3.2.1 代数式的值的概念与代入求值（第26课时）学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“代数式的值的概念与代入求值”，通过学校运动会领奖台的生活情境导入，引导学生从宽为x米的领奖台长、周长、面积表示入手，逐步过渡到具体数值代入计算，衔接字母表示数知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境生成概念、合作探究方法、错误诊所纠偏、分层次达标检测为特色，通过规范代入求值四步曲培养运算能力，结合实际应用例题发展应用意识，融入数学史话提升符号意识，助力学生夯实基础，养成严谨运算习惯与数学核心素养。

3.2.1 代数式的值的概念与代入求值 一、学习目标 【知识技能】理解代数式的值的概念，掌握直接代入求值的方法和步骤，能正确代入数值计算简单代数式的值。 【数学思考】经历从具体数值到代数式求值的过程，体会字母表示数的意义，发展符号意识。 【问题解决】能按照正确的步骤代入求值，会处理负数、分数代入时的括号问题。 【核心素养】通过代入求值的规范训练，培养严谨的运算习惯和认真细致的学习态度。 二、学习重难点 【重点】代数式的值的概念，直接代入求值的方法和步骤。 【难点】负数和分数代入时的括号问题，以及多个字母的代数式求值。 三、情境导入 【生活情境】学校运动会领奖台 学校运动会要搭建一个长方形领奖台，设计要求长比宽多2米。 问题1：如果设宽为 x 米，那么长可以表示为______米； 领奖台的周长可以表示为________米； 领奖台的面积可以表示为________平方米。 问题2：当 x = 3 时，长 = ____ 米，周长 = ____ 米，面积 = ____ 平方米。 问题3：当 x = 5 时，长 = ____ 米，周长 = ____ 米，面积 = ____ 平方米。 想一想：对于同一个代数式，当字母取不同的值时，计算结果相同吗？ 【概念生成】代数式的值 定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果， 叫做代数式的值。 关键词：①代入 ②计算 ③结果 注意：代数式的值是由代数式里字母所取的值确定的，字母取不同的值， 代数式的值可能不同，也可能相同。 四、合作探究 探究点1：代数式的值的概念理解 【活动】判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 代数式的值一定是正数。（ ） (2) 代数式 2x + 1 的值一定比 1 大。（ ） (3) 对于代数式 x²，x 取不同的值，代数式的值一定不同。（ ） (4) 当 x = 0 时，代数式 3x 的值是 3。（ ） (5) 代数式的值是由字母的取值决定的。（ ） 图1：代入求值的两种基本类型 探究点2：代入求值的步骤与方法 图2：代数式求值一般步骤 【做一做】填表练习 根据给出的 x 值，计算对应的代数式的值，填入下表： x -3 -1 0 2 5 x + 2 3x - 1 【方法归纳】代入求值的四步曲 1. 抄写：写出代数式（或指明代数式）； 2. 代入：将字母的值代入代数式，一一对应，不能混淆； 3. 计算：按照运算顺序计算结果； 4. 检查：检查符号、运算顺序是否正确。 格式要求： 当 x = ... 时， 代数式 = 代入后的式子 = 计算过程 = 结果 探究点3：负数和分数的代入技巧 图3：代入求值的正确与错误对比 【练一练】判断对错并改正 判断下列计算是否正确，错误的请改正。 (1) 当 a = -3 时，a² = -3² = -9 （ ） 改正： (2) 当 b = 2 时，3b² = 3×2² = 6² = 36 （ ） 改正： (3) 当 x = -1 时，2x + 3 = 2 - 1 + 3 = 4 （ ） 改正： 【特别提醒】三大注意事项 ① 代入负数时，一定要加上括号，尤其是乘方运算时！ ② 代入分数时，遇到乘方或乘法，也要加上括号！ ③ 代数式中省略的乘号，代入数值后要补上！ 五、典型例题 题型一：单字母直接代入求值 【例1】当 x = -2 时，求下列代数式的值： (1) 2x + 5 (2) x² - 3 (3) -x² + 1 【解析】 (1) 当 x = -2 时， 2x + 5 = 2 × (-2) + 5 = -4 + 5 = 1 (2) 当 x = -2 时， x² - 3 = (-2)² - 3 = 4 - 3 = 1 (3) 当 x = -2 时， -x² + 1 = -(-2)² + 1 = -4 + 1 = -3 【注意】-x² 表示 x² 的相反数，底数是 x，不是 -x。 题型二：多字母直接代入求值 【例2】当 a = 3，b = -2 时，求下列代数式的值： (1) a + 2b (2) a² + b² (3) (a + b)² 【解析】 (1) 当 a = 3，b = -2 时， a + 2b = 3 + 2 × (-2) = 3 + (-4) = -1 (2) 当 a = 3，b = -2 时， a² + b² = 3² + (-2)² = 9 + 4 = 13 (3) 当 a = 3，b = -2 时， (a + b)² = [3 + (-2)]² = 1² = 1 【思考】比较(2)和(3)的结果，你发现了什么？a² + b² 与 (a + b)² 相等吗？ 题型三：代数式求值的简单应用 【例3】某商店出售一种水果，每千克售价为 m 元。第一天卖出 20 千克，第二天卖出 30 千克。 (1) 用代数式表示这两天的总销售额； (2) 当 m = 8 时，求这两天的总销售额是多少元。 【解析】 (1) 两天总销售额 = (20 + 30)m = 50m（元） (2) 当 m = 8 时，50m = 50 × 8 = 400（元） 答：这两天的总销售额是 400 元。 六、错误诊所 【易错点1】代入负数漏加括号 病例：当 x = -5 时，求 x² 的值。 错解：x² = -5² = -25 诊断：错误在于没有给负数加括号，-5² 表示 5² 的相反数，结果是 -25； 而 (-5)² 表示 -5 的平方，结果是 25。 正确解法：x² = (-5)² = 25 警示：代入负数时，特别是进行乘方运算时，一定要给负数加上括号！ 【易错点2】运算顺序错误 病例：当 x = 3 时，求 2x² - 3 的值。 错解：2x² - 3 = 2 × 3² - 3 = 6² - 3 = 36 - 3 = 33 诊断：运算顺序错误。应该先算乘方 3² = 9，再算乘法 2×9 = 18，最后算减法。 正确解法：2x² - 3 = 2 × 3² - 3 = 2 × 9 - 3 = 18 - 3 = 15 警示：牢记运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 【易错点3】漏代字母或张冠李戴 病例：当 a = 2，b = 3 时，求 3a - 2b 的值。 错解：3a - 2b = 3 × 2 - 2 = 6 - 2 = 4 诊断：第二项的 b 忘记代入了，应该代入 b = 3。 正确解法：3a - 2b = 3 × 2 - 2 × 3 = 6 - 6 = 0 警示：多个字母时，要逐个对号入座，不能漏代，也不能把 a 的值代给 b。 七、达标检测 A组 基础巩固 1. 当 x = 2 时，代数式 x + 3 的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 当 a = -1 时，代数式 2a + 3 的值是（ ） A. -1 B. 1 C. 5 D. -5 3. 当 x = 3 时，代数式 x² 的值是（ ） A. 6 B. 9 C. 5 D. 3 4. 当 a = -2 时，代数式 a² - 1 的值是（ ） A. -5 B. -3 C. 3 D. 5 5. 填表： x -2 0 1 3 3x - 1 x² + 2 6. 当 a = 2，b = -3 时，求下列代数式的值： (1) 2a + b (2) a² + b² (3) ab - 1 B组 能力提升 7. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式的值是固定不变的 B. 当 x = 0 时，代数式 2x 的值是 2 C. 代数式的值只能是正数 D. 代数式的值由字母的取值决定 8. 当 x = -1，y = 2 时，代数式 x² - xy 的值是（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 9. 已知 x = 2 时，代数式 2x² + 3x + c 的值是 10，求 c 的值。 10. 某校七年级有学生 a 人，八年级学生人数比七年级的 2 倍少 50 人。 (1) 用代数式表示八年级的学生人数； (2) 当 a = 120 时，求八年级的学生人数。 C组 拓展创新 11. 【规律探究】观察下列代数式的值的变化情况： 当 x = 1 时，2x + 1 = 3； 当 x = 2 时，2x + 1 = 5； 当 x = 3 时，2x + 1 = 7； 当 x = 4 时，2x + 1 = 9； ...... (1) 随着 x 的值逐渐增大，代数式 2x + 1 的值怎么变化？ (2) 当 x = 10 时，代数式 2x + 1 的值是多少？ (3) 若代数式 2x + 1 的值是 21，求 x 的值。 12. 【新定义】我们规定：对于任意有理数 a、b，都有 a ⊕ b = 2a - b。 例如：3 ⊕ 4 = 2 × 3 - 4 = 2。 (1) 求 (-2) ⊕ 3 的值； (2) 若 x ⊕ (-1) = 5，求 x 的值； (3) 若 1 ⊕ x = 3，求 x 的值。 八、中考链接 【中考真题1】（2023·广西中考） 当 x = -1 时，代数式 3x + 1 的值是（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 【中考真题2】（2024·江苏徐州中考改编） 当 a = -2 时，代数式 a² 的值为（ ） A. -4 B. 4 C. -2 D. 2 九、数学文化 【数学史话】"代数"一词的由来 "代数"（algebra）一词源于阿拉伯数学家花拉子米（约780-850）的著作 《还原与对消的科学》（Kitab al-jabr wa'l-muqabalah）。 书中的"al-jabr"（还原）一词，后来演变成拉丁语的"algebra"， 再传入中国后被翻译为"代数"。 花拉子米被称为"代数之父"，他的著作在欧洲被广泛使用了几个世纪。 在他那个时代，人们还没有使用符号来表示未知数和运算， 所有的数学问题都是用文字来叙述和解决的，叫做"修辞代数"。 直到16世纪，法国数学家韦达才开始系统地用字母表示数， 使得代数从"修辞代数"发展到"符号代数"，数学表达变得更加简洁和通用。 现在我们学习的代数式求值，就是符号代数的基础内容之一。 十、小结与反思 【知识梳理】 • 概念：用数值代替代数式里的字母，按照运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值 • 步骤：抄写 → 代入 → 计算 → 检查 • 关键：对号入座，负数分数要加括号，省略乘号要补上 • 关系：代数式的值随字母取值的变化而变化 【方法技巧】 • 代入技巧：一要对号，二要加括号，三要补乘号 • 计算技巧：按运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减 • 检验方法：将结果代回原式，或用不同方法验算 【易错警示】 1. 负数代入不加括号，导致符号错误； 2. 分数代入乘方不加括号，导致运算顺序错误； 3. 多个字母时代入错位，张冠李戴； 4. 省略乘号的地方，代入数值后忘记补乘号； 5. 运算顺序混乱，先加减后乘除。 【学习反思】 □ 我理解了代数式的值的概念 □ 我能正确代入数值计算代数式的值 □ 我掌握了负数和分数代入时加括号的技巧 □ 我能正确处理多字母的代入求值 □ 我能解决简单的代数式求值实际问题 我的困惑：________________________________________________ 我的收获：________________________________________________ 参考答案 一、学习目标 （略，见正文） 二、学习重难点 （略，见正文） 三、情境导入 问题1. 长：(x+2) 米；周长：2(x+2+x) = (4x+4) 米；面积：x(x+2) 平方米 问题2. 长=5米，周长=16米，面积=15平方米 问题3. 长=7米，周长=24米，面积=35平方米 四、合作探究 探究点1 判断. (1) ×，如 x = -1 时，x+1 = 0，不是正数(2) ×，当 x 是负数时，2x+1 可能小于1(3) ×，如 x = 2 和 x = -2 时，x² 都等于 4(4) ×，当 x = 0 时，3x = 0(5) √ 探究点2 填表. x+2：-1, 1, 2, 4, 7； 3x-1：-10, -4, -1, 5, 14 探究点3 练一练. (1) 错，改正：a² = (-3)² = 9(2) 错，改正：3b² = 3×2² = 3×4 = 12(3) 错，改正：2x + 3 = 2×(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 五、典型例题 例1. (1) 1； (2) 1； (3) -3 例2. (1) -1； (2) 13； (3) 1 例3. (1) 50m 元； (2) 400 元 六、错误诊所 （略，见正文解析） 七、达标检测 A组 基础巩固 1. A. 5 2. B. 1 3. B. 9 4. C. 3 5. 3x-1：-7, -1, 2, 8； x²+2：6, 2, 3, 11 6. (1) 2×2 + (-3) = 1； (2) 4 + 9 = 13； (3) 2×(-3) - 1 = -7 B组 能力提升 7. D 8. D. 3 （ (-1)² - (-1)×2 = 1 + 2 = 3 ） 9. 当 x = 2 时，2×4 + 3×2 + c = 10 → 8 + 6 + c = 10 → c = -4 10. (1) (2a - 50) 人； (2) 2×120 - 50 = 190 人 C组 拓展创新 11. (1) 随着 x 增大，2x+1 的值也逐渐增大；(2) 当 x = 10 时，2×10 + 1 = 21；(3) 2x + 1 = 21 → x = 10 12. (1) 2×(-2) - 3 = -7；(2) 2x - (-1) = 5 → 2x + 1 = 5 → x = 2；(3) 2×1 - x = 3 → x = -1 八、中考链接 真题1. B 真题2. B 九、数学文化 （略，阅读了解） 十、小结与反思 （略，自行总结） 学科网（北京）股份有限公司 $