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（　　） A. ②→③→①→④ B. ③→④→①→② C. ①→②→④→③ D. ②→④→③→① 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数，且与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若有意义，则的值可以是________．（任意写出一个符合条件的值即可） 12. 如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=_． 13. 若点，都在反比例函数的图像上，则______（填“”或“”）． 14. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为________． 15. 如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则______． 16. 一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 三、解答题（本大题有9题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且连接、．求证：． 19. 先化简，再代入求值：，其中． 20. 某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，甲品牌洗衣液每瓶的进价是元/瓶，乙品牌洗衣液每瓶的进价是元/瓶．销售时，甲品牌洗衣液的售价为元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为元/瓶．若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过元．则 （1）超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？ （2）最大利润是多少元？ 21. 提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）． 背景介绍：这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”． 尝试解决： （1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕； （2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图中过点画了一条直线交于点．你觉得小华能成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由． 22. 五月是荔枝上市的时节，此时市场上售价为元至元之间．某水果公司以元的成本价新进箱荔枝，每箱质量．在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下： 4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7 4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0 整理数据： 质量（） 数量（箱） 分析数据： 平均数 众数 中位数 （1）直接写出上述表格中，的值； （2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，选择一个统计量，估算这箱荔枝共损坏了多少千克？ （3）结合（2）中的结果，你认为该公司这批荔枝售价定为每千克多少钱合适？请说明理由．（若有计算，结果保留一位小数） 23. 已知点和在二次函数是常数，的图像上． （1）当时，求和的值； （2）若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； （3）求证：． 24. 小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 25. 如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且． （1）求的度数． （2）①求证：． ②若，求的值， （3）如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市翔安区2026年九年级适应性考试 数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．试卷共4页，三大题，25小题，另有答题卡． 2．解答内容一律写在答题卡上，否则不能得分；作图或辅助线请使用2B铅笔． 一、选择题（本大题有10题，每题4分，共40分，每题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的） 1. 如果把向东走记作，那么表示的实际意义是（ ） A. 向东走 B. 先向东走，再向西走 C. 向西走 D. 向西走 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数表示意义相反的量即可求解，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】如果把向东走记作，那么表示的实际意义是向西走． 故选：D． 2. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【详解】解：将25000用科学记数法可表示为， 故选：C． 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义即可得． 【详解】解：这个几何体的主视图是， 故选：D． 4. 将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． 故选：D． 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 6. 将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 7. 某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（　　） A ②→③→①→④ B. ③→④→①→② C. ①→②→④→③ D. ②→④→③→① 【答案】D 【解析】 【分析】根据频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题． 【详解】由题意可得：正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类． 故选D． 【点睛】本题考查了扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤． 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 9. 如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 二次函数，且与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意画出二次函数及的大致图象，观察图象即可得出结论． 【详解】解：二次函数与轴交点的横坐标为，将其图象往下平移2个单位长度可得到的图象，如图所示： ， 观察图象可知：， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴交点以及二次函数的图象，依据题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若有意义，则的值可以是________．（任意写出一个符合条件的值即可） 【答案】（答案不唯一，任意满足的值均可） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式，求出的取值范围，在取值范围内写出任意一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， ∴任取满足条件的一个值，如． 12. 如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=_． 【答案】 【解析】 【详解】画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，双方出现相同手势的有3种情况， ∴双方出现相同手势的概率P= 13. 若点，都在反比例函数的图像上，则______（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，理解并掌握反比例函数的性质是解题关键．根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图像过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点，都在反比例函数图像上，且， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得四边形为菱形，继而计算周长即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为． 15. 如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点F为的中点， ∴； 故答案为：4． 16. 一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 中， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题有9题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且连接、．求证：． 【答案】证明：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先推导出，得到，继而推导出，得到，即可解答． 【详解】略 19. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，甲品牌洗衣液每瓶的进价是元/瓶，乙品牌洗衣液每瓶的进价是元/瓶．销售时，甲品牌洗衣液的售价为元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为元/瓶．若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过元．则 （1）超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？ （2）最大利润是多少元？ 【答案】（1）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大 （2）560元 【解析】 【分析】（1）设超市应购进甲种品牌洗衣液x瓶，两种洗衣液完全售出后所获利润为y元，依题意列出一次函数，求出，再根据一次函数的性质求解即可； （2）将代入一次函数的解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设超市应购进甲种品牌洗衣液x瓶，两种洗衣液完全售出后所获利润为y元，依题意，得 ， ∵， ∴， 由，得y随着x的增大而增大， 当时，y取得最大值，此时（瓶）， 答：超市应购进甲种品牌洗衣液40瓶，乙种品牌洗衣液80瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大； 【小问2详解】 解：当时，（元）， 答：最大利润是560元． 21. 提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）． 背景介绍：这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”． 尝试解决： （1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕； （2）小华觉得小明方法很好，所以自己模仿着在图中过点画了一条直线交于点．你觉得小华能成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由． 【答案】（1）解：如图所示，BD即为所求． （2）解：小华不会成功．理由如下： 若直线平分的面积，过C作于D，如图 那么， ∴ ， ∴． ∵， ∴， ∴小华不会成功． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，作线段的垂直平分线即可； （2）小华不会成功．直线可能平分的面积，若也平分周长，则，与题中的冲突，故不会成功． 【小问1详解】 解：理由如下： 如图 ∵是的垂直平分线，， ∴，的垂直平分线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴是的“等分积周线”． 【小问2详解】 略 22. 五月是荔枝上市的时节，此时市场上售价为元至元之间．某水果公司以元的成本价新进箱荔枝，每箱质量．在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下： 4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7 4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0 整理数据： 质量（） 数量（箱） 分析数据： 平均数 众数 中位数 （1）直接写出上述表格中，的值； （2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，选择一个统计量，估算这箱荔枝共损坏了多少千克？ （3）结合（2）中的结果，你认为该公司这批荔枝售价定为每千克多少钱合适？请说明理由．（若有计算，结果保留一位小数） 【答案】（1） （2）选择平均数，估算这2000箱荔枝共损坏千克（答案不唯一） （3）售价定为每千克约元合适 【解析】 【分析】（1）先根据众数和中位数的定义求出， （2）依题意，利用样本估计总体估算总损坏质量，即可作答． （3）根据总成本不超过总销售额，计算不亏本的最低售价，结合题目给出的市场价范围得到合适定价，即可作答． 【小问1详解】 解：根据表格数据，质量为的箱数最多，为7箱， 因此众数； 共抽取20箱数据，将数据从小到大排列，中位数为第10个和第11个数据的平均数， 质量为有2箱，质量为有1箱，质量为有7箱， 因此前个数据中， 第10个数据为，第11个数据为， 因此中位数， 即． 【小问2详解】 解：依题意，选择平均数， ∵样本平均数为，每箱原本质量为， 因此每箱平均损坏质量为， 总共有2000箱，因此总损坏质量为． 【小问3详解】 解：由（2）得总损坏质量， 计算可得： 总成本为(元)， 可出售的荔枝总质量为， 要保证不亏本，每千克售价至少为(元)， ∵结果保留一位小数，且市场价元元范围 因此定价为每千克约元合适，既不亏本也符合市场定价区间． 23. 已知点和在二次函数是常数，的图像上． （1）当时，求和的值； （2）若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答； （2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答； （3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论． 【小问1详解】 解：当时，图像过点和， ∴，解得， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵函数图像过点和， ∴函数图像的对称轴为直线． ∵图像过点， ∴根据图像的对称性得． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵图像过点和， ∴根据图像的对称性得． ∴，顶点坐标为． 将点和分别代人表达式可得 ①②得， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． 24. 小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4）个 【解析】 【分析】本题考查了新定义，数字类规律，分式的化简，理解难度大，理解题意是解题的关键． （1）观察数据即可解答； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为；②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为； （3）上述公式列方程即可解答； （4）由题意可得，代入可得，整理后，利用逐一判断即可． 【详解】解：（1）根据观察可得， 故答案为：； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为， 又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为， 故答案为：； ②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为， 又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为， 故答案为：； （3）由题意可得，， ， 根据（1）中公式可得， 可得， 解得， 则这个正多面体的面数为； （4）由题意可得，， 代入可得， ， ， ， 为正整数，且，， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，无论取任何值，，故不成立， 综上，满足正多面体定义的几何体一共有个． 25. 如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且． （1）求的度数． （2）①求证：． ②若，求的值， （3）如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案； （2）①证明，再证明，可得；②设， ，证明，可得，即，则，可得，从而可得答案； （3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案． 解法二：如图，延长，分别交、于M、N，连接．先证，再证，则可得．根据等腰三角形三线合一，可得，由此可得．由，可得．再证．则可得，即，解出r的值，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①∵为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②设， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴（负根舍去）； 【小问3详解】 解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（负根舍去）， 由（2）①知， ∴． 解法二： 如图，延长，分别交、于M、N，连接， ， ． 又， ， ． ， ， ． 又， ， ． 又， ，． ， ． ， ， ， ， 即， 得， 解得：，（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $