必修第二册综合检测2-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 该综合检测紧扣教材，精选近三年真题与期中期末题，分模块覆盖复数、解三角形、向量、立体几何、概率统计，注重基础与能力结合，训练数学抽象、推理及数据意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|单选1题|纯虚数概念|从定义到复平面表示，强化概念辨析| |解三角形|单选2题/解答1题|边角关系、面积计算|正弦定理与面积公式结合，构建“边-角-面积”逻辑链| |向量|单选2题/填空1题|数量积、夹角、相反向量|从线性运算到数量积应用，体现工具性| |立体几何|单选2题/解答1题|空间垂直、外接球、体积|从位置关系到度量计算，培养空间观念| |概率统计|单选1题/解答2题|独立事件、频率分布直方图|数据处理与概率推理结合，发展数据意识|

必修第二册综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期末）已知为虚数单位，复数为纯虚数，则（    ） A． B．2 C． D．4 2．（25-26高一下·安徽·期中）在中，内角所对的边分别是，若，则的面积是（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（25-26高一下·江苏南通·期中）已知向量，满足，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二·上海·课堂例题）已知点P是正方形所在平面外一点，且平面，则平面（    ） A．与平面，平面都垂直； B．与平面，平面都相交，但不垂直； C．与平面垂直，与平面相交但不垂直； D．与平面垂直，与平面相交但不垂直． 5．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，若，且的面积为4，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 6．（25-26高二上·四川成都·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列结论错误的是（    ） A．乙发生的概率为 B．丙的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 7．（25-26高一下·山东·期中）已知与为相反向量，若，则，夹角的余弦的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 8．（25-26高三上·全国·阶段检测）已知三棱锥的所有棱长都相等，点是线段上的动点，点是线段上靠近的三等分点，若的最小值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）设，，表示平面，m，n，l表示直线，则的充分条件（    ） A．， B．，， C．，，， D．，， 10．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计总体中成绩落在内的学生人数105 D．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 11．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B．若，则B的取值范围是 C． D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·北京·期末）已知向量，若，则角＝________. 13．（25-26高三上·辽宁·期中）已知正四面体的棱上一点满足，则四面体外接球的半径是______. 14．（24-25高一下·四川达州·期末）如图，已知在三角形ABC中，∠A＝60°，∠C＝90°，AB＝4cm，质点从点A出发沿方向，同时质点也从点A出发沿方向在该三角形上运动，直至它们首次相遇为止．若质点的速度为2cm/s质点的速度为1cm/s，则的最大值为______． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·河北沧州·期中）已知复数． (1)若复数z在复平面内对应点，求实数m的值； (2)若复数，求m的值． 16．（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 17．（25-26高二下·上海闵行·期中）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 18．（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 19．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）如图1，在矩形中，是线段上的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面． (1)如图2，当时，点是线段的中点，求证：平面； (2)如图2，若点在平面内的射影落在线段上． ①是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 必修第二册综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期末）已知为虚数单位，复数为纯虚数，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先由复数为纯虚数求得，再利用复数的模的计算公式即可得解. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以，故． 故选：B. 2．（25-26高一下·安徽·期中）在中，内角所对的边分别是，若，则的面积是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理可得，求得，结合面积公式即可得解. 【详解】由，则， 所以， 则，所以的面积是. 故选：D 3．（25-26高一下·江苏南通·期中）已知向量，满足，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出向量，再利用夹角公式求解即可． 【详解】解：因为，， 故平方得， 即， 设向量与的夹角为，， 故． 故选：C． 4．（25-26高二·上海·课堂例题）已知点P是正方形所在平面外一点，且平面，则平面（    ） A．与平面，平面都垂直； B．与平面，平面都相交，但不垂直； C．与平面垂直，与平面相交但不垂直； D．与平面垂直，与平面相交但不垂直． 【答案】A 【分析】先证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直； 【详解】在正方形中，，因为且平面，平面，所以， 又是平面内两条相交直线，所以平面， 又平面，因此平面 平面； 平面 平面，两平面相交；故B,D错误； 在正方形中，，由上可知平面， 平面，所以平面 平面， 且平面 平面，两平面相交；故C错误，A正确； 故选：A.    5．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，若，且的面积为4，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】使用正弦定理和三角形面积公式求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理得, 所以， 当且仅当时等号成立， 又因为， 所以，， 即是等腰直角三角形， 又因为， 所以， 所以. 6．（25-26高二上·四川成都·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列结论错误的是（    ） A．乙发生的概率为 B．丙的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 【答案】B 【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误. 【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”， 为事件“第二次取出的球的数字是偶数”， 为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”， 为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则，，故A正确.， ，故B错误. 而，故C正确. 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确. 故选：B. 7．（25-26高一下·山东·期中）已知与为相反向量，若，则，夹角的余弦的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】先根据向量模长相关不等式和题设条件，得到，设，，将两边取平方，得到，结合，求出值的范围即得. 【详解】依题意，，则， 因，且，则， 代入上式，可得，解得， 设，则，且，设， 由两边取平方， 可得， 即，则得， 因，故得，即，夹角的余弦的最小值为. 故选：D. 8．（25-26高三上·全国·阶段检测）已知三棱锥的所有棱长都相等，点是线段上的动点，点是线段上靠近的三等分点，若的最小值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据条件作出图示，将平面、平面展开后利用平面图形分析的最小值，结合余弦定理计算出三棱锥的棱长，再考虑三棱锥与正方体的关系，通过正方体的外接球求解出三棱锥的外接球的半径，从而表面积可求. 【详解】如下图所示：将平面，平面展开至同一平面，连接交于点， 故的值最小为， 设三棱锥的棱长为，则在中，，，， 由余弦定理可知，解得，所以三棱锥的棱长为6， 将该四面体置于正方体中，可得正方体的外接球即为四面体的外接球，如下图所示： 所以正方体的棱长为，所以正方体的外接球半径为， 故四面体的外接球半径为，外接球表面积. 故选：C. 【点睛】结论点睛：正四面体可以看成是正方体的三组对棱所构成的三棱锥，此时正四面体的棱长是正方体棱长的倍. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）设，，表示平面，m，n，l表示直线，则的充分条件（    ） A．， B．，， C．，，， D．，， 【答案】AD 【分析】根据线线、线面、面面的位置关以及充分条件和必要条件的定义进行分析判断即可． 【详解】解：当，时，则，故选项正确； 当，，时，由面面垂直的性质得出，可能在内，故选项错误； 当，，，时，由线面垂直的判定定理得出，当时，得不到，故选项错误； 当，，时，则可以在，内分别找到异于的直线，，使得，， 根据线面垂直的性质得出，则， 由线面平行的性质得出，则，故选项正确． 故选：AD． 10．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计总体中成绩落在内的学生人数105 D．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 【答案】AB 【分析】对A ，利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，列方程求解的值；对 B，众数为最高矩形底边中点的横坐标，取区间[70,80)的中点 75；对C ，先算[80,90)的频率，再乘以总体 300 得到估计人数；对D ，根据前几组频率和确定第 80 百分位数所在区间，再用插值法计算. 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为，B正确； 对于C：区间对应的频率为，， 所以估计总体中成绩落在的学生人数为，C错误； 对于D：前三组的频率和为，第四组的频率为， 因为，所以第百分位数落在区间内， 由，即估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为，D错误； 故选：AB. 11．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B．若，则B的取值范围是 C． D． 【答案】ACD 【分析】由正弦定理判断A；由角形为锐角三角形，，所以，即有，根据可得的范围，从而判断B；由，可得，进而得，从而判断C；由，可得，从而判断D. 【详解】解：对于选项A，因为A>B，所以有,所以，故正确； 对于选项B，因为，则，所以，由可得 的取值范围是，故错误； 对于选项C ，锐角三角形ABC中，，，∴，同理，，所以故正确； 对于选项D，锐角三角形ABC中，因为，即，，又∵，∴，故正确． 故选：ACD． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·北京·期末）已知向量，若，则角＝________. 【答案】或； 【分析】根据题意和向量数量积的坐标表示可得，结合即可得出结果. 【详解】因为，， 由得， 当时； 当时，，所以. 故答案为：或 13．（25-26高三上·辽宁·期中）已知正四面体的棱上一点满足，则四面体外接球的半径是______. 【答案】 【分析】点为正的中心，利用余弦定理计算，再利用球的意义判断即得. 【详解】在棱长为3的正四面体中，点为正的中心，连接，显然平面， 在正中，，由，得， 在中，，， 显然，因此点为四面体外接球的球心， 所以四面体外接球的半径为. 故答案为： 14．（24-25高一下·四川达州·期末）如图，已知在三角形ABC中，∠A＝60°，∠C＝90°，AB＝4cm，质点从点A出发沿方向，同时质点也从点A出发沿方向在该三角形上运动，直至它们首次相遇为止．若质点的速度为2cm/s质点的速度为1cm/s，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】根据质点运动的速度，可分两种情况讨论，当和，结合图形以及数量积的运算即可求解. 【详解】根据题意可知：在直角三角形中，, 设两质点运动的时间为（单位为：秒），则当时，此时质点在线段上，质点在线段上，且故，当时，最大值为4；周长为：，两质点相遇的时间为，当时，质点，均在线段上运动，此时 ，由二次函数的性质可知：当时，最大，将代入中可得最大值为，而，故的最大值为. 故答案为： 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·河北沧州·期中）已知复数． (1)若复数z在复平面内对应点，求实数m的值； (2)若复数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数对应的点的坐标建立方程组求解即可； （2）由可知为纯虚数，建立方程求解即可. 【详解】（1）若复数z在复平面内对应点， 则有， 解得； （2）设复数， 若为负实数，则有， 则有且，即为纯虚数． 因复数， 则复数z为纯虚数，即， 解得． 16．（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负， 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 17．（25-26高二下·上海闵行·期中）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 【答案】(1) (2)平均数为，方差为 【分析】（1）先利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，再利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （2）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可． 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得， 则样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的学生人数为， 所以用分层抽样的方法应从考核成绩在的学生中抽取（人）． （2）由频率分布直方图知， 成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 所以这两组学生成绩的平均数为， 所以这两组学生成绩的总方差为． 18．（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，则事件小李恰好有一关闯关成功，由条件结合概率加法公式和独立事件概率乘法公式求结论； （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，由条件结合概率公式列方程求，分别求出两人两关都通过的概率，再求结论． 【详解】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知相互独立，且， ， 则，， 设事件小李恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 所以， 所以当时，， 所以小李恰好有一关闯关成功的概率为． （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 则结合（1）知事件相互独立，且，，，，， 因为小王，小李两关都闯关成功的概率为，即，得①， 设事件小王恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 由（1）有， 因为小王，小李各有一关闯关成功的概率为，即，得②， 联立①，②得，解得或， 又，所以，， 所以小王两关都闯关成功的概率为， 小李两关都闯关成功的概率为， 所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为. 19．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）如图1，在矩形中，是线段上的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面． (1)如图2，当时，点是线段的中点，求证：平面； (2)如图2，若点在平面内的射影落在线段上． ①是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)①存在，；② 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）①当点与点重合，即时平面，此时，由线面垂直的性质得到，即可得到平面，结合，即可证明平面；②在矩形中作，垂足为点，延长交于点，设，即可由利用基本不等式求出体积最大值，即可此时的长度，再结合①得解. 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为点是线段的中点，所以且， 又因为且， 所以且，所以为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面. （2）①存在点，当点与点重合，即时平面； 理由如下： 当点与点重合，则，又平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面， 又，，平面， 所以平面， 所以当点与点重合，即时平面； ②在矩形中作，垂足为点，延长交于点，折起后可知， 设，则，， 由，所以，即，则， 所以， 要使得点的射影落在线段上，则，即又，解得， 在中， 所以 ， 当且仅当，即时， 所以当时，，即是的中点， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又由①知，当时点与点重合时平面， 所以点到平面的距离为. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $