考点08 立体几何中的空间角与空间距离 能力提升练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何空间角与距离计算，通过选择、填空、解答题系统覆盖线面角、二面角、异面直线所成角及点面距离，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间角计算|8题（单选1-6、多选7-8）|涵盖线面角、二面角、异面直线所成角的余弦值/正切值计算|以空间向量法与几何构造法为核心，关联线面垂直、面面垂直判定与性质| |空间距离计算|2题（填空9-10）|涉及点到平面距离及二面角背景下的距离问题|基于三棱锥、正棱柱等几何体，构建空间角与距离计算的逻辑链条| |综合应用|2题（解答11-12）|结合翻折、存在性探究等情境综合考查|整合空间角、距离计算与几何体性质，体现从几何直观到逻辑推理的思维过程|

考点08 立体几何中的空间角与空间距离·能力提升 一、单选题 1. 已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2. 已知三棱锥的棱长均为，则直线与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3. 在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4. 已知正四棱台的高为，，，则与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5. 如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 6. 《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图，若，都是等边圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 7. 如图所示，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线与平面平行 D．平面截正方体所得的截面面积为 8. 如图，已知三棱柱，平面，，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．直线与直线的夹角为 D．若，则平面与平面的夹角为 三、填空题 9. 在三棱锥中，已知，，点P到，的距离均为，那么点P到平面的距离为________. 10. 在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____. 四、解答题 11. 如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D是侧棱的中点，直线AD与侧面所成的角为45°． (1)求此正三棱柱的侧棱长； (2)求二面角A－BD－C的正切值； (3)求点C到平面ABD的距离． 12. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为平行四边形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点08 立体几何中的空间角与空间距离·能力提升 一、单选题 1. 已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求线面角、求二面角 【分析】作出二面角的平面角，根据最小角定理，利用线面角求最小值即可. 【详解】过作，垂足为，于，连接，如图， 则，平面， 所以平面，平面，所以, 所以为二面角的平面角，故， 由最小角定理知，当为与所成线面角时，最小， 此时，重合，取得最小值， 设，则，又，则， 所以，即的最小值为. 2. 已知三棱锥的棱长均为，则直线与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求线面角 【分析】利用正三棱锥的性质，求出在底面的投影长度，再利用余弦公式求解． 【详解】 三棱锥A-BCD的棱长均为， 三棱锥各个面均为边长是的等边三角形， 取边中点连接，则，作底面，则在上是的中心， 是在底面上的投影，， 设与面所成角为，则． 故选：C． 3. 在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求二面角 【分析】取的中点，连接、、、，即可证明、，从而得到为平面与平面的夹角，利用锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、、、， 在正三棱柱中，，所以， 又平面，平面，所以，，， 不妨令，则，所以， 所以为平面与平面的夹角， 又， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A 4. 已知正四棱台的高为，，，则与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求线面角 【分析】作出图形，找到线面角，最后求出即可. 【详解】如图：分别为下、上底面的中心，连接，作交于点M，    由题可知： ，则， 又与平面所成角为，所以. 故选：D 5. 如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离 【分析】根据空间中，点线面的位置关系，以及二面角的性质，求出各线段的长度，进而求出结果. 【详解】    如图所示，作中点，连接，    如图所示，作出矩形的平面图形，过点作垂直于于， 由题意可得，所以，且， 所以，则， 因为二面角的大小为， 可知面面，因为，所以面，所以, 由勾股定理可知. 故选：A. 6. 《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图，若，都是等边圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】圆锥中截面的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】连接，取中点，中点，连接，从而得或其补角为异面直线与所成的角，利用几何关系得的三边长，再由余弦定理，即可求解. 【详解】如图，连接，取中点，中点，连接， 因为是中点，则，，所以或其补角为异面直线与所成的角， 设，因为圆锥是等边圆锥，则，， 又圆面，则，又，，则, 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 2、 多选题 7. 如图所示，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线与平面平行 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、面面平行证明线面平行、求线面角 【分析】为直线与所成的角，计算得到A正确，为直线与平面所成的角，，B错误，平面平面，C正确，梯形为平面截正方体所得的截面，计算得到错误，得到答案. 【详解】对选项A：如图1所示，连接，，，，则， ，，故是平行四边形，故，即， 为直线与所成的角，为等边三角形，故，正确； 对选项B：如图2所示，为中点，连接，，， 故为平行四边形，故， 平面，则为直线与平面所成的角，， 故，错误；      对选项C：如图3所示，为中点，连接，，，， 则，，故为平行四边形，故， 平面，平面，故∥平面， 同理可得∥平面，，故平面∥平面， 平面，故直线与平面平行，正确； 对选项D：如图4所示，连接，，，则， ，，故为平行四边形，故，则， 则梯形为平面截正方体所得的截面， ，，， 等腰梯形的高为， ，错误； 故选：AC 8. 如图，已知三棱柱，平面，，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．直线与直线的夹角为 D．若，则平面与平面的夹角为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、证明线面垂直、求二面角 【分析】根据线面平行判定定理求证，即可判断A；根据线面垂直关系先证明平面，从而得，由结合线面垂直的判定定理，即可判断B；由，，可得是等腰直角三角形，从而可得直线与直线的夹角，即可判断C；连接，先证明平面，由线面垂直关系确定平面与平面的夹角，结合三角形边角可求得夹角大小，即可判断D. 【详解】因为分别是，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，平面，则平面，故B正确； 由于为中点，且，，因此是等腰直角三角形. 是的中点，则，故直线与直线的夹角为，故C错误； 连接， 由于，平面， 所以平面， 又平面，则，因此平面与平面的夹角为， 由于，因此，则，因此，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9. 在三棱锥中，已知，，点P到，的距离均为，那么点P到平面的距离为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】如图，取BC中点为D，连接PD，AD，过P作AD垂线，垂足为G，可证PG与平面垂直及D和G重合，即可得答案. 【详解】过P作AC，AB垂线，垂足为E，F，由题，则. 又，则， 又，，则. 则，又由勾股定理，可得. 取BC中点为D，连接PD，AD.由以上分析可知. 因平面PAD，则平面PAD. 过P作AD垂线，垂足为G，则，又平面PAD，则. 因平面ABC，则平面ABC， 即PG为P到平面的距离. 在中，因，，则. 又在中，，则； 又，则为以D为直角顶点的直角三角形，则 即D和G重合，则. 故答案为： 10. 在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】先确定二面角的平面角，建立向量关系，通过向量数量积计算异面直线所成的角. 【详解】如图，取的中点，连接，. 因为，所以，， 所以为平面与平面所成二面角的平面角， 又， 所以， 则，所以为等边三角形，所以. 因为， 所以， 所以， ， 即，得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 四、解答题 11. 如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D是侧棱的中点，直线AD与侧面所成的角为45°． (1)求此正三棱柱的侧棱长； (2)求二面角A－BD－C的正切值； (3)求点C到平面ABD的距离． 【答案】(1) (2)3 (3) 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、求二面角、棱柱及其有关计算 【分析】（1）取BC中点E，连接AE，推出，进而推出侧面．连接ED，则直线AD与侧面所成的角为∠ADE=45°，由此能求出正三棱柱的侧棱长； （2）过E作于F，连接AF，可得∠AFE为二面角A－BD－C的平面角，由此能求出二面角A－BD－C的平面角的正切． （3）由平面AEF，知平面平面ABD，且交线为AF，过E作于G，则平面ABD．由此能求出点C到平面ABD的距离． 【详解】（1）设正三棱柱的侧棱长为x，取BC中点E，连接AE， ∵是正三角形，∴， 又底面侧面，且两平面交线为BC，∴侧面． 连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面所成的角，∴∠ADE＝45°， 在中，，解得，∴此正三棱柱的侧棱长为． （2）过E作于F，连接AF， ∵侧面，∴，可知，∴∠AFE为二面角A－BD－C的平面角． 在中，，又BE＝1，，∴． 又，∴在中，． （3）由（2）可知，平面AEF，∴平面平面ABD，且交线为AF． 过E作于G，则平面ABD．∴EG的长为点E到平面ABD的距离． 在中，． ∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为． 12. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为平行四边形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. (2) (3)存在， 【难度】0.52 【知识点】证明线面垂直、求线面角、求二面角、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）连接，结合线面角的定义得到为直线与平面所成的角，在中结合三角函数求解即可. （3）取中点，连接，，结合二面角的定义得到为二面角的平面角，设，在中，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $