精品解析：江苏常州市钟楼实验中学2025-2026学年下学期八年级数学5月练习试卷

八年级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 了解全国中学生的睡眠时间 B. 了解一批无人机的使用寿命 C. 了解某食品的卫生情况 D. 检测“神舟二十三号”载人飞船零件的质量 【答案】D 【解析】 【分析】一般来说，范围过大、具有破坏性、对精确度要求不高的调查适合抽样调查，精确度要求高、事关重大的调查适合采用普查，根据这个原则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、了解全国中学生的睡眠时间，调查范围过大，耗费人力物力多，适合抽样调查，不符合题意； B、了解一批无人机的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意； C、了解某食品的卫生情况，调查范围较广且检测具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意； D、检测“神舟二十三号”载人飞船零件的质量，事关飞行安全，对精确度要求极高，适合采用普查，符合题意． 2. 将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案． 【详解】解：A.，含有因式，不合题意； B. ，含有因式，不合题意； C. ，含有因式，不合题意； D. ，不含有因式，符合题意； 故选：D． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，即满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，逐个判断选项即可得到答案． 【详解】解：对于选项A，满足上述两个条件， 是最简二次根式； 对于选项B，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式 对于选项C，，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式， 对于选项D，，原根式分母含二次根式，不是最简二次根式． 4. 如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 5. 如图，在中，对角线、相交于点O，经过点O，交于E，交于F，若的周长为20，，则四边形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质推出，得出，，再结合的周长为20即可求解． 【详解】解：， ，， ， 又， ， ，， ， 的周长为20， ， 四边形的周长 ． 故选：C． 6. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式的化简与运算，涉及分式约分、符号处理、算术平方根性质及二次根式运算．根据分式约分、算术平方根性质及二次根式运算法则逐项判断，即可求解． 【详解】解：选项A：，故A正确． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C错误． 选项D：，故D错误． 故选：A． 7. 四边形的对角线和相交于点O．有下列条件：①，；②；③；④矩形；⑤菱形；⑥正方形．则下列推理正确的是（　　） A. ②③⑥ B. ①②⑤ C. ①③④ D. ②⑤⑥ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形、菱形、正方形的判定定理，灵活掌握这些判定定理是解本题的关键． 根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：A、由②③对角线相等，对角线互相垂直，不能判断四边形是正方形，不符合题意； B、由①得，四边形是平行四边形，再由②，对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； C、由①③，对角线相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、由②⑤得，对角线相等的菱形是正方形，符合题意． 故选：D． 8. 如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解， 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴是中位线， ∴， 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 某班一次跳绳测试后，根据测试成绩，将该班40名学生的成绩分为5组，若第一、二、三组的频数和为25，第五组的频率为0.25，则第四组的频数为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用所有组的频数和等于总数，先求出第五组的频数，再计算第四组的频数即可． 【详解】解：已知总学生数为， 根据频率公式，可得第五组的频数为， 因为各组频数之和等于总数，因此第四组的频数为． 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 11. 当______时，分式的值为0． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的条件．熟练掌握分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可，是解答本题的关键．根据分式的值为0的条件解答即得． 【详解】解：∵的值为0， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将因式分解，再代入求解． 【详解】解:， 将代入， 得． 13. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，，则菱形的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】由菱形的性质得，根据，得是直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长，再利用菱形面积即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是直角三角形， ， 菱形的面积， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 14. 已知关于的分式方程有增根，则的值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】解：去分母得： ， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故答案为：3． 15. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 16. 如图，在一张矩形纸片中，，点分别在上，将纸片沿直线EF折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，则线段的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】如解图①，当点与点重合时，的长度最短， ∵四边形为矩形， ∴， 由题意得：(设为)，则，在中， 由勾股定理得：，解得：， ∴；如解图②，当点与点重合时，的长度最长， 由翻折变换的性质得：，， ∴，∴，， 综上所述，线段的取值范围为．故答案为． 三、解答题：（第17-19题每题6分；第20-24题每题8分；第25题10分） 17. 在实数范围内分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用公式继续分解，直到每个因式都不能再分解． 【详解】（1）  ； （2） ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简各数，再加减运算即可； （2）先利用多项式乘多项式公式展开，再利用二次根式的乘法和加减法运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同分母的分式相减法则进行计算，即可作答． （2）先通分，再根据同分母的分式相加法则进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. （1）解分式方程：． （2）先化简，再求值，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值． （1）按照去分母，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案； （2）先根据分式的混合运算法则化简，然后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2） ， 当时，原式． 21. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图， 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了_____名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_____； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ （4）若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 【答案】（1） （2）补全条形统计图如图所示： （3） （4）名 【解析】 【分析】（1）利用喜欢娱乐的人数除以所占比例即可得出一共调查的学生的人数； （2）先求出喜欢阅读的人数，即可补全条形统计图，利用乘以喜欢阅读的人数所占的比例即可得出结果； （3）用喜欢阅读的人数除以总人数即可得出结果； （4）用乘以爱好运动的学生人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：在这次研究中，一共调查了名学生； 【小问2详解】 解：喜欢阅读的人数为（名）， 图略； 阅读部分圆心角是； 【小问3详解】 解：由题意可得，选出的恰好是爱好阅读的学生概率是； 【小问4详解】 解：（名）， 故估计全校爱好运动的学生人数为名． 22. 已知：如图，在中，平分，交于E，平分，交于F． （1）求证：； （2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：在中，，，， ， 平分，平分， ， 在和中， ， ， ∴ （2） 解：，四边形是矩形．理由如下： ， ，， 又， ， 四边形是平行四边形， ，平分， ， 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，再由角平分线的定义可证得，然后利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论． （2）要使四边形是矩形，由（1）易证此四边形是平行四边形，因此只需证明有一个角是直角，添加条件，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 23. 某校购买了A和B两种图书，购买A图书花费了3600元，购买B图书花费了2700元，其中A图书的单价比B图书的单价多，购买A图书的数量比B图书的数量多20本，求这两种图书的单价分别是多少元？ 【答案】A种图书单价为18元，B种图书单价为15元 【解析】 【分析】设B种图书的单价为元，则A种图书的单价为元，由题中等量关系列分式方程即可得到答案． 【详解】解：设B种图书的单价为元，则A种图书的单价为元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A种图书单价为18元，B种图书单价为15元． 24. 【问题提出】是无理数，而无理数是无限不循环小数，如何表示的小数部分呢？ 【问题解决】因为，即， 所以的整数部分是1， 所以用来表示的小数部分． 【类比应用】 （1）的整数部分是______；小数部分是______； （2）如果的小数部分为的整数部分为，则______； 【拓展应用】 （3）已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】（1）2， （2）7 （3） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分的理解与应用，以及代数式的化简分母有理化的运用． （1）找到最接近7的平方数，确定的范围即可知道整数部分和小数部分； （2）分别确定的小数部分和的整数部分，然后代入式子即可； （3）先确定的范围，再同时加4即可得出的整数部分和小数部分，代入代数式，最后进行化简即可． 【详解】解：（1）∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是， 故答案为：2，； （2）∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分是， ∵，即， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：7； （3）∵， ∴， ∴的整数分是6，小数部分， ∵，其中x是整数且， ∴，， ∴． 25. 综合与实践课中，小林同学以矩形中的对称性主题开展了研究性学习．已知在矩形中，点在对角线上，点在线段上，连接． 【问题探究】 当点、关于直线对称时． （1）如图1，当点落在线段上，且，则与满足的数量关系为______ （2）如图2，当点落在线段上． ①若，，且点恰好为的中点时，则______； ②当时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，点落在延长线上时，平分，若，，则______； 【变式探究】 （4）小明同学也加入了此研究性学习，他将沿翻折得到，当点落在线段上时，若，则______ 【答案】（1） （2）①； ②证明：当时，∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）可得，由折叠知，得； （2）①由中点定义得,由折叠知，得，由，得，解得；②可得，得，可得，得,得四边形是平行四边形，由，得是菱形； （3）由折叠知，，可得，，得，得，由，得，可得，即得; （4）由，得，可得，得,设，得，由，得，解得，即得． 【详解】解（1）∵点落在线段上，且， ∴， 由折叠知， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵，点恰好为的中点， ∴， 由折叠知，， ∵， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， 解得； 故答案为：； ②略 （3）由折叠知，， ∵平分， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （4）∵矩形中，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，菱形判定，勾股定理，为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 了解全国中学生的睡眠时间 B. 了解一批无人机的使用寿命 C. 了解某食品的卫生情况 D. 检测“神舟二十三号”载人飞船零件的质量 2. 将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是(　　) A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的 5. 如图，在中，对角线、相交于点O，经过点O，交于E，交于F，若的周长为20，，则四边形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 6. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 四边形的对角线和相交于点O．有下列条件：①，；②；③；④矩形；⑤菱形；⑥正方形．则下列推理正确的是（　　） A. ②③⑥ B. ①②⑤ C. ①③④ D. ②⑤⑥ 8. 如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 某班一次跳绳测试后，根据测试成绩，将该班40名学生的成绩分为5组，若第一、二、三组的频数和为25，第五组的频率为0.25，则第四组的频数为__________． 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 11. 当______时，分式的值为0． 12. 若，则___________． 13. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，，则菱形的面积为_________． 14. 已知关于的分式方程有增根，则的值是___________． 15. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 16. 如图，在一张矩形纸片中，，点分别在上，将纸片沿直线EF折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，则线段的取值范围为________． 三、解答题：（第17-19题每题6分；第20-24题每题8分；第25题10分） 17. 在实数范围内分解因式： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 化简： （1） （2） 20. （1）解分式方程：． （2）先化简，再求值，其中． 21. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图， 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了_____名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_____； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ （4）若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 22. 已知：如图，在中，平分，交于E，平分，交于F． （1）求证：； （2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 23. 某校购买了A和B两种图书，购买A图书花费了3600元，购买B图书花费了2700元，其中A图书的单价比B图书的单价多，购买A图书的数量比B图书的数量多20本，求这两种图书的单价分别是多少元？ 24. 【问题提出】是无理数，而无理数是无限不循环小数，如何表示的小数部分呢？ 【问题解决】因为，即， 所以的整数部分是1， 所以用来表示的小数部分． 【类比应用】 （1）的整数部分是______；小数部分是______； （2）如果的小数部分为的整数部分为，则______； 【拓展应用】 （3）已知，其中是整数，且，求的值． 25. 综合与实践课中，小林同学以矩形中的对称性主题开展了研究性学习．已知在矩形中，点在对角线上，点在线段上，连接． 【问题探究】 当点、关于直线对称时． （1）如图1，当点落在线段上，且，则与满足的数量关系为______ （2）如图2，当点落在线段上． ①若，，且点恰好为的中点时，则______； ②当时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，点落在延长线上时，平分，若，，则______； 【变式探究】 （4）小明同学也加入了此研究性学习，他将沿翻折得到，当点落在线段上时，若，则______ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $