1.2.1 有理数的概念 （第3课时）学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦有理数的概念及分类，通过智能手机传感器数据、共享出行账单、数字货币行情等生活情境导入，引导学生回顾整数、分数、正负数知识，为抽象有理数概念搭建学习支架。 以数学抽象、逻辑推理、数据观念为核心素养导向，设计情境问题链、合作探究及错误诊所分层训练，结合数学文化解读与中考链接，帮助学生理解概念本质，培养分类思维与应用意识，适合自主学习与课堂教学。

1.2.1 有理数的概念（第3课时） 2026--2027学年人教版七年级数学上册 班级：________ 姓名：________ 日期：________ 一、学习目标 【知识技能】 1. 理解有理数的概念，知道有理数是“可以写成分数形式的数” 2. 掌握有理数的两种分类方法，能正确对有理数进行分类 3. 理解0在有理数分类中的特殊地位 4. 了解有限小数和无限循环小数都是有理数 【核心素养】 1. 数学抽象：从具体数中抽象出整数、分数、有理数的概念 2. 逻辑推理：通过分类讨论培养逻辑思维能力 3. 数据观念：理解数的扩充过程，体会数系扩展的必要性 二、学习重难点 重点：有理数的概念及两种分类方法 难点：0的分类归属、有限小数和无限循环小数属于有理数的理解 三、情境导入 【情境1】智能手机传感器数据 一部智能手机同时显示：室内温度22.5℃、湿度-3%（低于标准值）、电量变化+15%、存储空间剩余-2.1GB（不足）。 这些数据中，哪些是整数？哪些是分数？ 【情境2】共享出行账单 某共享出行APP月度账单显示：骑行费用28.5元、步行奖励+3.2元、红包抵扣-5.0元、账户余额0元。 将这些数按整数和分数分类。 【情境3】数字货币行情 某数字货币平台实时行情：比特币+2.3%、以太坊-1.7%、莱特币0%、瑞波币+0.5%、狗狗币-3.8%。 哪些数据是正数？哪些是负数？0属于哪一类？ 思考问题： 1. 情境1中的22.5和-2.1是整数还是分数？为什么？ 2. 情境2中的0元，是正数还是负数？是整数吗？ 3. 你能将上述所有数据分成两大类吗？你的分类标准是什么？ 4. 3.14和3.333…（3循环）是分数吗？它们能写成分数形式吗？ 5. 如果一个数不是整数，它一定是分数吗？ 四、合作探究 探究点1：有理数的概念 问题1. 下列各数中，哪些是整数？哪些是分数？+3、-5、0、2.5、-、0.7、-4.0、10 ________ 问题2. 为什么说“整数和分数统称为有理数”？整数可以写成分数形式吗？举例说明。 ________ ________ 要点归纳：有理数=可以写成分数形式的数。整数可以写成以1为分母的分数形式，如3=3/1。 探究点2：有理数的分类 问题3. 把下列各数填入对应的集合：+5、-3、0、、-、3.6、-0.5、+8 正整数集合：{______…} 负整数集合：{______…} 正分数集合：{______…} 负分数集合：{______…} 问题4. 有理数按符号可以分为哪几类？0应该归入哪一类？ ________ 要点归纳：两种分类——①按定义：整数+分数；②按符号：正有理数+0+负有理数。注意0既不是正数也不是负数。 探究点3：0的特殊性与小数归属 问题5. 下列关于0的说法，正确的有哪些？ ①0是自然数 ②0是整数 ③0是正数 ④0是负数 ⑤0是有理数 ⑥0既不是正数也不是负数 ________ 问题6. 3.14能写成分数吗？3.333…（3循环）能写成分数吗？π=3.14159…能写成分数吗？ ________ ________ 要点归纳：0是整数、自然数、有理数，但既不是正数也不是负数。有限小数和无限循环小数可以化为分数，属于有理数；π等无限不循环小数不是有理数。 五、典型例题 例1 （有理数分类判断）下列各数：-7、3.5、0、-、+12、-0.8、4、-20 (1). 哪些是正整数？哪些是负整数？ ________ (2). 哪些是正分数？哪些是负分数？ ________ (3). 哪些是正有理数？哪些是负有理数？ ________ 例2 （概念辨析）下列说法正确的有______个： ①一个有理数不是整数就是分数 ②正整数和负整数统称为整数 ③0既不是正数也不是负数 ④正分数和负分数统称为分数 ⑤有理数包括正有理数和负有理数 例3 （分类填空综合题）把下列各数填入相应集合：-8、0、+3.6、-、+7、-0.25、4、-100 . 正数集合：{________________________} ________ . 负数集合：{________________________} ________ . 整数集合：{________________________} ________ . 分数集合：{________________________} ________ . 非负数集合：{________________________} ________ . 非正整数集合：{________________________} ________ 变式训练： 1. 在-2、+3.5、0、、-0.7、+11中，负分数有______个。 ________ 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数分为正有理数和负有理数 B. 0是最小的整数 C. 非负数包括零和正数 D. 整数包括正整数和负整数 六、错误诊所 1. “一个数不是正数就是负数”（ ） 错误原因：______ 2. “0是最小的有理数”（ ） 错误原因：______ 3. “3.14不是分数，所以不是有理数”（ ） 错误原因：______ 4. “整数和分数统称为有理数，所以有理数只有整数和分数两种”（ ） 错误原因：______ 七、达标检测 A组 基础巩固 1. 下列说法正确的是（ ） A. 正整数和负整数统称为整数 B. 整数和分数统称为有理数 C. 正有理数和负有理数统称为有理数 D. 有理数包括整数、零、分数 2. 关于0的说法，正确的是（ ） A. 0是最小的整数 B. 0是正数 C. 0既不是正数也不是负数 D. 0不是自然数 3. 在-5、+3、0、-、2.5、-7中，整数有______个，分数有______个。 ________ 4. 把+2、-6、0、、-0.5、+9填入相应集合： 正整数集合：{______} 负整数集合：{______} 正分数集合：{______} 负分数集合：{______} 5. 判断：0.3是有理数。（ ） B组 能力提升 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一个有理数不是正数就是负数 B. 0是最小的自然数 C. 分数包括正分数、0和负分数 D. 有理数分为整数、0、分数 7. 把下列各数分别填入相应集合：-7、3.5、-3.14、0、、10、- 自然数集合：{______} 整数集合：{______} 正分数集合：{______} 非正数集合：{______} 8. 已知a是正整数，b是负分数，c是0，写出满足条件的一组a、b、c的值。 ________ ________ C组 拓展探究 9. 下列说法正确的有______个： ①零是整数②零是自然数③零不是正数也不是负数④零既不是奇数也不是偶数⑤零是最小的有理数 10. 有限小数3.14能写成分数吗？请把它化为分数形式。无限循环小数0.333…能写成分数吗？请说明理由。 ________ ________ 11. 把-3、+2.5、0、-、+7、-0.6、4、-15按要求分类： （1）按有理数的定义分类： ________ （2）按符号分类： ________ 八、中考链接 1. （2024·中考）下列说法正确的是（ ） A. 0既不是正数也不是负数 B. 一个有理数不是正数就是负数 C. 0是最小的整数 D. 正数和负数统称为有理数 2. （2024·中考）在-3、0、+1.5、-、+4中，正有理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 九、数学文化长廊 【有理数名称的由来】 “有理数”这个名称其实是一个翻译“误会”。在西方数学中，有理数的英文是“rational number”，来源于拉丁语“ratio”，意为“比率”。所以“rational number”的准确含义是“可以表示为两个整数之比的数”，即可以写成分数形式的数。 然而，中文翻译时，“ratio”被译为“理性”，于是“rational number”就变成了“有理数”，给人一种“讲道理的数”的错觉。与之对应，不能表示为两个整数之比的数，就被称为“无理数”（irrational number）。 这个翻译虽然不准确，但已经约定俗成。理解了“有理数”真正含义是“可以写成比率（分数）形式的数”，你就能明白为什么整数也是有理数（3可以写成），为什么有限小数和无限循环小数也是有理数（3.14=，0.333…=），而π不是有理数（它不能写成两个整数的比）。 思考： 1. 你还能举出哪些“有理”但名字不太准确的数学术语？ 2. 如果让你重新翻译“rational number”，你会怎么译？ 十、课堂小结 【知识结构表】 维度 内容 关键点 定义 可以写成分数形式的数 整数可以写成分母为1的分数 按定义分类 整数+分数 整数={正整数,0,负整数}，分数={正分数,负分数} 按符号分类 正有理数+0+负有理数 0既不是正数也不是负数 0的特殊性 整数、自然数、有理数 0≠正数≠负数 小数归属 有限小数和无限循环小数是有理数 无限不循环小数不是有理数 【我的收获】 ________ ________ ________ 十一、课后反思 1. 本节课我学会了________________________________________________ ________ 2. 我还不明白的地方是____________________________________________ ________ 3. 我容易出错的地方是____________________________________________ ________ 4. 我想进一步探究的问题是________________________________________ ________ 参考答案 情境导入 1. 情境1：22.5和-2.1都是小数/分数，因为它们不是整数 2. 情境2：0元既不是正数也不是负数，但0是整数 3. 可以按整数和分数分类，或按正数、负数、0分类 4. 3.14=314/100是有理数；0.333…=1/3是有理数；π不是有理数 5. 不是，如π不是整数也不是分数 典型例题 例1(1). 正整数：+12；负整数：-7、-20 例1(2). 正分数：3.5、4；负分数：-、-0.8 例1(3). 正有理数：3.5、+12、4；负有理数：-7、-、-0.8、-20；0既不是正数也不是负数 例2. 正确的有3个：①③④。②错误（0也是整数）；⑤错误（有理数还包括0） 例3. 正数集合：{+3.6, +7, 4}；负数集合：{-8, -, -0.25, -100}；整数集合：{-8, 0, +7, -100}；分数集合：{+3.6, -, -0.25, 4}；非负数集合：{0, +3.6, +7, 4}；非正整数集合：{-8, 0, -100} 变式训练 1. 1个（-0.7是负分数） 2. C 错误诊所 1. ×；错误原因：0既不是正数也不是负数 2. ×；错误原因：有理数没有最小值，负数可以无限小 3. ×；错误原因：3.14可以化为分数314/100，所以是有理数 4. ×；错误原因：有理数按定义分就是整数和分数两类，按符号分则分为三类 达标检测 A1. B A2. C A3. 整数有4个（-5、+3、0、-7）；分数有2个（-1/3、2.5） A4. 正整数：{+2, +9}；负整数：{-6}；正分数：{3/4}；负分数：{-0.5} A5. √（0.3=3/10是有理数） B6. B B7. 自然数：{0, 10}；整数：{-7, 0, 10}；正分数：{3.5, 2/3}；非正数：{-7, -3.14, 0, -1/5} B8. 如：a=5, b=-, c=0 C9. 3个（①②③正确） C10. 3.14=314/100=157/50是有理数；0.333…=1/3是有理数；π不能写成分数形式，不是有理数 C11. （1）整数：{-3, 0, +7, -15}；分数：{+2.5, -1/3, -0.6, 4}；（2）正有理数：{+2.5, +7, 4}；0；负有理数：{-3, -1/3, -0.6, -15} 中考链接 1. A 2. B（+1.5和+4是正有理数，共2个） 【题目来源说明】 本导学案中选择题、填空题和判断题参考2024年中考新题风格设计，典型例题和综合题参考2024年标准题型。 学科网（北京）股份有限公司 $