3.1.4 代数式表示规律 学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“代数式表示规律”，通过猜数字游戏情境导入，引导学生用代数式表示运算过程，衔接代数式运算知识，为从数字、图形、算式中发现并表示规律搭建学习支架。 资料以“观察—猜想—归纳—验证”为主线，分数字、图形、算式等类型探究规律，结合错误诊所、分层达标检测及数学文化，助力学生培养归纳推理能力，发展符号意识与模型观念，提升用数学语言表达规律的能力。

3.1.4 代数式表示规律 一、学习目标 【知识技能】掌握用代数式表示规律的一般方法，能从数字、图形、算式中发现规律并用代数式表示。 【数学思考】经历观察、猜想、归纳、验证的探究过程，培养抽象思维和归纳推理能力。 【问题解决】能运用代数式表示的规律解决实际问题，体会从特殊到一般的数学思想。 【核心素养】通过规律探究活动，发展符号意识、模型观念和创新思维能力。 二、学习重难点 【重点】从具体情境中发现规律，并用代数式表示规律。 【难点】规律的归纳与验证，以及从多种角度理解规律的表达式。 三、情境导入 【游戏情境】猜数字游戏 老师和同学们玩一个猜数字游戏： 老师说：'你随便想一个正整数，把它乘以2再加上3，然后乘以5再减去15，把结果告诉我，我就能马上猜出你想的数是多少。' 小明说：'我的结果是100。'老师立刻说：'你想的数是10。' 小红说：'我的结果是200。'老师马上说：'你想的数是20。' 小华说：'我的结果是560。'老师想都没想说：'你想的数是56。' 思考：老师为什么能这么快猜出来？这里面隐藏着什么数学规律？ 如果设你想的数为x，那么最终结果可以表示为：(2x + 3)×5 - 15 = 10x + 15 - 15 = 10x 所以只要把结果除以10，就能得到原来的数！ 在我们的生活中，像这样有规律的现象无处不在。从数字到图形，从算式到实际问题， 学会用代数式表示规律，就能让复杂的问题变得简单。今天我们就一起来探究——代数式表示规律。 四、合作探究 图2：规律探究常见类型 探究点1：数字规律 【例1】观察下面的一列数，按其规律在横线上填上适当的数： 【探究】找规律填空 (1) 2，4，6，8，____，____，…，第n个数是______。 (2) 1，3，5，7，____，____，…，第n个数是______。 (3) 2，4，8，16，____，____，…，第n个数是______。 (4) 1，4，9，16，____，____，…，第n个数是______。 (5) 2，6，12，20，____，____，…，第n个数是______。 【方法总结】数字规律题的解题思路： ① 观察相邻两数的差或比值，判断是否为等差、等比数列； ② 观察各数与序号（n）的关系，尝试用含n的式子表示； ③ 对于分数，分别观察分子、分母的规律，再综合考虑； ④ 验证：代入n=1,2,3检验规律是否正确。 探究点2：图形规律 【例2】用火柴棒按下图的方式摆三角形： 图1：用火柴棒摆三角形 【思考与探究】 (1) 填写下表： 三角形个数n 1 2 3 4 5 ... 火柴棒根数 3 5 7 9 11 ... 继续思考： (2) 照这样的规律，摆10个三角形需要____根火柴棒？ (3) 摆n个三角形需要多少根火柴棒？你有几种表示方法？ (4) 如果有101根火柴棒，能摆多少个三角形？ 【方法总结】图形规律题的解题策略 ① 数清前几个图形中基本元素的个数（如火柴棒、棋子、小正方形等）； ② 观察相邻图形中元素个数的变化，找出增量规律； ③ 从不同角度思考，可能有多种表达方式（结果应该是等价的）； ④ 验证：代入n=1,2,3检验结果是否与图形一致。 探究点3：算式规律 【例3】观察下列等式，寻找规律 1×3 + 1 = 4 = 2² 2×4 + 1 = 9 = 3² 3×5 + 1 = 16 = 4² 4×6 + 1 = 25 = 5² ... 请回答： (1) 第6个等式是________________________； (2) 第n个等式是________________________（用含n的式子表示）； (3) 请验证你写出的第n个等式是否正确。 探究点4：规律探究的一般步骤 图3：规律探究的一般步骤 【重要数学思想】从特殊到一般 规律探究的核心是"从特殊到一般"的归纳思想： 1. 先研究n=1,2,3等特殊情况，观察具体数据； 2. 从特殊情况中发现共性，提出猜想； 3. 用代数式（含n）表示一般规律； 4. 代入特殊值验证规律的正确性； 5. 运用规律解决问题。 这是数学发现和创新的重要方法！ 五、典型例题 题型一：数字规律 【例1】观察下面两行数： 第一行：2， 4， 8， 16， 32， 64， ... 第二行：5， 7， 11， 19， 35， 67， ... 根据你发现的规律，回答问题： (1) 第一行的第n个数是多少？ (2) 第二行的第n个数是多少？ (3) 取每行数的第10个数，计算它们的和是多少？ 题型二：点阵图形规律 【例2】观察下列点阵图形和相应的等式，探究其中的规律： 点阵规律 第1个点阵： ● 共1个点，1 = 1² 第2个点阵： ●● ●● 共4个点，1 + 3 = 4 = 2² 第3个点阵： ●●● ●●● ●●● 共9个点，1 + 3 + 5 = 9 = 3² ...... (1) 请猜想：1 + 3 + 5 + 7 + ... + 19 = ______； (2) 请猜想：1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = ______； (3) 请用上述规律计算：41 + 43 + 45 + ... + 79。 题型三：日历中的规律 【例3】下图是2026年6月的日历： 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 观察日历中涂色的三个数（横向相邻、纵向相邻、对角相邻），回答问题： 探究日历中的数字规律 (1) 横向相邻的三个数（如8,9,10）之间有什么关系？ 如果设中间的数为a，那么左边的数为____，右边的数为____，三个数的和为____。 (2) 纵向相邻的三个数（如5,12,19）之间有什么关系？ 如果设中间的数为a，那么上面的数为____，下面的数为____，三个数的和为____。 (3) 对角线上的三个数（如1,9,17）之间有什么关系？ 如果设中间的数为a，那么左上的数为____，右下的数为____，三个数的和为____。 (4) 在日历中，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，它们的和一定是3的倍数吗？为什么？ 【规律总结】 日历中任意横排或竖列相邻三个数的和都等于中间数的3倍。 六、错误诊所 【易错点1】规律找错，验证不到位 病例：观察数列 1, 4, 9, 16, ...，小明说第n个数是 3n-2。 诊断：只看了前两个数 1 和 4，差为3，就误以为是等差数列，没有继续验证。 实际上：n=1时，3×1-2=1 ✓；n=2时，3×2-2=4 ✓；n=3时，3×3-2=7 ≠ 9 ✗ 正确答案：这是平方数列，第n个数是 n²。 警示：找规律时一定要多验证几个，至少验证n=1,2,3都正确才行。 【易错点2】图形规律数错个数 病例：用火柴棒摆正方形，4个正方形摆成一排，小刚说需要16根火柴棒。 诊断：每个正方形4条边，4个正方形就是4×4=16根，这是没有考虑相邻正方形共用边。 实际上：摆成一排的正方形，每相邻两个共用1条边，4个正方形有3条公共边， 所以实际需要 4×4 - 3 = 13 根火柴棒。 正确答案：摆n个正方形需要 (3n + 1) 根火柴棒。 警示：图形规律题要注意图形拼接时的公共部分，不能直接用单体数量乘以个数。 【易错点3】忽略字母取值范围 病例：观察下列等式规律： 1×2 = × (1×2×3 - 0×1×2) 2×3 = × (2×3×4 - 1×2×3) 3×4 = × (3×4×5 - 2×3×4) ... 小丽得出第n个等式是：n(n+1) = × [n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)] 她认为对于所有整数n都成立。 诊断：当n=0或n为负数时，等式右边出现0或负数，不符合规律的实际意义。 在规律探究题中，n通常表示正整数（n为正整数，即n ≥ 1且n为整数）。 正确答案：n(n+1) = [n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)]（n为正整数） 警示：用代数式表示规律时，要注意说明字母的取值范围（通常n是正整数）。 七、达标检测 A组 基础巩固（必做） 1. 按规律填空：2, 5, 8, 11, 14, ____，...，第n个数是______。 2. 按规律填空：1, -2, 3, -4, 5, -6, ____，...，第n个数是______。 3. 观察下列各式： 1 + 3 = 4 = 2² 1 + 3 + 5 = 9 = 3² 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² 则 1 + 3 + 5 + ... + 2025 = ______。 4. 用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案： 第1个图案有4张白色纸片，第2个图案有7张白色纸片，第3个图案有10张白色纸片， 则第n个图案中有______张白色纸片。 5. 观察下列球的排列规律（●是实心球，○是空心球）： ●○○●●○○○○●○○●●○○○○●○○●●○○○○●... 从第1个球起到第2026个球止，共有实心球______个。 B组 能力提升（选做） 6. 观察下面的三行单项式： x, 2x², 4x³, 8x⁴, 16x⁵, 32x⁶, ... ① -2x, 4x², -8x³, 16x⁴, -32x⁵, 64x⁶, ... ② 2x², -3x³, 5x⁴, -9x⁵, 17x⁶, -33x⁷, ... ③ (1) 根据你发现的规律，第①行第8个单项式为______； (2) 第②行第n个单项式为______； (3) 第③行第10个单项式为______。 7. 如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形： 第1个图用了12块瓷砖（3×4），其中黑色4块，白色8块； 第2个图用了20块瓷砖（4×5），其中黑色6块，白色14块； 第3个图用了30块瓷砖（5×6），其中黑色8块，白色22块； ...... (1) 第n个图中，共有______块瓷砖，其中黑色瓷砖______块，白色瓷砖______块； (2) 是否存在某个图形，使得白色瓷砖数恰好是黑色瓷砖数的5倍？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由。 C组 拓展创新（挑战） 8. 【探究题】我们知道：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。 请你观察下面的式子，寻找规律并解答问题： 1×2 = 1/3 × (1×2×3 - 0×1×2) 2×3 = 1/3 × (2×3×4 - 1×2×3) 3×4 = 1/3 × (3×4×5 - 2×3×4) ...... (1) 计算：1×2 + 2×3 + 3×4 + ... + 10×11； (2) 用含n的式子表示：1×2 + 2×3 + 3×4 + ... + n(n+1) = ______； (3) 请你猜想：1×2×3 + 2×3×4 + 3×4×5 + ... + n(n+1)(n+2) = ______。 八、中考链接 【中考真题1】（2024·安徽中考改编） 观察以下等式： 第1个等式： = 1 - 第2个等式： = - 第3个等式： = - 第4个等式： = - ... 按照以上规律，解决下列问题： (1) 写出第6个等式：____________________； (2) 写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示）； (3) 计算： + + + ... + 。 【中考真题2】（2024·云南中考改编） 按一定规律排列的单项式：x, -x³, x⁵, -x⁷, x⁹, ...，第n个单项式是（ ） A. (-1)^n · x^(2n-1) B. (-1)^(n+1) · x^(2n-1) C. (-1)^n · x^(2n+1) D. (-1)^(n+1) · x^(2n+1) 【解析】 系数：1, -1, 1, -1, ... → (-1)^(n+1) 指数：1, 3, 5, 7, ... → 2n-1 ∴ 第n个单项式是 (-1)^(n+1)·x^(2n-1) 【答案】B 九、数学文化 【数学史话】杨辉三角与贾宪三角 在我国南宋时期，数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中， 出现了一个著名的三角形数阵，被称为"杨辉三角"。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ...... 这个三角形有许多有趣的规律： ① 每行两端都是1，其余每个数都是它肩上两数之和； ② 第n行有n个数； ③ 第n行所有数的和是 2^(n-1)； ④ 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大再变小到1。 其实，最早发现这个三角的是北宋数学家贾宪（约公元11世纪）， 比欧洲的帕斯卡三角早了约500年！ 杨辉三角揭示了二项式展开式的系数规律，是代数与几何结合的经典范例， 体现了我国古代数学的辉煌成就。 【趣味数学】斐波那契数列 1202年，意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个有趣的兔子繁殖问题： 假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔， 并且以后每个月都生一对小兔。假设没有死亡，问：一对刚出生的兔子，一年后能繁殖成多少对兔子？ 这个问题的答案形成了一个著名的数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 这就是斐波那契数列，它的规律是：从第三项开始，每一项等于前两项之和。 用代数式表示为：a₁ = 1, a₂ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ (n ≥ 3) 斐波那契数列在自然界中随处可见： • 向日葵的种子排列（顺时针和逆时针的螺旋数通常是斐波那契数） • 松果、菠萝的鳞片排列 • 某些花朵的花瓣数（如百合3瓣、毛茛5瓣、翠雀8瓣、金盏花13瓣...） • 树枝的生长模式 这个数列还与黄金分割比有着密切的联系，真是太神奇了！ 十、小结与反思 【知识框架】 • 数字规律：等差、等比、平方、递推等 • 图形规律：火柴棒、点阵、图形拼接等 • 算式规律：等式、不等式、运算规律等 • 周期规律：循环、重复、余数定位等 【思想方法】 • 从特殊到一般：先研究n=1,2,3的特殊情况，再推广到一般情况 • 数形结合：图形规律与代数式表示的相互转化 • 验证思想：规律得出后要代入特殊值检验正确性 • 多角度思考：同一规律可能有不同的表达方式 【注意事项】 1. 找规律时要多列几组数据，不能只看一两个就下结论； 2. 得出规律后一定要验证，至少验证n=1,2,3都正确； 3. 图形规律要注意公共边/公共部分，不能直接相乘； 4. 用n表示规律时，注意n的取值范围（通常n是正整数）； 5. 同一规律可能有不同的表达形式，注意化简和比较。 【学习反思】 □ 我能准确找出数字排列的规律并用代数式表示 □ 我能从图形变化中发现规律并建立数学模型 □ 我能从算式或等式中归纳出一般性规律 □ 我掌握了"观察—猜想—归纳—验证—应用"的探究方法 □ 我体会到了从特殊到一般的数学思想 我的困惑：____________________________________ 我的收获：____________________________________ 答案 探究点1：数字规律 【例1】(1) 2，4，6，8，_10__，_12___，…，第n个数是_2n_____。 (2) 1，3，5，7，__9__，__11__，…，第n个数是__2n-1____。 (3) 2，4，8，16，__32__，__64__，…，第n个数是______。 (4) 1，4，9，16，__25__，_36___，…，第n个数是______。 (5) 2，6，12，20，__30__，_42___，…，第n个数是___+n___。 探究点2：图形规律 【例2】(2) 照这样的规律，摆10个三角形需要__21__根火柴棒？ (3) 摆n个三角形需要多少根火柴棒？你有几种表示方法？ 答：3 + 2(n - 1)或(2n + 1)；2种 (4) 如果有101根火柴棒，能摆多少个三角形？ 答： (2n + 1)=101，n=50,能摆50个三角形 探究点3：算式规律 例3 (1) 第6个等式是________________________； (2) 第n个等式是________________________（用含n的式子表示）； (3) 请验证你写出的第n个等式是否正确。 【验证】左边 = n² + 2n + 1 = (n + 1)² = 右边，所以等式成立。 五、典型例题 【例1】【解析】 (1) 第一行：2 = 2¹，4 = 2²，8 = 2³，16 = 2⁴，... ∴ 第n个数是 2ⁿ (2) 第二行：5 = 2+3，7 = 4+3，11 = 8+3，19 = 16+3，... 即第二行的每个数比第一行对应位置的数大3， ∴ 第二行第n个数是 2ⁿ + 3 (3) 第10个数的和：2¹⁰ + (2¹⁰ + 3) = 1024 + 1027 = 2051 【例2】【解析】 (1) 19是第10个奇数（2×10-1=19），所以 1+3+5+...+19 = 10² = 100 (2) 从1开始的n个连续奇数的和等于n²，即 1+3+5+...+(2n-1) = n² (3) 41 + 43 + ... + 79 = (1 + 3 + ... + 79) - (1 + 3 + ... + 39) = 40² - 20² = 1600 - 400 = 1200 【例3】 (1) 左边：a-1，右边：a+1，和：3a (2) 上面：a-7，下面：a+7，和：3a (3) 左上：a-8，右下：a+8，和：3a (4) 一定是 3 的倍数。 理由：设中间数为a，横行三数和为3a，竖列三数和也为3a，3a÷3=a，结果是整数，因此和一定是 3 的倍数。 A组 基础巩固（必做） 1. 答案：17；3n-1 2.答案：7；(-1)^(n+1) · n 3. 答案：1013² = 1026169 4. 答案：3n+1 5. 答案：608 B组 能力提升（选做） 6 (1) 答案：128x⁸ (2) 答案：(-2)ⁿxⁿ (3) 答案：-513x¹¹ 7. (1)答案：(n+2)(n+3)；2(n+1)；n²+3n+4 (2) 答案：不存在，因为解得n=-1或-2，不符合题意 C组 拓展创新（挑战） 8. (1)答案：440 (2) 答案：n(n+1)(n+2)/3 (3) 答案：n(n+1)(n+2)(n+3)/4 【中考真题1】（2024·安徽中考改编） 【答案】 (1) = - (2) = - （n为正整数） (3) 原式 = 1 - = 【中考真题2】（2024·云南中考改编） 【解析】 系数：1, -1, 1, -1, ... → (-1)^(n+1) 指数：1, 3, 5, 7, ... → 2n-1 ∴ 第n个单项式是 (-1)^(n+1)·x^(2n-1) 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $