精品解析：2026年5月份厦门市湖里区九年级数学第三次学情自测试卷

2025−2026学年下学期九年级数学练习卷 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列四个数中，比0小的数是【 】 A. B. 0 C. 1 D. 2 2. “3的算术平方根”用符号表示为（ ） A. B. C. D. 3. 福建拥有许多古朴雅致独具特色的传统建筑，这些建筑巧妙融合艺术美感与几何构造，蕴含着独特的几何美学．下列选项中的图形是由传统建筑装饰纹样抽象得到的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 5. 下面计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 6. 在飞机设计中有句名言“为减轻每一克重量而奋斗”，我国自主研发的大飞机在材料应用上实现了从“卡脖子”到“建立体系”的跨越，在“更轻”和“更强”上找到更好的平衡点，如用于制造飞机薄壁结构件的某新型材料的单层厚度仅为米．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的数轴上，将表示的点向左平移个单位长度，平移后的点可能是（ ）． A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 随着“双碳”目标推进与“绿色出行”理念深入人心，我国新能源汽车迎来高速发展期，某品牌新能源汽车近三年的交付数据如表． 年份 年度交付量（万辆） 若年至年该品牌汽车年度交付量的年平均增长率为，则符合题意的方程为（ ）． A. B. C. D. 9. 已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，是边上的动点，连接，过点作交于点，在点从点运动到点的过程中，线段长度的变化情况是（ ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 先变小再变大 D. 先变大再变小 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 中国古代很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用红色和黑色的算筹分别表示正数和负数，依此规则，根黑色算筹表示的数是________． 12. 某班开展“书香润心灵，阅读伴成长”读书活动，小华积极参与活动，选择了一本页的书，他计划用天读完这本书，则他平均每天需阅读的页数是________． 13. 不透明袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是 _________ ． 14. 在平面直角坐标系中，若点，在某反比例函数的图象上，则的值为________． 15. 如图，在菱形中，，，，分别是边，的中点．平移线段，使得、的对应点恰好分别在边，上，则平移的距离是________． 16. 如图，圆形铁圈的直径，一根两端带有铁环的硬质滑杆套在该铁圈上（铁环大小忽略不计），滑杆的长度与铁圈的半径相等．先将滑杆的左端套在处，再将整根滑杆沿着铁圈按逆时针方向移动，使得滑杆的右端移动到点处，在此过程中滑杆的中点移动的路径长为________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程组： 18. 如图，已知是的中点，，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为践行勤俭节约的传统美德，培养学生的节约意识，某学校每周进行一次“惜粮之星班级”评比，每月（按四周计）进行一次“惜粮之星年级”评比．食堂工作人员对各班剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：）进行收集、整理．表二是月份第四周七年级各班的周人均餐余重量． 班级 1班 2班 3班 4班 人数 周人均餐余重量（） （1）求本周七年级的周人均餐余重量； （2）从食堂工作人员提供的月份各班周人均餐余重量的数据得知，月份七、八两个年级的月人均餐余重量相同．若要从中评选一个“惜粮之星年级”，请你用所学的统计知识给出评判的标准，并说明理由． 21. 【项目背景】 某学习小组在学习声现象时，知道了振动频率越高，音调就越高；振动频率越低，音调也越低．由此他们联想到在敲击装有水的玻璃杯时，杯中水位不同，音调也会不同．于是他们计划探究水位高度与振动频率之间的关系，并依此制作水杯琴． 【实验操作】 该学习小组设计了如下实验：先在圆柱形玻璃杯中加水，加到水位高度为时，敲击玻璃杯口，同时利用声学设备测量其振动频率；继续加水，并测量不同水位高度时的振动频率．为减小误差，同一水位高度下，多次敲击、测量振动频率并计算它们的平均值，获得的数据如表一． 表一 水位高度（） 频率（） 【数据查询】 通过查阅资料得知，七个音阶对应的频率如表二． 表二 音阶 频率（） 根据以上信息，解答下列问题： （1）求一个能近似描述频率与水位高度的关系的函数解析式； （2）用实验中同种型号的玻璃杯制作水杯琴时，请估计发出音阶为和的两个玻璃杯中水位高度差为多少？ 22. 如图，四边形是矩形， （1）请在图中作，使经过，且与边相切； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，设与相切于点，与的另一个交点为．若，，判断点在上的位置，并说明理由． 23. 随着体育科技的不断发展，智能羽毛球拍凭借精准数据监测功能深受运动爱好者青睐．某体育用品专卖店计划购进，两种型号的智能羽毛球拍，已知每副型球拍的进价比型球拍多元，用元购进型球拍的数量与用元购进型球拍的数量相同． （1）每副，型球拍的进价分别是多少？ （2）该专卖店准备用不超过元的资金购进副，型号球拍．已知销售一副型球拍比销售一副型球拍多获利元，若该专卖店将这副球拍全部售出，可获得的最大利润是元，求销售一副型球拍的利润． 24. 点在抛物线上，将点先向右平移（）个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，若点也在该抛物线上，则称点，分别为该抛物线的“左值点”，“右值点”． 已知抛物线：经过点，且． （1）求证：抛物线与轴有两个交点； （2）若，抛物线与轴交于点，且是抛物线的“左值点”，求的值； （3）当时，若抛物线在“左值点”与“右值点”之间的图象从左往右上升，求的取值范围． 25. 如图，是的直径，点在上，，点在线段上，延长交于点，为延长线上一点，延长交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）若的正切值为，为等腰三角形，探究线段与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年下学期九年级数学练习卷 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列四个数中，比0小的数是【 】 A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数比较大小的法则进行比较即可. 【详解】解：∵0，1，2均为非负数，－1为负数， ∴四个数中，比0小的数是－1． 故选A． 2. “3的算术平方根”用符号表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的表示，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 算术平方根是指非负数的非负平方根，因此3的算术平方根是正平方根． 【详解】解：∵ 算术平方根定义为非负平方根， ∴ 3的算术平方根为， 故选：B． 3. 福建拥有许多古朴雅致独具特色的传统建筑，这些建筑巧妙融合艺术美感与几何构造，蕴含着独特的几何美学．下列选项中的图形是由传统建筑装饰纹样抽象得到的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 4. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抽样调查的知识．注意选取的样本需要有代表性和广泛性．因为抽样时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断． 【详解】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，在全校学生中随机选取人，这些对象具有代表性和广泛性． 故选：． 5. 下面计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故选项A错误； B．，故选项B正确； C．，故选项C错误； D．，故选项D错误． 6. 在飞机设计中有句名言“为减轻每一克重量而奋斗”，我国自主研发的大飞机在材料应用上实现了从“卡脖子”到“建立体系”的跨越，在“更轻”和“更强”上找到更好的平衡点，如用于制造飞机薄壁结构件的某新型材料的单层厚度仅为米．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，要求，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：∵ 原数左起第一个非零数字为，其前共有个零，且满足， ∴ ． 7. 在如图所示的数轴上，将表示的点向左平移个单位长度，平移后的点可能是（ ）． A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再根据数轴上点的平移规律（左减右加）求出平移后的数值范围，最后结合数轴上各点的位置进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的点向左平移个单位长度， ∴平移后的点表示的数为，即  观察数轴可知，点 M 在 1 与 2 之间，即平移后的点可能是点 M． 8. 随着“双碳”目标推进与“绿色出行”理念深入人心，我国新能源汽车迎来高速发展期，某品牌新能源汽车近三年的交付数据如表． 年份 年度交付量（万辆） 若年至年该品牌汽车年度交付量的年平均增长率为，则符合题意的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设年平均增长率为， ∵2023年交付量为万辆，从2023年到2025年共经过次增长，2025年交付量为万辆， ∴2024年交付量为，2025年交付量为， 因此可得符合题意的方程为． 9. 已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 10. 如图，在正方形中，是边上的动点，连接，过点作交于点，在点从点运动到点的过程中，线段长度的变化情况是（ ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 先变小再变大 D. 先变大再变小 【答案】D 【解析】 【分析】设正方形边长为，，，通过证明，建立与的函数关系式，利用二次函数的性质判断的变化情况． 【详解】设正方形的边长为，，，则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， 该函数图象开口向下，对称轴为直线， 点从点运动到点，即， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 线段长度的变化情况是先变大再变小． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 中国古代很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用红色和黑色的算筹分别表示正数和负数，依此规则，根黑色算筹表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，据此解答即可． 【详解】解：根据题意，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，因此根黑色算筹表示的数是． 12. 某班开展“书香润心灵，阅读伴成长”读书活动，小华积极参与活动，选择了一本页的书，他计划用天读完这本书，则他平均每天需阅读的页数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均每天阅读页数等于总页数除以阅读天数，据此列出对应代数式即可． 【详解】解：根据题意，已知书的总页数为，计划阅读天数为， 由平均每天阅读页数等于总页数除以阅读天数，可得：平均每天需阅读的页数为． 13. 不透明袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先确定事件的所有等可能性，再确定被求事件的等可能性，根据概率计算公式计算即可． 【详解】∵事件的所有等可能性有1+2=3种，摸出红球事件的等可能性有1种， ∴摸出红球的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，若点，在某反比例函数的图象上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设该反比例函数的解析式为，将点的坐标代入可得一个关于的一元二次方程，解方程，结合确定的值即可． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， ∵点，都在这个反比例函数的图象上， ∴， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 综上，的值为2． 15. 如图，在菱形中，，，，分别是边，的中点．平移线段，使得、的对应点恰好分别在边，上，则平移的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质和判定为等边三角形，求出的长；根据三角形中位线定理求出与的关系；根据平移的性质得出且，进而根据相似三角形的判定与性质得到为的中点；最后利用三角形中位线定理求出平移距离的长． 【详解】如图，设平移后，的对应点分别为，，连接，，， 四边形是菱形，， ， ， 是等边三角形， ， ，分别是边，的中点， 是的中位线， ，， 由平移的性质可知，，，平移的距离为线段的长， ，， 点，分别在边，上， ， ， ， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ． 16. 如图，圆形铁圈的直径，一根两端带有铁环的硬质滑杆套在该铁圈上（铁环大小忽略不计），滑杆的长度与铁圈的半径相等．先将滑杆的左端套在处，再将整根滑杆沿着铁圈按逆时针方向移动，使得滑杆的右端移动到点处，在此过程中滑杆的中点移动的路径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】点为定长滑杆的中点，滑杆两端始终在圆上运动，由滑杆长度等于圆的半径可知弦长恒为，根据垂径定理和勾股定理，点到圆心的距离恒为，故点的轨迹是以为圆心、为半径的圆弧．通过等边三角形性质求得圆弧所对圆心角为，再用弧长公式计算路径长． 【详解】解：设圆形铁圈的圆心为，半径为， 直径， ， 滑杆长度与铁圈半径相等， 滑杆作为圆的弦，弦长为， 连接，，设滑杆初始位置为，其中为右端点， ， 是等边三角形， ， 为中点， ，平分， ， 在中，， 即点移动的路径是以为圆心、为半径的圆弧， 当滑杆右端移动到点时，设此时滑杆左端为，中点为， 同理可得是等边三角形，，平分， ， 滑杆沿逆时针方向移动，且，，在同一直线上，点，在直径的同侧， 点转过的圆心角， 点移动的路径长为． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】直接运用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 将①代入②得：，解得：， 将代入①得：， 所以原方程组的解为：． 18. 如图，已知是的中点，，，求证：． 【答案】∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中：   ∴， ∴． 【解析】 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 为践行勤俭节约的传统美德，培养学生的节约意识，某学校每周进行一次“惜粮之星班级”评比，每月（按四周计）进行一次“惜粮之星年级”评比．食堂工作人员对各班剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：）进行收集、整理．表二是月份第四周七年级各班的周人均餐余重量． 班级 1班 2班 3班 4班 人数 周人均餐余重量（） （1）求本周七年级的周人均餐余重量； （2）从食堂工作人员提供的月份各班周人均餐余重量的数据得知，月份七、八两个年级的月人均餐余重量相同．若要从中评选一个“惜粮之星年级”，请你用所学的统计知识给出评判的标准，并说明理由． 【答案】（1）； （2）评判标准为选择方差较小的年级评为“惜粮之星年级”，理由是月人均餐余重量相同时，方差越小说明该年级周人均餐余重量波动越小，节约情况更稳定． 【解析】 【分析】（1）本题考查加权平均数的计算，解题思路为计算出七年级总餐余重量和总人数，再用总餐余重量除以总人数得到周人均餐余重量，用到加权平均数的知识点； （2）本题考查统计量的实际应用，当两组数据平均数相等时，可通过方差判断数据的波动程度，以此给出合理的评选标准． 【小问1详解】 解：根据表格数据，计算七年级总餐余重量： ， 计算七年级总人数：， 计算周人均餐余重量：， 答：本周七年级的周人均餐余重量为． 【小问2详解】 略 21. 【项目背景】 某学习小组在学习声现象时，知道了振动频率越高，音调就越高；振动频率越低，音调也越低．由此他们联想到在敲击装有水的玻璃杯时，杯中水位不同，音调也会不同．于是他们计划探究水位高度与振动频率之间的关系，并依此制作水杯琴． 【实验操作】 该学习小组设计了如下实验：先在圆柱形玻璃杯中加水，加到水位高度为时，敲击玻璃杯口，同时利用声学设备测量其振动频率；继续加水，并测量不同水位高度时的振动频率．为减小误差，同一水位高度下，多次敲击、测量振动频率并计算它们的平均值，获得的数据如表一． 表一 水位高度（） 频率（） 【数据查询】 通过查阅资料得知，七个音阶对应的频率如表二． 表二 音阶 频率（） 根据以上信息，解答下列问题： （1）求一个能近似描述频率与水位高度的关系的函数解析式； （2）用实验中同种型号的玻璃杯制作水杯琴时，请估计发出音阶为和的两个玻璃杯中水位高度差为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，音阶对应的水的高度，进而求出水位高度差． 【小问1详解】 解：根据题意可得与为一次函数的关系， 设， 由题意得，， 解得， ； 【小问2详解】 解：在中，当时，则， 解得， 当时，则， 解得， 发出音阶为和的两个玻璃杯中水位高度差为． 故发出音阶为和的两个玻璃杯中水位高度差为． 22. 如图，四边形是矩形， （1）请在图中作，使经过，且与边相切； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，设与相切于点，与的另一个交点为．若，，判断点在上的位置，并说明理由． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：． 理由：连接． ∵四边形是矩形，直线垂直平分线段， ∴，， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点G，交于点E，连接，作线段的垂直平分线交直线于点O，以O为圆心，为半径作即可； （2）先证明是直径，得出，再证明，然后利用相似三角形的性质求出可得结论． 【小问1详解】 解：理由：连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点A，D，E在以点O为圆心的圆上． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴与边相切； 【小问2详解】 略． 23. 随着体育科技的不断发展，智能羽毛球拍凭借精准数据监测功能深受运动爱好者青睐．某体育用品专卖店计划购进，两种型号的智能羽毛球拍，已知每副型球拍的进价比型球拍多元，用元购进型球拍的数量与用元购进型球拍的数量相同． （1）每副，型球拍的进价分别是多少？ （2）该专卖店准备用不超过元的资金购进副，型号球拍．已知销售一副型球拍比销售一副型球拍多获利元，若该专卖店将这副球拍全部售出，可获得的最大利润是元，求销售一副型球拍的利润． 【答案】（1）每副A型球拍进价为420元，每副B型球拍进价为300元； （2）销售一副B型球拍的利润为100元． 【解析】 【分析】（1）设B型球拍进价，根据两种球拍购进数量相等的等量关系列分式方程求解，检验后得到结果； （2）先根据资金限制求出A型球拍的最大购进数量，再根据总利润与A型球拍数量的一次函数关系，结合最大利润条件列方程求解得到B型球拍单利润． 【小问1详解】 解：设每副B型球拍的进价为元，则每副A型球拍的进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每副A型球拍进价为420元，每副B型球拍进价为300元． 【小问2详解】 设购进A型球拍副，则购进B型球拍副，设销售一副B型球拍的利润为元， 根据资金不超过18600元，得 ， 解得， 设总利润为，根据题意得 ， ∵， ∴随的增大而增大， 当取最大值时， 取得最大值，代入得 解得， 答：销售一副B型球拍的利润为100元． 24. 点在抛物线上，将点先向右平移（）个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，若点也在该抛物线上，则称点，分别为该抛物线的“左值点”，“右值点”． 已知抛物线：经过点，且． （1）求证：抛物线与轴有两个交点； （2）若，抛物线与轴交于点，且是抛物线的“左值点”，求的值； （3）当时，若抛物线在“左值点”与“右值点”之间的图象从左往右上升，求的取值范围． 【答案】（1）证明：将点代入，得， 由得，，将代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线与轴有两个交点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件用含有a的式子分别表示b、c，得到抛物线解析式，令，根据证出结论； （2）根据确定“右值点”的坐标，将坐标代入（1）中的解析式，求出a的值，再根据，确定最后的解； （3）根据 “左值点”P在抛物线上，设，根据平移得到“右值点” ，将Q点代入抛物线解析式得到m与k的关系，再根据增减性确定的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，抛物线与轴交于点， ∴， 当时，“右值点”为， 将代入得，，整理得， ，解得，，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当时，，对称轴为直线， 设，根据题意知，此时点Q在抛物线上， ∴将代入得， ， 整理得，， ∵， ∴，即， ∵抛物线在“左值点”P与“右值点” Q之间的图象从左往右上升， ∴， 即， 解得， ∵， ∴． 25. 如图，是的直径，点在上，，点在线段上，延长交于点，为延长线上一点，延长交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）若的正切值为，为等腰三角形，探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：，理由如下： 连接、，过点G作交于点H， ①当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴此情况不符合题意； ②当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴此情况不符合题意； ③当时，则，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据三角形的外角性质即可求出； （2）先推出，再证出，即可证明； （3）分为三种情况，先根据三角形的外角性质判断出和不符合题意；当时，先根据，求出，，再结合勾股定理得出，证出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】当为等腰三角形时，学会联想到分为三种情况去讨论，逐一分析． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $