几何法求线面角专题训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦线面角定义应用，通过多几何体题型构建从概念到空间问题解决的逻辑链条，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识回顾|3问|定义辨析（斜线投影角、特殊位置角、范围）|从概念本质出发，奠定应用基础| |单选题|8题|长方体/正三棱台/圆锥等几何体线面角计算|覆盖规则几何体，强化定义直接应用| |多选题|3题|正方体中线面角及空间关系判断|结合位置关系，提升空间想象能力| |填空题|3题|动点/最值/折叠问题中的线面角|拓展动态与变式，深化空间转化| |解答题|5题|直三棱柱/四棱锥等证明与线面角求解|综合论证与计算，培养逻辑推理|

几何法求线面角专题训练（解析版） 知识回顾：直线和平面所成角的定义 （1）平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）如果一条直线垂直于平面，它们所成的角是________；如果一条直线和平面平行或在该平面上，就说二者所成的角是________的角． （3）请问该角的范围是_______ 【答案】 锐角 直角 0° 专题训练：一、单选题 1．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出直线在平面上的射影，从而确定线面角，再通过计算相关线段的长度来求线面角的正弦值. 【详解】在长方体中，平面，则直线与平面所成的角为，且， 因为，，所以，则． 2．在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将该正三棱台补成一个正四面体，进而补成正方体，结合等体积法求解即可. 【详解】由题意可将该正三棱台补成一个正四面体，平面即为平面． 正四面体进一步又可以放到一个正方体内研究， 设正方体棱长为2，， 设点到平面的距离为，则， 所以，则. 设与平面所成角为，则． 3．已知某圆锥的侧面展开图的面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设圆锥的底面半径为，母线长为，所以，所以， 该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为.    4．如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，则 ， 为的中点，， 且，且， 四边形是平行四边形， ，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角， 因为平面，所以为直线与平面所成角， 则为直线与平面所成角， 设正方体的棱长为，， 是的中点，所以 ，， ， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 故选项C正确. 5．在正四棱台中，，若侧棱与底面的所成角为60°，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，根据条件求出棱台的高，利用棱台体积公式求出答案. 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则⊥底面，过点作 于点，则底面， 因为，所以， 故，， 侧棱与底面的所成角为， 则，故， 故该正四棱台的体积为. 6．已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正三棱柱底面的边长为a，所以内切圆的半径， 因为正三棱柱存在内切球，所以正三棱柱的高． 取中点D，连接，，易证平面，所以为所求角． 在中，，，于是， 所以． 7．在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理计算求解，结合线面垂直判定定理得出平面，最后应用线面角的定义结合边长关系得出正弦值即可. 【详解】在中，， 即，解得（舍负），故，可得， 在中，，可得， 等腰中，， 所以中，， 在中，，所以，可得， 因为，，是平面内的相交直线， 所以平面，可得， 在中，，所以，可得， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 若与平面所成的角为，则． 故选：B． 8．已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合线面角的定义求，再利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】连接交于，连接， 、 因为平面，所以与平面所成角为， 所以，则， 可得， 由长方体中，，得：平面， 所以， 在中，边长 ，， 得 ， 则 ， 设点 到平面 的距离为 ， 则体积 ， 由，得， 解得： . 故选：A 二、多选题 9．在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 【答案】BCD 【分析】结合正方体性质，根据异面直线夹角，线面角的定义求解判断即可. 【详解】如下图， 且为等边三角形，则与所成的角为，A错误； 由 ，且，则，故与所成的角为正确； 由平面，则与平面所成的角为，C正确； 由平面平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成的角为，且， 故，D正确. 10．如图，在棱长为2的正方体中，为上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．正方体外接球体积为 C．存在一点，使得直线CE与平面所成的角为 D．到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】由线面平行的判定可判断A，由正方体外接球的直径为对角线可判断B，由线面角定义可判断C，由等体积法判断D. 【详解】对于A：由于在正方体中，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面，A正确； 对于B：正方体外接球的直径为对角线，即， 所以，B正确； 因为平面，则为直线CE与平面所成的角， 则， 若，则，所以， 又，， 所以存在一点，使得直线CE与平面所成的角为，C正确； 由A知平面，为上的动点， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 设到平面的距离， ，， 由等体积可得：，即， 所以，所以到平面的距离为，D错误. 11．正方体棱长为2，则（    ） A．与是异面直线 B．点到的距离为 C．与所成角为 D．与平面所成角为 【答案】ABD 【详解】因为平面，又平面且平面， 所以与是异面直线，故A正确； 设点到的距离为，由， 所以， 又， ， 所以，解得，故B正确； 因为，所以或其补角为异面直线与所成的角， 又因为是等边三角形，所以，故C错误； 因为是正方形，所以， 又因为平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 所以在平面内的射影为，为与的交点， 所以为直线与平面所成的角， 又，所以，故D正确. 三、填空题 12．点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【答案】 【分析】点在平面中的射影为，连接，，则是直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为，则，，再根据求解即可. 【详解】如图，设正四面体中，点在平面中的射影为， 连接，，则平面，为正的中心， 所以是直线与平面所成角的平面角， 所以 设正四面体的棱长为，则，， 所以 所以 13．如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 【答案】9 【分析】作辅助线，判断当四点共面时，点到的距离最大，算出，进而得到答案. 【详解】如图， 过作，交于，过作，交于， 因为在中，，则， 当四点共面时，点到的距离最大. 因为，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即到的最大距离为. 故答案为： 14．已知某圆锥的侧面积为定值，则当该圆锥的内切球的体积最大时，其母线与底面所成角的余弦值为________． 【答案】 【分析】设圆锥的侧面积为，底面半径为，母线长为，由等面积法可得该圆锥的内切球半径，结合圆锥侧面积可得，记为定值，进而得到，结合基本不等式可得，进而求解即可. 【详解】设圆锥的侧面积为，底面半径为，母线长为，    由，可得， 而圆锥侧面积为，即，记为定值， 则 ， 当且仅当，即，即时等号成立，此时， 所以圆锥的内切球体积最大时，其母线与底面所成角的余弦值为． 四、解答题 15．如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，，． (1)求证： 平面； (2)求直线与平面所成的角． 【答案】(1)连接，如下图所示 因为，分别为，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）知， 所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 因为平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 因为， 所以， 即直线与平面所成的角为. 16．在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)求与面所成角的余弦值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据直棱柱和菱形对角线垂直，易证面，可得为与面所成的角，求出相应三角形的边长，即可求出的余弦值； （2）由（1）知面，即可得到线线垂直. 【详解】（1）解：由直四棱柱可知平面， 因为平面，所以， 四边形为菱形，则，又，所以， 又因为，平面，所以平面， 则为与平面所成的角， 由，， 由余弦定理可得， 所以，则， 在中，，所以， 在中，， 在中，， 所以在中，， 即与平面所成角的余弦值为； （2）由（1）知平面，又平面，所以. 17．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明 平面，即可求证； （2）通过证明平面.得到即为所求的线面角，进而可求解. 【详解】（1）    由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； （2）由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面角的定义结合线面垂直的判定定理作出线面角的平面角，计算即可求解. 【详解】（1）因为底面是菱形，是的中点， 所以是中点，又因为是的中点， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知， 所以与平面所成的角就等于与平面所成的角， 因为是菱形，，， 所以，，是等边三角形. 因为底面，底面， 所以. 因为，，平面， 所以平面. 连接，则平面，， 所以就是与平面所成的角. 因为是等边三角形，， 所以，. 在中，，则. 在中，. 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 19．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2)若平面与平面的交线，求与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接 ，交于点，即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）延长交于，连接，则面，面，又面，面，即证 ，得为与平面所成的角，即可求. 【详解】（1）连接 ，交于点， 可知四边形是平行四边形，可得为 中点， 又是的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2） 延长交于，连接，则平面，平面， 又平面，平面， 则直线即为直线．由，且，则， 又且，所以且， 则四边形为平行四边形，故， 所以与平面所成的角与与平面所成的角相等， 因为，又平面，平面， 故，又，平面， 所以平面， 故为与平面所成的角． 因为，所以． 即与平面所成的角为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 几何法求线面角专题训练 知识回顾：直线和平面所成角的定义 （1）平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）如果一条直线垂直于平面，它们所成的角是________；如果一条直线和平面平行或在该平面上，就说二者所成的角是________的角． （3）请问该角的范围是_______ 专题训练 一、单选题 1．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 3．已知某圆锥的侧面展开图的面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在正四棱台中，，若侧棱与底面的所成角为60°，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 6．已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 10．如图，在棱长为2的正方体中，为上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．正方体外接球体积为 C．存在一点，使得直线CE与平面所成的角为 D．到平面的距离为 11．正方体棱长为2，则（    ） A．与是异面直线 B．点到的距离为 C．与所成角为 D．与平面所成角为 三、填空题 12．点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 13．如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 14．已知某圆锥的侧面积为定值，则当该圆锥的内切球的体积最大时，其母线与底面所成角的余弦值为________． 四、解答题 15．如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，，． (1)求证： 平面； (2)求直线与平面所成的角． 16．在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)求与面所成角的余弦值； (2)证明：． 17．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的余弦值. 19．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2)若平面与平面的交线，求与平面所成的角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $