3.2.2 代数式的值的实际应用与程序计算 学案 2025-2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦代数式的值的实际应用、程序计算与整体代入，通过超市购物促销的生活情境导入，引导学生从实际问题中抽象数量关系列出代数式，再衔接程序计算（将流程图转化为代数式）和整体代入思想，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于情境化与结构化设计，生活情境和行程问题培养数学眼光（抽象能力、应用意识），程序计算与整体代入训练数学思维（推理意识、运算能力），分层达标检测和错误诊所有助于巩固，融入数学文化与中考链接提升应用价值，发展模型意识与逻辑推理能力。

3.2.2 代数式的值的实际应用与程序计算 一、学习目标 【知识技能】能运用代数式的值解决实际问题，理解程序计算的原理，掌握整体代入的思想方法。 【数学思考】经历将实际问题转化为代数式求值的过程，发展建模思想和应用意识。 【问题解决】能分析实际问题中的数量关系，列出代数式并代入求值，能读懂简单的程序框图。 【核心素养】通过实际应用和程序计算，培养数学建模能力和逻辑推理能力，体会数学的应用价值。 二、学习重难点 【重点】实际问题中列代数式并求值，程序计算，整体代入法。 【难点】分析实际问题中的数量关系，整体代入思想的灵活运用。 三、情境导入 【生活情境】超市购物促销 某超市在国庆期间推出促销活动： • 所有商品一律打八折销售 • 购物满 200 元再减 20 元 • 会员还可以再享受九五折优惠 问题： (1) 如果一件商品的原价为 x 元，那么打折后的价格是多少元？ (2) 小明买了一件原价 150 元的商品，实际需要付多少钱？ (3) 妈妈买了一件原价 300 元的商品，她是会员，实际需要付多少钱？ (4) 如果你有 200 元钱，最多可以买原价多少元的商品（非会员）？ 在日常生活中，我们经常需要用代数式来表示数量关系， 然后代入具体数值计算结果。这就是代数式求值的实际应用。 四、合作探究 探究点1：程序计算 在计算机程序中，我们可以把代数式设计成计算程序。 输入一个值，程序就会按照设定的步骤计算，输出结果。 图1：程序计算流程图 【试一试】程序计算 按下图所示的程序计算： 输入 x → 乘以 3 → 减去 2 → 输出结果 (1) 若输入 x = 4，则输出的结果是多少？ (2) 若输入 x = -1，则输出的结果是多少？ (3) 若输出的结果是 7，那么输入的 x 是多少？ 【思考】程序计算与代数式求值有什么关系？ 程序实际上就是用流程图的形式表示一个代数式，输入值就是字母的取值， 输出值就是代数式的值。 探究点2：实际问题中的代数式求值 图2：实际应用问题解题流程 【活动探究】行程问题 甲、乙两地相距 200 千米，一辆汽车从甲地出发，以 v 千米/时的速度匀速行驶。 (1) 汽车行驶 t 小时后，距离甲地有多远？距离乙地还有多远？ (2) 当 v = 60，t = 2 时，汽车距离甲地和乙地各有多远？ (3) 汽车从甲地到乙地需要多长时间？用代数式表示。 (4) 当 v = 80 时，汽车从甲地到乙地需要多长时间？ 【方法归纳】实际问题解题步骤 1. 审题：弄清题意，找出已知量和未知量； 2. 列代数式：用字母表示问题中的数量关系； 3. 代入求值：将已知数值代入代数式，计算结果； 4. 检验作答：检验结果是否符合实际意义，写出答案。 关键：正确理解题意，找准数量关系。 探究点3：整体代入思想 图3：整体代入思想示意 【探究活动】整体代入 已知 a + b = 3，求下列代数式的值： (1) 2(a + b) (2) 2a + 2b (3) 2a + 2b + 5 思考： ① 你能求出 a 和 b 分别是多少吗？有多少种可能？ ② 不求出 a 和 b 的具体值，能算出结果吗？ ③ 什么是整体代入法？它有什么好处？ 【知识提炼】整体代入法 定义：当已知条件和所求代数式中含有相同的部分时，我们可以将这部分 看成一个整体，不用求出每个字母的具体值，直接整体代入计算。 适用情况：已知某个代数式的值，求另一个与之相关的代数式的值。 常见变形： • 若已知 a + b = m，则 2a + 2b = 2m，a + b + 3 = m + 3 • 若已知 a - b = n，则 2a - 2b = 2n，b - a = -n 核心：观察发现已知式与待求式之间的倍数关系或相反数关系。 五、典型例题 题型一：程序计算问题 【例1】根据如图所示的程序计算，若输入 x 的值为 3，求输出的结果。 输入 x → 平方 → 加上 2x → 减去 1 → 输出结果 【解析】 根据程序，对应的代数式为：x² + 2x - 1 当 x = 3 时， x² + 2x - 1 = 3² + 2 × 3 - 1 = 9 + 6 - 1 = 14 所以输出的结果是 14。 【方法总结】解程序计算问题的关键是根据程序写出对应的代数式， 然后将输入值代入计算即可。 题型二：销售利润问题 【例2】某商店购进一批文具，每件进价为 a 元，零售价为每件 b 元。第一天卖出了 15 件，第二天卖出了 20 件。 (1) 用代数式表示这两天的总利润； (2) 当 a = 5，b = 8 时，求这两天的总利润； (3) 如果第三天卖出的件数是前两天总和的一半，求三天的总利润（用代数式表示）。 【解析】 (1) 每件利润 = 售价 - 进价 = (b - a) 元 两天总销量 = 15 + 20 = 35 件 总利润 = 35(b - a) 元 (2) 当 a = 5，b = 8 时， 35(b - a) = 35 × (8 - 5) = 35 × 3 = 105（元） 答：这两天的总利润是 105 元。 (3) 第三天销量 = 35 ÷ 2 = 17.5？不对，销量应该是整数。 第三天销量是前两天总和的一半，即 件？ 三天总利润 = (15 + 20 + 17.5)(b - a) = 52.5(b - a) 元 或写成分数形式：105(b-a)/2 元 题型三：整体代入求值 【例3】已知 x + 2y = 4，求代数式 3x + 6y - 2 的值。 【解析】 观察发现：3x + 6y = 3(x + 2y) 所以 3x + 6y - 2 = 3(x + 2y) - 2 把 x + 2y = 4 整体代入，得： 3 × 4 - 2 = 12 - 2 = 10 答案：10 【例4】已知 x² - 2x = 3，求代数式 2x² - 4x + 7 的值。 【解析】 观察发现：2x² - 4x = 2(x² - 2x) 所以 2x² - 4x + 7 = 2(x² - 2x) + 7 把 x² - 2x = 3 整体代入，得： 2 × 3 + 7 = 6 + 7 = 13 答案：13 六、错误诊所 【易错点1】程序计算中运算顺序理解错误 病例：程序：输入 x → 加上 3 → 平方 → 输出。当 x = 2 时，求输出值。 错解：2 + 3² = 2 + 9 = 11 诊断：程序是先加3，再对整个结果平方，即 (x+3)²，而不是 x + 3²。 正确解法：(2 + 3)² = 5² = 25 警示：程序计算要严格按照步骤顺序来，每一步都是对上一步结果进行操作， 不是对原始输入值分别操作。必要时加括号明确运算顺序。 【易错点2】实际问题中单位不统一 病例：汽车以 60 千米/时的速度行驶，问 30 分钟行驶多少千米？ 错解：60 × 30 = 1800 千米 诊断：速度单位是千米/时，时间是分钟，单位不统一，不能直接相乘。 30分钟 = 0.5小时，应该是 60 × 0.5 = 30 千米。 正确解法：30分钟 = 0.5小时，60 × 0.5 = 30（千米） 警示：在实际问题中，一定要注意单位是否统一，不统一的要先统一单位再计算。 【易错点3】整体代入时符号处理错误 病例：已知 a + b = 5，求 3 - a - b 的值。 错解：3 - a - b = 3 - (a - b) = 3 - 5 = -2 诊断：添括号时符号错误。-a - b = -(a + b)，而不是 -(a - b)。 正确解法：3 - a - b = 3 - (a + b) = 3 - 5 = -2（结果相同但过程错，换数就错了） 警示：整体代入时，要正确运用添括号法则：括号前是负号，括号里各项都要变号。 七、达标检测 A组 基础巩固 1. 按程序：输入 x → 乘以 2 → 加上 5 → 输出。若输入 x = 3，则输出为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 2. 已知 a + b = 2，则代数式 2a + 2b + 3 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 一支铅笔的售价为 m 元，小红买了 5 支铅笔，她付给售货员 20 元，应找回（ ） A. 5m 元 B. (20 - 5m) 元 C. (5m - 20) 元 D. (20 + 5m) 元 4. 某班有男生 a 人，女生比男生多 3 人，则全班人数为____人；当 a = 25 时，全班有____人。 5. 根据程序计算：输入 x → 平方 → 减去 3 → 输出结果。 (1) 当 x = 2 时，输出结果为____； (2) 当 x = -2 时，输出结果为____； (3) 当输出结果为 6 时，输入的 x = ____。 B组 能力提升 6. 若 2a - b = 3，则代数式 2b - 4a + 5 的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 11 D. -11 7. 一个长方形的长是 a 厘米，宽比长短 3 厘米。当 a = 10 时，这个长方形的面积是（ ） A. 70 平方厘米 B. 30 平方厘米 C. 13 平方厘米 D. 26 平方厘米 8. 某书店出售一种图书，每本定价 15 元。为了促销，书店规定：买 10 本以上，从第 11 本开始打八折。 (1) 小明买了 8 本，需要付多少钱？ (2) 小红买了 15 本，需要付多少钱？ (3) 如果买 x 本（x > 10），需要付多少钱？（用代数式表示） 9. 已知 x² + 3x = 2，求代数式 2x² + 6x - 5 的值。 C组 拓展创新 10. 【程序循环】有一个程序：输入 x → 乘以 2 → 减去 1 → 检查结果是否大于 100，如果大于就输出结果；如果不大于，就把结果作为新的输入值继续计算。 若开始输入 x = 10，那么经过几次运算后输出？输出的结果是多少？ 11. 【方案选择】某通讯公司推出两种手机话费套餐： 套餐A：月租费 20 元，通话每分钟 0.2 元； 套餐B：无月租费，通话每分钟 0.3 元。 (1) 设一个月通话时间为 x 分钟，用代数式分别表示两种套餐的费用； (2) 当每月通话 150 分钟时，选择哪种套餐更合算？ (3) 当每月通话多少分钟时，两种套餐费用相同？ 八、中考链接 【中考真题1】（2024·重庆中考） 若 a - 2b = 3，则代数式 2a - 4b + 1 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【解析】2a - 4b + 1 = 2(a - 2b) + 1 = 2×3 + 1 = 7 答案：C 【中考真题2】（2023·湖北武汉中考改编） 某商店销售一批玩具，每件进价为 40 元，售价为 60 元， 平均每天可售出 20 件。为了扩大销售，商店决定降价销售。 经调查发现，每件玩具每降价 1 元，平均每天可多售出 2 件。 设每件玩具降价 x 元。 (1) 降价后每件玩具的利润是多少元？ (2) 当 x = 5 时，每天的销售量是多少件？每天的总利润是多少元？ 【解析】 (1) 降价后每件利润 = (60 - x) - 40 = (20 - x) 元 (2) 当 x = 5 时，销量 = 20 + 2×5 = 30 件 总利润 = 30×(20 - 5) = 30×15 = 450 元 九、数学文化 【数学史话】程序思想的起源 程序计算的思想可以追溯到古代。早在公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得 在《几何原本》中就提出了求最大公约数的"辗转相除法"，这可以看作是 最早的算法程序之一。 中国古代数学也有很多程序化的算法，比如《九章算术》中的"盈不足术" "方程术"等，都是按照固定的步骤来解决一类问题。 在现代，程序计算已经成为计算机科学的基础。计算机本质上就是按照 程序（指令序列）来执行计算的机器。我们使用的所有软件——从手机APP 到游戏、从搜索引擎到人工智能——都是由各种各样的程序组成的。 代数式求值是最简单的程序之一。通过学习程序计算，我们可以初步体会 算法的思想，为以后学习编程和计算机科学打下基础。 有趣的是，最早的计算机程序是由一位女性——阿达·洛芙莱斯（Ada Lovelace） 在19世纪编写的。她被称为"世界上第一位程序员"。 十、小结与反思 【知识框架】 • 程序计算：读懂程序框图 → 写出代数式 → 代入求值 • 实际应用：审题 → 列代数式 → 代入计算 → 检验作答 • 整体代入：观察已知与待求的关系 → 变形 → 整体代入计算 【思想方法】 • 建模思想：将实际问题转化为数学问题（代数式） • 整体思想：将某个代数式看作整体，简化计算 • 转化思想：程序问题 → 代数式问题 → 计算问题 • 分类思想：方案选择问题需要分类讨论不同情况 【注意事项】 1. 程序计算要严格按照步骤顺序，注意运算顺序，必要时加括号； 2. 实际问题中要注意单位统一，结果要符合实际意义； 3. 整体代入时，要正确运用去括号和添括号法则，注意符号变化； 4. 列代数式时要准确理解题意，理清数量关系； 5. 结果要检验，确保答案合理。 【学习反思】 □ 我能读懂简单的程序框图并列代数式 □ 我能解决实际问题中的代数式求值问题 □ 我掌握了整体代入的思想方法 □ 我能进行方案选择类的计算与比较 □ 我能在解题后检验结果是否合理 我的困惑：________________________________________________ 我的收获：________________________________________________ 参考答案 一、学习目标 （略，见正文） 二、学习重难点 （略，见正文） 三、情境导入 问题(1). 0.8x 元（八折后） 问题(2). 150 × 0.8 = 120 元 问题(3). 300 × 0.8 = 240 元，满200减20：240 - 20 = 220 元，会员再打九五折：220 × 0.95 = 209 元 问题(4). 设原价为 x 元，0.8x = 200 → x = 250 元 四、合作探究 探究点1 试一试. (1) 3×4 - 2 = 10； (2) 3×(-1) - 2 = -5； (3) 3x - 2 = 7 → x = 3 探究点2 活动探究. (1) 距甲地：vt 千米；距乙地：(200 - vt) 千米(2) 距甲地：60×2 = 120 千米；距乙地：200 - 120 = 80 千米(3) 需要 200/v 小时(4) 当 v = 80 时， = 2.5 小时 探究点3 探究活动. (1) 2×3 = 6； (2) 2×3 = 6； (3) 6 + 5 = 11① a和b的值不确定，有无数种可能；② 可以，用整体代入法；③ 把某个代数式看成整体代入，可以不用求每个字母的值，简化计算。 五、典型例题 例1. 输出结果为 14 例2. (1) 35(b - a) 元； (2) 105 元； (3) 52.5(b - a) 元 例3. 10 例4. 13 六、错误诊所 （略，见正文解析） 七、达标检测 A组 基础巩固 1. A. 11 2. C. 7 3. B. (20 - 5m) 元 4. (2a + 3) 人；当 a = 25 时，全班有 53 人 5. (1) 4 - 3 = 1； (2) 4 - 3 = 1； (3) x² - 3 = 6 → x = ±3 B组 能力提升 6. A. -1 （2b - 4a + 5 = -2(2a - b) + 5 = -6 + 5 = -1） 7. A. 70 平方厘米 （10 × (10-3) = 70） 8. (1) 8 × 15 = 120 元；(2) 10×15 + 5×15×0.8 = 150 + 60 = 210 元；(3) 10×15 + (x-10)×15×0.8 = 150 + 12(x-10) = (12x + 30) 元 9. 2x² + 6x - 5 = 2(x² + 3x) - 5 = 2×2 - 5 = -1 C组 拓展创新 10. 第1次：2×10 - 1 = 19（不大于100，继续）第2次：2×19 - 1 = 37（不大于100，继续）第3次：2×37 - 1 = 73（不大于100，继续）第4次：2×73 - 1 = 145（大于100，输出）答案：经过4次运算，输出结果为145。 11. (1) 套餐A：(20 + 0.2x) 元；套餐B：0.3x 元(2) A: 20 + 0.2×150 = 50 元；B: 0.3×150 = 45 元；选择套餐B更合算(3) 20 + 0.2x = 0.3x → x = 200 分钟 八、中考链接 真题1. C 真题2. (1) (20 - x) 元；(2) 销量 30 件，总利润 450 元 九、数学文化 （略，阅读了解） 十、小结与反思 （略，自行总结） 学科网（北京）股份有限公司 $