第三章 代数式 小结与复习 学案 2025-2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学第三章“代数式”复习学案以代数式的概念、运算及应用为核心，围绕知识梳理、能力提升、思想方法体会及核心素养培养的整体目标，通过知识结构图构建体系，分重难点突破、典型题型精讲、易错点总结等模块递进设计，形成连贯的复习路径。 亮点在于“实际问题解决”与“规律探究”的主题设计，通过公园门票方案选择（例5）培养建模思想和应用意识，借助等式规律探究（例6）发展抽象能力和创新意识。学案包含中考链接、综合训练及自我评价表，既支持学生深度学习，又为教师提供系统复习指导。

第三章 代数式 小结与复习 一、复习目标 【知识梳理】系统梳理本章知识结构，掌握代数式的相关概念和运算方法。 【能力提升】熟练掌握列代数式和求代数式的值的方法，能运用代数式解决实际问题。 【思想方法】体会建模思想、整体思想、转化思想等数学思想方法。 【核心素养】通过复习，培养符号意识、运算能力和应用意识，提升数学核心素养。 二、知识体系构建 图1：第三章 代数式 知识结构图 三、重难点突破 图2：第三章 重点与难点对比 【重点1】代数式的概念 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和表示数的字母连接而成的 式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ① 代数式中不含等号和不等号； ② 代数式书写规范：数字在前、字母在后，乘号省略或用·，除号写成分数线； ③ 带分数与字母相乘时，要化成假分数。 【重点2】列代数式 方法：抓住关键词语，明确运算顺序，理清数量关系。 常见类型： ① 和差倍分问题 ② 行程问题 ③ 工程问题 ④ 销售利润问题 ⑤ 增长率问题 ⑥ 几何图形问题 关键：正确理解题意，把文字语言转化为数学符号语言。 【重点3】代数式的值 定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。 方法： ① 直接代入法：将字母的值直接代入计算 ② 整体代入法：将某个代数式看成整体代入计算 ③ 程序计算法：根据程序框图列代数式再求值 步骤：抄写 → 代入 → 计算 → 检验 【重点4】正比例关系与反比例关系（新增内容） 正比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果它们的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量， 它们的关系叫做正比例关系。用字母表示：y/x = k（k为常数，k≠0） 反比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果它们的积一定，这两种量就叫做成反比例的量， 它们的关系叫做反比例关系。用字母表示：xy = k（k为常数，k≠0） 四、典型题型精讲 题型一：代数式的概念与书写 【例1】下列式子中，属于代数式的有______（填序号）。 ① 2x + 1 ② a + b = b + a ③ 3 > 2 ④ S = πr² ⑤ 0 ⑥ a ⑦ ⑧ x + y > 0 【解析】 代数式是用运算符号连接数和字母的式子，不含等号和不等号。所以是代数式的有：①、⑤、⑥、⑦。 ②、④ 含有等号，是等式；③、⑧ 含有不等号，是不等式。它们都不是代数式。 题型二：列代数式表示数量关系 【例2】用代数式表示： (1) a 的 3 倍与 b 的和的一半； (2) 比 m 与 n 的差的平方小 3 的数； (3) 某商品原价为 a 元，先涨价 20%，再降价 10% 后的价格； (4) 一个两位数，十位数字是 a，个位数字是 b，这个两位数是______。 【解析】 (1) 先算 a 的 3 倍是 3a，再算与 b 的和是 3a+b，最后算一半：(3a+b)/2 (2) 先算 m-n，再平方得 (m-n)²，最后减 3：(m-n)² - 3 (3) 涨价 20% 后：a(1+20%) = 1.2a，再降价 10%：1.2a(1-10%) = 1.08a (4) 两位数 = 10×十位数字 + 个位数字 = 10a + b 题型三：代数式求值 【例3】当 x = -2，y = 3 时，求下列代数式的值： (1) x² - xy (2) (x + y)² (3) x² - 2xy + y² 【解析】 (1) 当 x = -2，y = 3 时，x² - xy = (-2)² - (-2)×3 = 4 - (-6) = 4 + 6 = 10 (2) 当 x = -2，y = 3 时，(x + y)² = (-2 + 3)² = 1² = 1 (3) 当 x = -2，y = 3 时，x² - 2xy + y² = (-2)² - 2×(-2)×3 + 3² = 4 + 12 + 9 = 25 【观察】比较(2)和(3)的结果，你发现了什么规律？ 题型四：整体代入求值 【例4】已知 2x + 3y = 5，求代数式 4x + 6y - 3 的值。 【解析】 观察发现：4x + 6y = 2(2x + 3y) 所以 4x + 6y - 3 = 2(2x + 3y) - 3 把 2x + 3y = 5 整体代入，得： 2 × 5 - 3 = 10 - 3 = 7 题型五：实际应用问题 【例5】某公园的门票价格是：成人票每张 20 元，学生票每张 10 元。某旅行团有 a 名成人和 b 名学生。 (1) 用代数式表示该旅行团应付的门票费； (2) 如果该旅行团有 30 名成人和 15 名学生，那么应付门票费多少元？ (3) 若团体购票超过 40 人可以打八折，当 a = 25，b = 20 时，怎么买票更合算？ 【解析】 (1) 应付门票费：(20a + 10b) 元 (2) 当 a = 30，b = 15 时， 20a + 10b = 20×30 + 10×15 = 600 + 150 = 750（元） (3) 方案一：按实际人数购买：20×25 + 10×20 = 500 + 200 = 700 元 方案二：购买 41 张团体票（因为 45 > 40，可以打八折）： (20×25 + 10×20) × 0.8 = 700 × 0.8 = 560 元 因为 560 < 700，所以购买 45 张团体票更合算。 题型六：规律探究问题 【例6】观察下列等式： 第 1 个等式：1 + 3 = 4 = 2² 第 2 个等式：1 + 3 + 5 = 9 = 3² 第 3 个等式：1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² 第 4 个等式：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5² ...... (1) 请写出第 5 个等式； (2) 猜想第 n 个等式（用含 n 的代数式表示）； (3) 利用你发现的规律计算：1 + 3 + 5 + ... + 99。 【解析】 (1) 第 5 个等式：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6² (2) 第 n 个等式：1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) = (n+1)² 或：从 1 开始的连续 n 个奇数的和等于 n² 即 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² (3) 因为 99 = 2×50 - 1，所以共有 50 个奇数相加 所以 1 + 3 + 5 + ... + 99 = 50² = 2500 五、易错点总结 【易错点1】代数式书写不规范 • 数字与字母相乘时数字在后，如 a×5 应写成 5a • 带分数与字母相乘没化成假分数，如 1又·a 应写成 • 出现除号÷，如 a÷b 应写成分数形式 • 单位名称书写错误，如"(a+b)米"不能写成"a+b米" 【易错点2】代入求值时符号错误 • 负数代入乘方时漏加括号，如 x = -2 时，x² = -2² = -4（错误） 正确：x² = (-2)² = 4 • 省略的乘号代入后忘记补上，如 2a 当 a=3 时，2×3 而不是 23 • 整体代入时符号处理错误，如 3 - a - b = 3 - (a - b)（错误） 正确：3 - a - b = 3 - (a + b) 【易错点3】列代数式时数量关系理解错误 • "a比b大"理解错误：是 a = b + b/3 = 4b/3，不是 a = b + • "a增加了10%"与"a增加到10%"混淆 • 顺序颠倒："a与b的差的平方"是 (a-b)²，不是 a² - b² • 实际问题中单位不统一就直接计算 【易错点4】规律探究时找错规律 • 只观察了前两个就下结论，没有验证更多项 • 混淆项数和项的值，如第 n 项是 2n-1 还是 2n+1 • 图形规律问题中，没有发现变化部分和不变部分 • 得出规律后没有回代检验 六、数学思想方法 1. 建模思想 将实际问题转化为数学问题，用代数式表示数量关系，建立数学模型。 这是解决实际应用问题的核心思想。 例如：行程问题、工程问题、利润问题等都可以通过列代数式来解决。 2. 整体思想 在代数式求值时，不求出每个字母的值，而是将某个代数式看成一个整体， 直接代入计算，使问题简化。 例如：已知 a+b=5，求 2a+2b+3 的值，可以把 a+b 看成整体。 整体思想是本章最重要的数学思想之一，也是后续学习的重要基础。 3. 转化思想 将未知问题转化为已知问题，将复杂问题转化为简单问题。 例如：程序计算问题可以转化为代数式求值问题； 实际问题可以转化为数学问题来解决。 4. 分类思想 当问题包含多种情况时，需要分类讨论，确保答案完整。 例如：方案选择问题、分段计费问题等都需要分类讨论。 5. 从特殊到一般的思想 通过观察特殊情况，归纳猜想出一般规律，然后验证并运用规律。 这是探究规律类问题的核心思想方法，也是发现数学新知的重要途径。 七、综合训练 A组 基础训练 1. 下列式子中，代数式有（ ）个。 2x， a + b = 5， 5 > 3， m， 0， x² - 1 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 2. 代数式 -2ab² 的系数是____，次数是____。 3. 列代数式： (1) a 的平方与 b 的 2 倍的和：________ (2) 比 x 的相反数小 3 的数：________ (3) 某商品打八折后的价格是 m 元，则原价是________元 (4) 一个三位数，百位数字是 a，十位数字是 b，个位数字是 c，这个三位数是________ 4. 当 a = -1，b = 2 时，求下列代数式的值： (1) 3a + b (2) a² - b² (3) (a - b)² 5. 已知 x + 2y = 3，求代数式 2x + 4y + 1 的值。 B组 能力提升 6. 若 x² + 3x = 2，则代数式 2x² + 6x - 5 的值是（ ） A. -1 B. 1 C. -9 D. 9 7. 按程序计算：输入 x → 乘以 3 → 加上 2 → 输出结果。若输入 x = 2，则输出____；若输出结果是 17，则输入 x = ____。 8. 某校组织学生春游，甲旅行社说："如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠。"乙旅行社说："包括校长在内全部按全价的六折优惠。"若全票价为 240 元，设学生数为 x 人。 (1) 用代数式分别表示甲、乙两家旅行社的收费； (2) 当学生人数是多少时，两家旅行社收费一样？ (3) 就学生人数 x 讨论哪家旅行社更优惠。 9. 观察下面的单项式：x，-2x²，4x³，-8x⁴，16x⁵，... (1) 根据你发现的规律，写出第 6 个和第 7 个单项式； (2) 试写出第 n 个单项式。 C组 拓展创新 10. 【阅读理解】我们知道，2¹ = 2，个位数字是 2；2² = 4，个位数字是 4；2³ = 8，个位数字是 8；2⁴ = 16，个位数字是 6；2⁵ = 32，个位数字是 2... (1) 观察后，请写出 2²⁰²⁴ 的个位数字是____； (2) 请写出 3²⁰²⁴ 的个位数字是____； (3) 试写出 7²⁰²⁴ 的个位数字是____。 11. 【探究题】某餐厅中，一张桌子可以坐 6 人，如果有多人就把桌子拼起来，如下图所示： 一张桌子坐 6 人，两张桌子拼起来坐 10 人，三张桌子拼起来坐 14 人... (1) 按这样的方式，n 张桌子拼起来可以坐多少人？ (2) 若有 30 人，需要多少张桌子拼起来？ (3) 如果每张桌子单独摆放，30 人需要多少张桌子？比拼起来多用几张桌子？ 八、中考链接 【中考真题1】（2024·四川成都中考） 已知 a + b = 4，则代数式 1 + + 的值为（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 2 【解析】1 + + = 1 + = 1 + = 1 + 2 = 3 答案：A 【中考真题2】（2024·江苏苏州中考） 按照如图所示的程序计算，若输入 x 的值为 2，则输出的值为（ ） 输入 x → 平方 → 减去 1 → 再平方 → 输出 A. 1 B. 9 C. 81 D. 121 【解析】程序对应的代数式：(x² - 1)² 当 x = 2 时，(2² - 1)² = (4 - 1)² = 3² = 9 答案：B 【中考真题3】（2023·广东中考改编） 某超市进了一批商品，每件进价为 a 元，若要获利 25%，则每件商品 的零售价应定为（ ） A. 25%a 元 B. (1-25%)a 元 C. (1+25%)a 元 D. a/(1+25%) 元 【解析】售价 = 进价 + 利润 = 进价 × (1 + 利润率) = a(1+25%) 答案：C 九、学习反思与自我评价 知识内容 掌握程度（自评） 典型错题 改进措施 代数式的概念 代数式的书写规范 列代数式表示数量关系 代数式的值（直接代入） 整体代入法求值 程序计算问题 实际应用与方案选择 我的学习收获： ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 我的困惑与问题： ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 下一阶段努力方向： ________________________________________________________________ 参考答案 一、复习目标 （略，见正文） 二、知识体系构建 （略，见结构图） 三、重难点突破 （略，见正文） 四、典型题型精讲 例1. ①、⑤、⑥、⑦ 是代数式 例2. (1) (3a+b)/2； (2) (m-n)² - 3； (3) 1.08a 元； (4) 10a + b 例3. (1) 10； (2) 1； (3) 25 例4. 7 例5. (1) (20a + 10b) 元； (2) 750 元； (3) 买团体票更合算，560 元 例6. (1) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6²(2) 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n²(3) 2500 五、易错点总结 （略，见正文） 六、数学思想方法 （略，见正文） 七、综合训练 A组 基础训练 1. B. 4 个（2x、m、0、x²-1） 2. 系数是 -2，次数是 3 3. (1) a² + 2b； (2) -x - 3； (3) m/0.8 或 5m/4； (4) 100a + 10b + c 4. (1) -1； (2) -3； (3) 9 5. 2x + 4y + 1 = 2(x + 2y) + 1 = 2×3 + 1 = 7 B组 能力提升 6. A. -1 （2x²+6x-5 = 2(x²+3x) - 5 = 4 - 5 = -1） 7. 输出 8；输入 x = 5 8. (1) 甲：240 + 120x 元；乙：144(x+1) = (144x + 144) 元(2) 240 + 120x = 144x + 144 → x = 4，当学生 4 人时收费一样(3) x > 4 时甲优惠；x < 4 时乙优惠；x = 4 时一样 9. (1) 第 6 个：-32x⁶；第 7 个：64x⁷(2) 第 n 个：(-2)^(n-1) · x^n 或 (-1)^(n+1) · 2^(n-1) · x^n C组 拓展创新 10. (1) 6（2的n次幂个位数字：2,4,8,6 循环，周期为4，2024÷4=506整除，对应6）(2) 1（3的n次幂个位数字：3,9,7,1 循环）(3) 1（7的n次幂个位数字：7,9,3,1 循环） 11. (1) (4n + 2) 人 （每增加一张桌子多坐4人）(2) 4n + 2 = 30 → n = 7，需要 7 张桌子(3) 单独摆放需要 30÷6 = 5 张？不对，一张桌子坐6人，30人需要5张就够了。 重新思考：一张桌子坐6人，单独摆放30人需要 30÷6 = 5 张桌子。 比拼起来少用 7 - 5 = 2 张？不对，应该是比拼起来少用2张。 答案：单独摆放需要 5 张桌子，比拼起来少用 2 张。 八、中考链接 真题1. A 真题2. B 真题3. C 九、学习反思与自我评价 （略，自行填写） 学科网（北京）股份有限公司 $