【期末复习冲刺】第21章四边形复习教学案（原卷版+解析版）-2025-2026学年人教版八年级数学下册专题提优训练及压轴题易错题专项训练

【期末复习冲刺】第21章四边形复习教学案 知识点一 直角三角形斜边上的中线 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点A，B对应的刻度分别为0，6，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，D为斜边的中点，且BD＝4，点P，Q分别在AB和BC上，且DP＝CQ，则线段PQ的最小值为　 　 ． 3．证明：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 4．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 5．下面是琪琪同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．求证：． 方法一 证明：如图，延长BC至点D，使BD＝AB，连接AD． 方法二 证明：如图，在线段AB上取一点D，使得BD＝BC，连接CD． 知识点二 三角形中位线定理 6．如图，在四边形ABCD中，M是AD上一动点，N是AB上一定点，连接CM，MN，E，F分别是CM，MN的中点．当点M从点A向点D移动时，关于线段EF的长度，下列结论一定正确的是（　　） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 7．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点F是线段DE上的点，且AF⊥BF于F，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 8．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2 9．如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，BG⊥AG于G，过G作GE∥AC交BC于E，若AB＝10，AC＝16，则EG的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 10．如图，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，连接PC，PD，分别取PC，PD的中点M，N，连接MN，则线段MN的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D． 11．如图，已知在四边形ABCD中，∠B＝90°，点E，F分别是AD，CD的中点，连接EF，若AB＝1，BC＝3，则线段EF的长是　 ． 12．△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6，则线段DE＝ 　 ． 13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC，BD交于点O，且AC＝12，BD＝16，点E，F分别是边AB，CD的中点，求EF的长度． 14．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，AH⊥BC于H．求证：∠DHF＝∠DEF． 15．如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、BC的中点，点D是CA延长线上的一点，且，连接DE、AF、EF，求证：DE∥AF． 知识点三 多边形的对角线 1.多边形的对角线 16．若从多边形的一个顶点出发可以画出8条对角线，则这个多边形是（　　） A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形 17．从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则m+n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2.多边形内角与外角 18．已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N的度数和不可能为（　　） A．360° B．540° C．720° D．630° 19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（　　） A．240° B．230° C．220° D．210° 20．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3的度数为（　　） A．180° B．150° C．120° D．90° 21．一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，则这个多边形的每个外角等于 　 　 度． 知识点四 平行四边形的性质和判定 22．关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 23．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A．1：2：2：1 B．1：2：3：4 C．2：1：1：2 D．2：1：2：1 24．如图，点E，F在▱ABCD的对角线AC上，AE＝EF＝CD＝DE，∠ADE＝21°，则∠BCD＝（　　） A．42° B．53° C．59° D．63° 25．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝2，AE＝3，则DE的长为（　　） A．5 B． C． D．2.5 26．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝9，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 27．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝6，AC＝7，BD＝11，则△OCD的周长为（　　） A．14 B．15.5 C．12 D．15 28．如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　） A．24cm2 B．17cm2 C．18cm2 D．10cm2 29．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若设∠1＝α，则用含α的式子表示∠2为　 　 ． 30．如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF的中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为　 　 cm2． 31．如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE于G点，交DF于F点，CE交DF于H点，交BE于E点． 求证：△EBC≌△FDA． 32．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BC C．AB∥CD，AB＝CD D．OA＝OC，OB＝OD 33．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AD＝BC C．AD∥BC，AB∥CD D．AB∥CD，AD＝BC 34．已知：如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，连接DE，DF，BE，BF．四边形DEBF为平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形． 知识点五 菱形的性质和判定 35．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF，则∠BFC的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 36．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，DH⊥AB于H，连接OH，AC＝16，AB＝10，则OH＝（　　） A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6 37．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是BC的中点，F是DE上一点且满足BF⊥CF，则（　　） A． B． C． D． 38．如图，菱形ABCD两条对角线的交点是O，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 39．如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连接EC．若∠ADE＝40°，则∠BCE的度数为 　 　 ． 40．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件，不能使▱ABCD成为菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．BD＝AC D．AC平分∠BAD 知识点六 矩形的性质和判定 41．菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．邻边相等 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线相等 42．下列性质中，矩形具有而菱形不具有的是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．轴对称图形 43．如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，点D在CG上，已知矩形的长BC为3，宽AB为2，则AF的长为（　　） A． B．5 C． D．6 44．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD与F，则PE+PF的值为（　　） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 45．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE+FC，则菱形BFDE的周长为（　　） A． B．16 C． D．24 46．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD的角平分线交BC于点E，若∠AOB＝50°，则∠OAE的度数是　 　 ． 47．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确的是（　　） A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形 D．当AB＝AC时，四边形ABCD是菱形 48．数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框的是（　　） A． B． C． D． 知识点七 正方形的性质和判定 49．正方形具有而菱形不一定有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角相等 D．邻边相等 50．如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∠CDE的度数为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 51．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝53°，则∠CEF的度数为（　　） A．13° B．14° C．15° D．16° 52．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A． B． C． D． 53．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以AC，AB为边向外作正方形ACDE，正方形ABMN，连结NE，则NE的长为（　　） A．10 B．9 C． D． 54．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，CE＝DF＝1，DE，AF交于点G，点H为AE的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 55．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图18﹣X﹣7，①②③④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．①处可填∠A＝90° B．②处可填AD＝AB C．③处可填DC＝CB D．④处可填∠B＝∠D 56．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE＝∠CDF． （1）求证：AE＝CF； （2）连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连接EG、FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 【期末复习冲刺】第21章四边形复习教学案 知识点一 直角三角形斜边上的中线 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点A，B对应的刻度分别为0，6，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得答案． 【解答】解：∵点A、B对应的刻度分别为0、6， ∴AB＝6， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点， ∴CDAB＝3， 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，D为斜边的中点，且BD＝4，点P，Q分别在AB和BC上，且DP＝CQ，则线段PQ的最小值为　2　 ． 【分析】过点D作DR∥PQ，并使DR＝PQ作直线CR，易得四边形PDRQ是平行四边形，分析，根据中点性质即可求得PQ的最小值． 【解答】解： 过点D作DR∥PQ，并使DR＝PQ作直线CR， 易得四边形PDRQ是平行四边形， ∴∠BQR＝∠B＝20°，PD＝QR， ∵CQ＝PD， ∴CQ＝QR， ∴∠QCR＝∠QRC＝10°， ∵PQ分别在AB、BC上活动， 点R在CR上运动，当DR⊥CR时，DR的值最小，即PQ的值最小，即PQ的值最小， ∵D是AB的中点， ∴CD＝BD＝4， ∴∠DCB＝∠B＝20°， ∴∠DCR＝30° ∴DRCD＝2， ∴PQ＝DR＝2， 即PQ的最小值为2． 【点评】本题考查斜边中线定理+垂线段最短；找准PQ等价于定点到定直线垂距是核心． 3．证明：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 【分析】作出图形，然后写出已知、求证；如图，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE、BE，证明四边形AEBC是矩形，则AD＝BD＝CD＝DE，，进而结论得证． 【解答】解：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， 求证：； 证明：如图，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE、BE， ∵CD是斜边AB上的中线， ∴AD＝BD， ∴四边形AEBC是平行四边形， 由条件可知四边形AEBC是矩形， ∴， ∴直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的判定与性质是解题的关键． 4．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 【分析】（1）连接BE、DE，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出BE＝DE，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明△BED是等边三角形，再根据求解即可． 【解答】（1）证明：连接BE、DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：由（1）可知，， ∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA， ∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BED＝60°， ∵BE＝DE， ∴△BED是等边三角形， ∴BD＝BE＝4． 【点评】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质和等边三角形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质进行推理和计算． 5．下面是琪琪同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．求证：． 方法一 证明：如图，延长BC至点D，使BD＝AB，连接AD． 方法二 证明：如图，在线段AB上取一点D，使得BD＝BC，连接CD． 【分析】（1）根据条件证明△ABD是等边三角形，根据三线合一的性质即可证明； （2）根据条件证明△BCD是等边三角形，从而再证明即可． 【解答】证明：方法一：延长BC到点D，使得CD＝BC，连接AD，如图1， ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵∠BAC＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝60°， 又∵CD＝AB， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD， ∵AC⊥BC， ∴； 方法二：如图2，在线段AB上取一点D，使得BD＝BC，连接CD， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝BD＝DC，∠BCD＝60°， ∴∠DCA＝∠ACB﹣∠BCD＝30°， ∴∠DCA＝∠A＝30°， ∴DC＝DA， ∴． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 知识点二 三角形中位线定理 6．如图，在四边形ABCD中，M是AD上一动点，N是AB上一定点，连接CM，MN，E，F分别是CM，MN的中点．当点M从点A向点D移动时，关于线段EF的长度，下列结论一定正确的是（　　） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 【分析】连接CN，根据三角形中位线的性质即可求解． 【解答】解：如图，连接CN， ∵E，F分别是CM，MN的中点， ∴， ∵点N是AB上一定点， ∴CN的长度不变， ∴EF的长度不改变． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点F是线段DE上的点，且AF⊥BF于F，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可． 【解答】解：∵BC＝8，D、E分别为AB，AC的中点， ∴DEBC＝4， ∵AF⊥BF， ∵D为AB的中点，AB＝5， ∴DFAB＝2.5， ∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2.5＝1.5． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 8．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2 【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可． 【解答】解：如图，连接CM， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴DE是CMN的中位线， ∴DECM， 当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小， 由勾股定理得：AB5， ∵S△ABC， ∴CM， ∴DE1.2， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半． 9．如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，BG⊥AG于G，过G作GE∥AC交BC于E，若AB＝10，AC＝16，则EG的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】延长BG交AC于M，由角平分线的定义得到∠MAG＝∠BAG，由垂直的定义得到∠AGM＝∠AGB＝90°，由三角形内角和定理推出∠AMG＝∠ABG，得到AM＝AB＝10，求出CM＝6，由等腰三角形的性质推出BG＝MG，由平行线等分线段定理得到BE＝CE，判定GE是△BCM的中位线，推出EGCM＝3． 【解答】解：延长BG交AC于M， ∴AG平分∠BAC， ∴∠MAG＝∠BAG， ∵BG⊥AG于G， ∴∠AGM＝∠AGB＝90°， ∴∠AMG＝∠ABG， ∴AM＝AB＝10， ∴CM＝AC﹣AM＝16﹣10＝6， ∵AG⊥MB， ∴BG＝MG， ∵GE∥AC， ∴BE＝CE， ∴GE是△BCM的中位线， ∴EGCM＝3． 故选：D． 【点评】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，关键是由判定GE是△BCM的中位线． 10．如图，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，连接PC，PD，分别取PC，PD的中点M，N，连接MN，则线段MN的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【分析】连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于E，可得四边形ABEC为矩形，即得BE＝AC＝3，CE＝AB＝4，得到DE＝DB+BE＝5，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到即可． 【解答】解：连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于E， ∵CA⊥AB， ∴∠CAB＝90°， ∵DB⊥AB， ∴∠ABE＝90°， ∴∠CAB＝∠ABE＝∠E＝90°， ∴四边形ABEC为矩形， ∴BE＝AC＝3，CE＝AB＝4， ∴DE＝DB+BE＝2+3＝5， 由勾股定理可得，， ∵点M、N分别为PC、PD的中点， ∴MN为△PCD的中位线， ∴． 故选：D． 【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理得出MN为△PCD的中位线解答． 11．如图，已知在四边形ABCD中，∠B＝90°，点E，F分别是AD，CD的中点，连接EF，若AB＝1，BC＝3，则线段EF的长是　　 ． 【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，再根据三角形中位线定理求出EF． 【解答】解：如图，连接AC， 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝3， 由勾股定理得：AC， ∵点E，F分别是AD，CD的中点， ∴EF是△ADC的中位线， ∴EFAC， 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 12．△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6，则线段DE＝　3　 ． 【分析】由三角形的中位线等于第三边的一半，即可得到答案． 【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC6＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半． 13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC，BD交于点O，且AC＝12，BD＝16，点E，F分别是边AB，CD的中点，求EF的长度． 【分析】取AD的中点G，连接EG，FG，分别交AC，BD于点M，N．根据三角形的中位线定理可得，EG∥BD，，GF∥AC，证明四边形MONG为矩形得到EG⊥FG，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：取AD的中点G，连接EG，FG，分别交AC，BD于点M，N，如图所示， ∵点E为AB的中点，点G为AD的中点，BD＝16， ∴EG为△ABD的中位线， ∴，EG∥BD， ∵AC＝12，点F为CD的中点，点G为AD的中点， ∴GF为△ACD的中位线， ∴，GF∥AC， ∵EG∥BD，GF∥AC， ∴四边形MONG为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°，即∠MON＝90°， ∴四边形MONG为矩形， ∴∠MGN＝∠MON＝90°， ∴EG⊥FG， ∵EG＝8，GF＝6， ∴． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，AH⊥BC于H．求证：∠DHF＝∠DEF． 【分析】证明四边形DEFA为平行四边形，根据平行四边形的性质解答． 【解答】证明：∵D、E分别为AB、BC中点， ∴DE∥AC，DEAC， ∵F为AC中点， ∴AFAC， ∴DE＝AF， ∴四边形DEFA为平行四边形， ∴∠DEF＝∠BAC， ∵DHAB＝AD， ∴∠BAH＝∠DHA， ∵F为AC中点，∠AHC＝90°， ∴FHAC＝AF， ∴∠HAC＝∠AHF， ∴∠DHA+∠AHF＝∠DAH+∠FAH， 即∠DHF＝∠BAC， ∴∠DHF＝∠DEF． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、BC的中点，点D是CA延长线上的一点，且，连接DE、AF、EF，求证：DE∥AF． 【分析】根据中位线的性质可得，结合已知可得EF＝AD，进而证明四边形AFED是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证 【解答】证明：由题意可得：EF是中位线， ∴， ∴EF∥AD， ∵， ∴EF＝AD， ∴四边形AFED是平行四边形， ∴DE∥AF． 【点评】本题考查中位线的性质，正确进行计算是解题关键． 知识点三 多边形的对角线 1.多边形的对角线 16．若从多边形的一个顶点出发可以画出8条对角线，则这个多边形是（　　） A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形 【分析】从n边形的一个顶点出发的对角线条数为（n﹣3）（n≥3），据此求解即可． 【解答】解：由从n边形的一个顶点出发的对角线条数为（n﹣3）可知：n﹣3＝8， ∴n＝11， ∴这个多边形是十一边形， 故选：B． 【点评】本题主要考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形对角线的公式． 17．从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则m+n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，它们把n边形分成（n﹣2）个三角形，由此即可计算． 【解答】解：n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，它们把n边形分成（n﹣2）个三角形， ∵从五边形的一个顶点出发，可以画出5﹣3＝2条对角线，它们将五边形分成5﹣2＝3个三角形， ∴m＝2，n＝3， ∴m+n的值为2+3＝5． 故选：A． 【点评】本题考查多边形的对角线，正确进行计算是解题关键． 2.多边形内角与外角 18．已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N的度数和不可能为（　　） A．360° B．540° C．720° D．630° 【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，无论分成两个几边形，其内角和都能被180整除，所以不可能的是，不能被180整除的． 【解答】解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案， 只有630不能被180整除，所以M+N不可能是630°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，题目比较简单． 19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（　　） A．240° B．230° C．220° D．210° 【分析】根据四边形内角和是360°，三角形内角和是180°进行计算即可． 【解答】解：∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，而∠B+∠C＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A， ∵∠A＝60°， ∴∠1+∠2＝180°+60°＝240°， 故选：A． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理，掌握四边形内角和是360°，三角形内角和是180°是正确解答的关键． 20．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3的度数为（　　） A．180° B．150° C．120° D．90° 【分析】根据平行线的性质得到∠B+∠C＝180°，再求出五边形的内角和度数，再利用求∠1、∠2、∠3之和的补角，结合五边形的内角度数求解． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3＝180°×3﹣（540°﹣∠B﹣∠C）＝180°． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，多边形内角和定理，求一个角的补角，理解相关知识是解答关键． 21．一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，则这个多边形的每个外角等于 　45　 度． 【分析】首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，由此列出方程解出边数，进一步可求出它每一个外角的度数． 【解答】解：设这个多边形边数为n，则（n﹣2）•180＝360+720， 解得：n＝8， ∵这个多边形的每个内角都相等，所以每一个外角都相等， ∴它每一个外角的度数为360°÷8＝45°． 答：这个多边形的每个内角是45°． 故答案为：45． 【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题． 知识点四 平行四边形的性质和判定 22．关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【分析】根据平行四边形的性质进行逐一判断即可． 【解答】解：A、平行四边形对角相等，选项A说法正确，不符合题意； B、平行四边形对边平行，选项B说法正确，不符合题意； C、平行四边形对角线互相平分，选项C说法正确，不符合题意； D、平行四边形对角线不互相垂直，选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 23．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A．1：2：2：1 B．1：2：3：4 C．2：1：1：2 D．2：1：2：1 【分析】根据平行四边形对角相等即可判断选择哪一个． 【解答】解：由于平行四边形对角相等，所以对角的比值数应该相等， 其中A，B，C都不满足，只有D满足． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的对角相等是解决问题的关键． 24．如图，点E，F在▱ABCD的对角线AC上，AE＝EF＝CD＝DE，∠ADE＝21°，则∠BCD＝（　　） A．42° B．53° C．59° D．63° 【分析】求出∠DAE，∠DCE的度数，平行线的性质，得到∠ACB＝∠DAE，再利用角的和差关系进行求解即可． 【解答】解：∵AE＝EF＝CD＝DE，∠ADE＝21°， ∴∠DAE＝∠ADE＝21°， ∴∠ECD＝∠DEC ＝∠ADE+∠EAD ＝21°+21° ＝42°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAE＝21°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠DCE ＝21°+42° ＝63°， 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的外角性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 25．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝2，AE＝3，则DE的长为（　　） A．5 B． C． D．2.5 【分析】先根据平行四边形的性质及角平分线的定义证明AB＝BE＝2，CE＝CD＝2，再利用∠BAD+∠CDA＝180°结合角平分线的定义证明∠AED＝90°，推出△AED是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2， ∴AD＝BC，CD＝AB＝2，AD∥BC，∠BAD+∠ADC＝180°， ∴∠CED＝∠ADE，∠AEB＝∠DAE， ∵∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E， ∴， ∴∠AEB＝∠BAE，∠CED＝∠CDE， ∴CE＝CD＝2，AB＝BE＝2， ∴AD＝BC＝BE+CE＝4， ∴， ∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝90°， ∵AE＝3， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 26．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝9，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，结合角平分线的定义可求得BE＝AB、CD＝CF，再由线段的和差可求得EF． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝9， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝BA＝3， 同理CF＝CD＝3， ∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝9﹣3﹣3＝3， 故选：A． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，结合平行四边形的性质求得AB＝BE＝CF是解题的关键． 27．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝6，AC＝7，BD＝11，则△OCD的周长为（　　） A．14 B．15.5 C．12 D．15 【分析】根据平行四边形的性质得到，由此求出答案． 【解答】解：∵在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝6，AC＝7，BD＝11， ∴AB＝CD＝6，OA＝OCAC＝3.5，OB＝ODBD＝5.5， ∴△OCD的周长为：CD+OC+OD＝15， 故选：D． 【点评】此题考查平行四边形的性质，解答本题的关键要明确：平行四边形的对角线互相平分． 28．如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　） A．24cm2 B．17cm2 C．18cm2 D．10cm2 【分析】连接EF，证明四边形EBCF是平行四边形，求出S△BEF＝16cm2，再得出S△APD＝S△EPF＝2cm2，即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：连接EF， ∵F是▱ABCD的边CD上的点， ∴BE∥CF， ∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE， 在△EBQ和△CFQ中， ， ∴△EBQ≌△CFQ（AAS）， ∴EQ＝CQ， ∴四边形EBCF是平行四边形， ∴S△BEF＝2S△BQC＝16cm2， ∵S△AED＝S△AEF， ∴S△APD＝S△EPF＝2cm2， ∴S阴影＝S△EPF+S△BEF＝18cm2， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算是解题的关键． 29．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若设∠1＝α，则用含α的式子表示∠2为　90°+α　 ． 【分析】首先由AB∥CD得到∠CAB＝∠1＝α，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：∵在平行四边形ABCD中， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠CAB＝α， ∵AB⊥BE， ∴∠ABE＝90°， ∴∠2＝∠ABE+∠BAE＝90°+α． 故答案为：90°+α． 【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 30．如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF的中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为　28　 cm2． 【分析】连接EF，先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，可得BE＝CF，可判定四边形BCFE是平行四边形，从而得到S△BEFS▱BCFE，再证明四边形ADFE是平行四边形，可得S△PEF＝S△APD＝4cm2，最后根据阴影部分的面积＝S△BEF+S△PEF，即可求解． 【解答】解：连接EF，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BEC＝∠FCE， ∵Q是BF中点， ∴BQ＝FQ， 在△BEQ和△FCQ中， ∵∠BEQ＝∠FCQ，∠BQE＝∠FQC，BQ＝FQ， ∴△BEQ≌△FCQ（AAS）， ∴BE＝CF， ∵BE∥CF， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∴S△BEFS▱BCFE， ∵AB﹣BE＝CD﹣CF，即AE＝FD， ∵AE∥FD， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴S△PEF＝S△APD＝4cm2， ∴S▱ADFE＝4S△APD＝16cm2， ∴S▱BCFE＝S▱ABCD﹣S▱ADFE＝64﹣16＝48cm2， ∴S△BFES▱BCFE＝24cm2， ∴阴影部分的面积为S△BFE+S△PEF＝24+4＝28cm2， 故答案为：28． 【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积，关键是相关性质的熟练掌握． 31．如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE于G点，交DF于F点，CE交DF于H点，交BE于E点． 求证：△EBC≌△FDA． 【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，由平行四边形的判定方法易证四边形BMDK和四边形AJCN是平行四边形，得出∠FAD＝∠ECB，∠ADF＝∠EBC，进而证明△EBC≌△FDA． 【解答】证明：如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵AF∥CE，BE∥DF， ∴四边形BMDK和四边形AJCN是平行四边形， ∴∠FAD＝∠ECB，∠ADF＝∠EBC， 在△EBC和△FDA中，， ∴△EBC≌△FDA（ASA）． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 32．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BC C．AB∥CD，AB＝CD D．OA＝OC，OB＝OD 【分析】根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可． 【解答】解：A、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意； C、根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 33．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AD＝BC C．AD∥BC，AB∥CD D．AB∥CD，AD＝BC 【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由AB∥CD，AD＝CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 34．已知：如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，连接DE，DF，BE，BF．四边形DEBF为平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】由“平行四边形的对角线相互平分”推知OD＝OB，OE＝OF；然后结合已知条件推知四边形ABCD的对角线互相平分，则易证得结论． 【解答】证明：如图，连接BD交AC于点O． ∵四边形DEBF为平行四边形， ∴OD＝OB，OE＝OF， ∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF， ∴AE+OE＝CF+OF，即OA＝OC ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 知识点五 菱形的性质和判定 35．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF，则∠BFC的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 【分析】由菱形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出∠BAF＝∠FBA＝40°，由三角形内角和定理得出∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠BFA＝100°，最后由平角的定义即可得出答案． 【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F， ∴，AF＝FB， ∴∠BAF＝∠FBA＝40°， ∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠BFA＝100°， ∴∠BFC＝180°﹣∠AFB＝80°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 36．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，DH⊥AB于H，连接OH，AC＝16，AB＝10，则OH＝（　　） A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6 【分析】由菱形的性质得OA＝OCAC＝8，OB＝OD，AC⊥DB，再由勾股定理得OB＝6，则BD＝2OB＝12，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16， ∴OA＝OCAC＝8，OB＝OD，AC⊥DB， ∴∠AOB＝90°， ∴OB6， ∴BD＝2OB＝12， ∵DH⊥AB， ∴∠DHB＝90°， ∴OHBD＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，解决问题的关键是求得BD的长． 37．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是BC的中点，F是DE上一点且满足BF⊥CF，则（　　） A． B． C． D． 【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，设BE＝CE＝a，根据菱形性质得CD＝BC＝2a，AB∥CD，进而得∠DCH＝∠ABC＝60°，在Rt△DCH中，根据∠CDH＝90°﹣∠DCH＝30°得CHCD＝a，由勾股定理得DH，在Rt△DEH中，由勾股定理得DE，再根据BF⊥CF，E是BC的中点得EF是Rt△BFC的斜边BC上的中线，由此得EFBC＝a，据此即可得出的值． 【解答】解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图所示： ∴∠H＝90°， ∴△DCH和△DEH都是直角三角形， ∵E是BC的中点， ∴设BE＝CE＝a， ∴BC＝BE+CE＝2a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝BC＝2a，AB∥CD， ∵∠ABC＝60°， ∴∠DCH＝∠ABC＝60°， 在Rt△DCH中，∠CDH＝90°﹣∠DCH＝30°， ∴CHCD＝a， 由勾股定理得：DH， 在Rt△DEH中，EH＝CE+CH＝2a， 由勾股定理得：DE， ∵BF⊥CF， ∴∠BFC＝90°， ∴△BFC是直角三角形， ∵E是BC的中点， ∴EF是Rt△BFC的斜边BC上的中线， ∴EFBC＝a， ∴． 故选：C． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含由30角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，灵活利用含由30角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 38．如图，菱形ABCD两条对角线的交点是O，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【分析】先根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半；接下来，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，进而解答即可． 【解答】解：如图，连接AC、BD， ∵菱形对称中心是对角线的交点，且为中心对称图形， ∴阴影部分的面积等于菱形面积的一半． ∵菱形的两条对角线的长分别为6和8， ∴菱形的面积AC•BD6×8＝24， ∴阴影部分的面积24＝12． 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，关键是明确菱形是中心对称图形，并据此判断出阴影部分的面积与菱形的面积之间的关系． 39．如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连接EC．若∠ADE＝40°，则∠BCE的度数为 　15°　 ． 【分析】由菱形的性质可得AD＝CD，∠A＝∠BCD，CD∥AB，由等腰三角形的性质可得∠DAE＝∠DEA＝72°，∠DCE＝54°，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AD＝CD，∠A＝∠BCD，CD∥AB ∵DE＝AD，∠ADE＝40°， ∴∠DAE＝∠DEA＝70°， ∵CD∥AB， ∴∠CDE＝∠DEA＝70°， 且DE＝DC＝DA， ∴∠DCE＝40°， ∵∠DCB＝∠DAE＝70°， ∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝15°， 故答案为：15°． 【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 40．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件，不能使▱ABCD成为菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．BD＝AC D．AC平分∠BAD 【分析】由菱形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形判定▱ABCD为菱形，故A不符合题意； B、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定▱ABCD为菱形，故B不符合题意； C、判定▱ABCD是矩形，不一定为菱形，故C符合题意； D、由角平分线的定义得到∠BAC＝∠CAD，由平行线的性质推出∠ACB＝∠DAC，得到∠BAC＝∠ACB，推出AB＝BC，判定▱ABCD为菱形，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握菱形的判定方法． 知识点六 矩形的性质和判定 41．菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．邻边相等 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线相等 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质即可得到结论． 【解答】解：对于选项A， ∵菱形的四条边都相等， ∴菱形的邻边相等， ∵矩形的对边相等，邻边不相等， ∴邻边相等是菱形一定具有而矩形不一定具有的性质， 故选项A符合题意； 对于选项B， ∵菱形的对角相等，矩形的四个角都相等，且为直角， ∴对角相等是菱形和矩形都一定具有的性质， 故选项B不符合题意； 对于选项C， ∵菱形的四条边都相等，对边平行 ∴菱形的两组对边互相平行且相等， 又∵矩形的两组对边互相平行且相等， ∴对边平行且相等是菱形和矩形都一定具有的性质， 故选项C不符合题意； 对于选项D， ∵矩形的对角线相等， ∴矩形一定具有的性质， 故选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解决问题的关键． 42．下列性质中，矩形具有而菱形不具有的是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．轴对称图形 【分析】比较矩形和菱形的性质，找出矩形具有而菱形不具有的选项即可． 【解答】解：A、矩形和菱形均为平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，因此两者均具有此性质； B、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等； C、菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直； D、矩形和菱形均为轴对称图形． 故选：B． 【点评】本题主要考查了矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 43．如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，点D在CG上，已知矩形的长BC为3，宽AB为2，则AF的长为（　　） A． B．5 C． D．6 【分析】先由勾股定理求出AC，证明△CEF和△ABC全等得CF＝AC，∠ECF＝∠BAC，再根据∠BAC+∠BCA＝90°得∠ECF+∠BCA＝90°，由此的∠ACF＝90°，继而得△ACF是等腰直角三角形，然后在即可求出AF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝2， 由勾股定理得：AC， ∵矩形ABCD和矩形CEFG全等， ∴CE＝AB，EF＝BC，∠E＝∠B＝90°， 在△CEF和△ABC中， ， ∴△CEF≌△ABC（SAS）， ∴CF＝AC，∠ECF＝∠BAC， 在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCA＝90°， ∴∠ECF+∠BCA＝90°， ∴∠ACF＝180°﹣（∠ECF+∠BCA）＝90°， ∴△ACF是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AF． 故选：C． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 44．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD与F，则PE+PF的值为（　　） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【分析】连接OP，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，可求得OA＝OD以及△AOD的面积，继而可得S△AOD（PE+PF），则可求得答案． 【解答】解：连接OP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝ODBD，S△AOD＝S△AOB， ∵AB＝3，AD＝4， ∴S矩形ABCD＝3×4＝12，BD＝5， ∴S△AODS矩形ABCD＝3，OA＝OC， ∵S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PFPEPF（PE+PF）＝3， ∴PE+PF＝2.4． 故选：B． 【点评】此题考查了矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用． 45．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE+FC，则菱形BFDE的周长为（　　） A． B．16 C． D．24 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°，则BE＝4，因为四边形BEDF是菱形，即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形BEDF是菱形， ∴∠A＝90°，AD＝BC，DE＝BF，OE＝OF，EF⊥BD，∠EBO＝∠FBO， ∴AE＝FC． ∵EF＝AE+FC， ∴EF＝2AE＝2CF， ∵EF＝2OE＝2OF， ∴AE＝OE， ∵BE＝BE， ∴Rt△ABE≌Rt△OBE（HL）， ∴∠ABE＝∠OBE， ∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°， ∴BE＝2AE，ABAE， ∵AB＝2， ∴AE＝2，BE＝4， ∴BF＝BE＝4， ∴菱形BFDE的周长为16， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°． 46．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD的角平分线交BC于点E，若∠AOB＝50°，则∠OAE的度数是　20°　 ． 【分析】先根据矩形的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE∠BAD＝45°，利用等腰三角形的性质求出∠OAB＝∠OBA＝65°，即可求出答案． 【解答】解：在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OA＝OB， ∵∠BAD的角平分线交BC于点E， ∴∠BAE∠BAD＝45°， ∵∠AOB＝50°，OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣50°）＝65°， ∴∠OAE＝∠OAB﹣∠BAE＝65°﹣45°＝20°， 故答案为：20°． 【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质． 47．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确的是（　　） A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形 D．当AB＝AC时，四边形ABCD是菱形 【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A．∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故结论正确，但不符合题意； B．∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故结论正确，但不符合题意； C．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AOAC，BOBD， 又∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故结论正确，但不符合题意； D．当AB＝AC时，四边形ABCD不一定是菱形， 故结论错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键． 48．数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【解答】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、图形中只有两个角是直角，不一定是矩形，故该选项符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 知识点七 正方形的性质和判定 49．正方形具有而菱形不一定有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角相等 D．邻边相等 【分析】根据正方形与菱形的性质即可求得答案． 【解答】解：菱形和矩形的性质合在一起得到了正方形． 正方形具有而菱形不具有的性质即为矩形的特性，由矩形对角线相等满足条件． 故选：B． 【点评】此题考查了正方形与菱形的性质，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理，切勿混淆． 50．如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∠CDE的度数为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 【分析】根据正方形性质和三角形内角和即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形， ∴∠DCB＝90°，∠ECB＝60°，BC＝CD＝CE， ∴∠ECE＝30°， ∵CE＝CD，∠ECD＝30°， ∴∠CDE（180°﹣∠ECD）＝75°， 故选：A． 【点评】本题考查正方形和等边三角形性质，熟练掌握几何图形的特征是解题关键． 51．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝53°，则∠CEF的度数为（　　） A．13° B．14° C．15° D．16° 【分析】由正方形的性质得AB＝CB＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，则∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，所以∠ABD＝∠CBD，而∠BAE＝53°，则∠AEB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAE＝82°，再证明△ABE≌△CBE，得∠AEB＝∠CEB＝82°，则∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠CEB＝16°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠BAE＝53°， ∴∠AEB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAE＝180°﹣45°﹣53°＝82°， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠AEB＝∠CEB＝82°， ∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠CEB＝180°﹣82°﹣82°＝16°， 故选：D． 【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△CBE是解题的关键． 52．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，，，则∠ACF＝45°+45°＝90°，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长． 【解答】解：连接AC、CF，如图， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，BC＝4，CE＝2， ∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，，， ∴∠ACF＝45°+45°＝90°， 在Rt△ACF中，， ∵H是AF的中点， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理，二次根式的化简． 53．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以AC，AB为边向外作正方形ACDE，正方形ABMN，连结NE，则NE的长为（　　） A．10 B．9 C． D． 【分析】过点E作EP∥AM，交CA的延长线于点P，设AQ交NE于点Q，则∠P＝∠PAN，∠PEQ＝∠ANQ，先由勾股定理求出AB＝5，根据正方形性质得AN＝AB＝5，AE＝AC＝4，∠NAB＝∠EAC＝90°，证明∠PEA＝∠BAC，进而依据“AAS”判定△EPA和△ABC全等，则PE＝AN＝5，进而依据“AAS”判定△PEQ和△ANQ全等，则PQ＝AQPA，EQ＝NQ，然后在Rt△EQA中，由勾股定理求出EQ即可得出NE的长． 【解答】解：过点E作EP∥AM，交CA的延长线于点P，设AQ交NE于点Q，如图所示： ∴∠P＝∠PAN，∠PEQ＝∠ANQ， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， 由勾股定理得：AB＝AC2+BC2＝42+32＝5， ∵四边形ACDE和四边形ABMN都是正方形， ∴AN＝AB＝5，AE＝AC＝4，∠NAB＝∠EAC＝90°， ∴∠EAQ＝180°﹣∠EAC＝90°， ∴∠EAQ＝∠ACB＝90°，△EAP和△EQA都是直角三角形， 在Rt△EAP中，∠PEA+∠P＝90°， ∵∠P＝∠PAN， ∴∠PEA+∠PAN＝90°， 又∵∠PAN+∠BAC＝180°﹣∠NAB＝90°， ∠PEA＝∠BAC， 在△EPA和△ABC中， ， ∴△EPA≌△ABC（AAS）， ∴PE＝AB＝5，PA＝BC＝3， ∴PE＝AN＝5， 在△PEQ和△ANQ中， ， ∴△PEQ≌△ANQ（AAS）， ∴PQ＝AQPA，EQ＝NQ， ∴NE＝EQ+NQ＝2EQ， 在Rt△EQA中，由勾股定理得：EQ， ∴NE＝2EQ． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 54．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，CE＝DF＝1，DE，AF交于点G，点H为AE的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【分析】在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝5，证明△ADF≌△DCE，推出AF⊥DE，从而得到△AGE为直角三角形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AD＝DC＝AB＝BC＝4， ∵CE＝DF＝1， ∴BE＝BC﹣CE＝4﹣1＝3， 在Rt△ABE中，， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵∠CDE+∠ADG＝90°， ∴∠DAF+∠ADG＝90°， ∴∠AGD＝180°﹣（∠DAF+∠ADG）＝90°， ∴∠AGE＝90°，即△AGE是直角三角形， ∵点H为AE的中点， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 55．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图18﹣X﹣7，①②③④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．①处可填∠A＝90° B．②处可填AD＝AB C．③处可填DC＝CB D．④处可填∠B＝∠D 【分析】根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， ∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， ∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解题的关键． 56．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE＝∠CDF． （1）求证：AE＝CF； （2）连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连接EG、FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由． 【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝CF； （2）求出BE＝BF，再求出DE＝DF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线可得BD垂直平分EF，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF； （2）四边形DEGF是菱形． 理由如下：在正方形ABCD中，AB＝BC， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝BC﹣CF， 即BE＝BF， ∵△ADE≌△CDF， ∴DE＝DF， ∴BD垂直平分EF， 又∵OG＝OD， ∴四边形DEGF是菱形． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $