必修第二册综合检测3-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以复数、立体几何、概率统计为核心，整合教材知识点，通过真题与模拟题综合考查数学眼光、思维及语言能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数与几何|选择1-5、12-13|基础计算与实际应用（如《九章算术》方锥体积、折扇扇形问题）|复数运算、解三角形公式推导及空间几何直观的应用| |概率统计|选择9-10、填空14、解答16-17|互斥独立事件计算与统计图表分析|概率公式推导、数据意识及模型观念的综合运用| |立体几何|选择6-8、解答18-19|空间点线面关系与体积最值（如正方体截面、极化恒等式应用）|空间观念、推理能力及创新意识的递进培养|

必修第二册综合检测3 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2026·湖北·模拟预测）设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数除法求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：C 2．（2026·全国·模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其卷五“商功”中记载这样一个问题:今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺，问积几何?其含义是:今有正四棱锥，下底边长为丈尺，高丈尺，问它的体积为多少立方尺（ ） (注丈尺) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知分别计算出底面积，根据锥体的体积公式计算即可得出结果. 【详解】由题可知下底面积为，高为 所以由体积公式可知立方尺. 故选:A. 3．（25-26高三上·河南·期中）如图，在离地面的热气球上，观察到山顶处的仰角为，在山脚处观察到山顶处的仰角为60°，若到热气球的距离，山的高度，，则（    ） A．30° B．25° C．20° D．15° 【答案】D 【解析】首先根据直角三角形的性质得到，在中，由正弦定理得到，从而得到或，再分类讨论即可得到的值. 【详解】在中，，， ∴ 在中，由正弦定理知， 解得，∴或120°. 当时，则，， 所以， 当时，，， . ∴. 故选：D 4．（24-25高一下·四川巴中·期末）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的运算及数量积的定义求出数量积，结合余弦函数的值域即可求解范围. 【详解】设，则，因为， 所以， 又，所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：D 5．（25-26高一上·浙江·期末）在正四棱锥中，面于，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若两点间距离最短，则为公垂线段；易证得平面，则可作，可知即为所求公垂线段，利用面积桥的方式可求得，即为所求最短距离. 【详解】在上移动，则当为公垂线段时，两点的距离最小； 四棱锥为正四棱锥，平面，为正方形的中心， ，又，，平面， 过作，垂足为，    平面，，为的公垂线， 又，两点的最短的距离为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中两点间距离最值的求解，解题关键是能够根据两点在两一面直线上移动，确定两异面直线之间的公垂线段即为所求最短距离. 6．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若为中点，连接，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面面，结合已知条件有△为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，若为中点，连接，易知即为二面角的平面角，即可求其正切值. 【详解】若为中点，连接，由为等边三角形，则，又，且， ∴面，又面，即， 由题设，，，而， ∴，即，又，面， ∴面，而面，则面面， 由上可得：，则，故△为等腰直角三角形， ∴综上，四面体的球心为△的中心，即靠近的三等分点， 若为中点，连接，易知：即为二面角的平面角， 由上、且，面，可得面， 又面，则，即， ∴，而， ∴. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据线线垂直、勾股定理，结合线面、面面垂直的判定证面面且△为等腰直角三角形，即可确定四面体球心的位置，再由二面角的定义找到其平面角，最后由已知条件求其正切值即可. 7．（2026高二下·浙江·学业考试）已知平面向量满足，则的最大值是（    ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，从而可得，令，利用即可求解. 【详解】由可得，即， ，即， ，即， ， 令， 则，即， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A 【点睛】思路点睛： 求的最大值时，可利用来求解. 8．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（    ）    A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形 D．点C和点G到平面AEF的距离相等 【答案】B 【分析】对于A，假设直线与直线垂直，然后进行推理，得出矛盾； 对于B，的中点，连接，利用面面平行的判定可得平面平面，再由面面平行的性可得结论； 对于C，连接，延长，交于，可得四点共面，从而可得截面判断即可； 对于D，记点C与点G到平面的距离分别为，然后分别利用等体积法求解判断即可. 【详解】对于A，若，因为平面，平面， 所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，因为，所以， 这不成立，所以假设错误，所以A错误. 对于B，的中点，连接，，， 因为E，F，G分别为，，的中点， 所以，，，，所以， 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面，，所以平面平面， 因为平面，所以平面，所以B正确． 对于C，如图所示，连接，延长，交于， 由选项可知，，因为，， 所以，，所以四点共面， 所以梯形为截面，所以C错误. 对于D，记点C与点G到平面的距离分别为，假设正方体边长为1． 因为， ， 所以，所以D错误. 故选：B.    2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·海南·期中）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（     ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 【答案】AC 【分析】根据独立事件乘法公式，对立事件及互斥事件的概率公式计算判断. 【详解】对于A，2个球都是红球的概率为，故A正确； 对于B，2个球不都是红球的对立事件是2个球都是红球， 则2个球不都是红球的概率为，故B错误； 对于C，2个球至少有一个红球的概率为，故C正确； 对于D，2个球中恰有1个红球的概率为，故D错误. 故选：AC． 10．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）设为两个随机事件，给出以下命题，其中为正确命题的是（    ） A．若为互斥事件，且，则 B．若，则为互为对立事件 C．若，则为相互独立事件 D．若为相互独立事件，且，则 【答案】ACD 【分析】由概率的性质判断A；根据对立事件的定义、独立事件的判定及乘法公式判断B、C、D. 【详解】A：由题设有，对； B：若为对立事件，则，即且， 显然不能保证，错； C：由，则，故为相互独立事件，对； D：由题设，对. 故选：ACD 11．（25-26高一下·山西朔州·期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把这段文字写成公式，即.现有满足.且的面积为，请运用上述公式判断下列命题中正确的是（    ） A．的周长为4 B．的内切圆的面积为 C．的外接圆半径为 D． 【答案】BD 【分析】由正弦定理可得，设，，，根据面积公式求出，即可求出周长，即可判断A，记的内切圆半径为，根据等面积法求出，即可判断B，由余弦定理求出，即可求出，再由正弦定理求出外接圆的直径，即可判断C，由余弦定理求出，再由数量积的定义计算，即可判断D. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 设，，， 所以， 因为的面积为， 所以，解得或（舍去）， 所以，，， 所以的周长为18，故A错误； 记的内切圆半径为，则，即， ∴，∴，故B正确； 由余弦定理得，所以， 得的外接圆的直径为，故C错误； 由余弦定理得， 所以.故D正确. 故选：BD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）在中，内角的对边分别为，若，则角的大小为___________. 【答案】 / 【分析】利用正弦定理、和角的正弦公式进行解三角形. 【详解】 由正弦定理有：     故答案为：. 13．（2026·全国·模拟预测）如图，在中，为斜边的中点，为上一点，为上一点，已知的面积是面积的4倍，若平分，，则的长为______. 【答案】4 【分析】根据三角形面积公式结合角平分线、中线性质即可得的长. 【详解】设，则， 因为为斜边的中点， 所以，且， 因为平分，所以， 因为， ， 又可得， 则，解得. 故答案为：4. 14．（25-26高三下·广东·阶段检测）已知圆锥的顶点为，轴截面为锐角，，则当________时，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值最大，最大值为__________． 【答案】 / / 【分析】作出图形，设，，为线段的中点，连接，设圆锥的内切球和外接球的半径分别为、，计算出、关于的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 不妨设，，为线段的中点， 连接，圆锥的内切球球心为，半径为；外接球球心为，半径为. 圆锥的内切球与外接球的表面积之比为， 在中，，， ， 在中，，，， 即，所以，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值的最大值为. 故答案为：；. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知复数，（，是虚数单位）． (1)若的实部与的模相等，求实数的值． (2)若复数在复平面上的对应点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）依题意，． 因为的实部与的模相等，所以． 整理得．解得或． （2）因为，且在复平面上对应的点在第四象限， 所以,解得． 所以实数的取值范围是． 16．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 17．（25-26高一上·陕西渭南·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 【答案】(1)，第75百分位数是84 (2)样本成绩的众数、中位数和平均数分别约为，75，74 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1列方程可求得的值，根据百分位数的定义可求解第75百分位数；（2）频率分布直方图中，众数的估计值是最高矩形对应区间的中间值，中位数的估计值左右两边矩形面积和均为，平均数的估计值是每组的组中值乘以该组的频率之和. 【详解】（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积和为1， 所以，解得. 样本成绩在内的频率为，在内的频率为， 所以第75百分位数，所以，解得，即样本成绩的第75百分位数是84. （2）因为最高矩形对应的区间为，所以样本成绩的众数约为； 由（1）知样本成绩在内的频率为，而成绩在内的频率为， 所以中位数，所以，解得，即样本成绩的中位数约为； 由得样本成绩的平均数约为74. 18．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）如图，正方体的棱长为，，分别是，上的点，且，，是线段上的动点（含端点）． (1)判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出定值；若不是，求三棱锥体积的最小值． (2)当平面时，求的值． 【答案】(1)不是，体积的最小值为 (2) 【分析】（1）借助反证法，假设三棱锥的体积是定值，则有平面，借助线面平行性质及面面平行判定定理及性质定理可得，又因为与平面交于点，所以与平面相交，两者矛盾，即可得三棱锥的体积不为定值；在线段的所有点中，到平面的距离最小，则可借助等面积法求出三棱锥体积即可得三棱锥体积的最小值； （2）借助线面平行判定定理及其性质定理，可得当线段平面时，满足平面，则可借助等体积法计算，到平面的距离，，即可得的值. 【详解】（1）三棱锥的体积不是定值． 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 因为平面，所以平面， 如图，过点作交于点，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 取的中点，连接，则为的中点，所以， 因为与平面交于点，所以与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值； 由图知，线段在平面的同侧， 且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 则， 所以三棱锥体积的最小值为； （2）如图，连接，，． 由正方体的对角面是矩形，得． 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 当线段平面时，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则， 因为是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以． 19．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 1．极化恒等式：，公式推导：； 2．平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3．三角形模式：如图，在中，设为的中点，则．推导过程：由 (1)如图，在边长为4的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）连接，根据三角形模式可得，即可求解； （3）由题意可得是等边三角形，所以，再根据向量极化恒等式即可求解． 【详解】（1）由正方形的边长为4，则，，． 由极化恒等式可得：． （2）如图，连接． 因为，， 所以． 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以． 因为，所以，所以， 即的取值范围是． （3）令（其中）， 则三点共线（如图）， 从而的几何意义表示点到直线的距离为， 这说明是等边三角形，为边上的高，故． 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离． 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 必修第二册综合检测3 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2026·湖北·模拟预测）设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·全国·模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其卷五“商功”中记载这样一个问题:今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺，问积几何?其含义是:今有正四棱锥，下底边长为丈尺，高丈尺，问它的体积为多少立方尺（ ） (注丈尺) A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南·期中）如图，在离地面的热气球上，观察到山顶处的仰角为，在山脚处观察到山顶处的仰角为60°，若到热气球的距离，山的高度，，则（    ） A．30° B．25° C．20° D．15° 4．（24-25高一下·四川巴中·期末）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高一上·浙江·期末）在正四棱锥中，面于，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二下·浙江·学业考试）已知平面向量满足，则的最大值是（    ） A． B．12 C． D． 8．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（    ）    A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形 D．点C和点G到平面AEF的距离相等 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·海南·期中）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（     ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 10．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）设为两个随机事件，给出以下命题，其中为正确命题的是（    ） A．若为互斥事件，且，则 B．若，则为互为对立事件 C．若，则为相互独立事件 D．若为相互独立事件，且，则 11．（25-26高一下·山西朔州·期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把这段文字写成公式，即.现有满足.且的面积为，请运用上述公式判断下列命题中正确的是（    ） A．的周长为4 B．的内切圆的面积为 C．的外接圆半径为 D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）在中，内角的对边分别为，若，则角的大小为___________. 13．（2026·全国·模拟预测）如图，在中，为斜边的中点，为上一点，为上一点，已知的面积是面积的4倍，若平分，，则的长为______. 14．（25-26高三下·广东·阶段检测）已知圆锥的顶点为，轴截面为锐角，，则当________时，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值最大，最大值为__________． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知复数，（，是虚数单位）． (1)若的实部与的模相等，求实数的值． (2)若复数在复平面上的对应点在第四象限，求实数的取值范围． 16．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 17．（25-26高一上·陕西渭南·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 18．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）如图，正方体的棱长为，，分别是，上的点，且，，是线段上的动点（含端点）． (1)判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出定值；若不是，求三棱锥体积的最小值． (2)当平面时，求的值． 19．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 1．极化恒等式：，公式推导：； 2．平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3．三角形模式：如图，在中，设为的中点，则．推导过程：由 (1)如图，在边长为4的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $