2025-2026学年北师大版数学七年级下学期学业检测模拟卷

**基本信息** 2025-2026学年北师大版数学七年级下学期期末模拟卷，以散裂中子源、激光测距仪等科技情境和购物优惠、无人机航怕等生活实例为载体，融合几何直观、运算能力与模型意识，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|轴对称、整式运算、事件类型|结合图形辨析考查空间观念| |填空题|12/36|科学记数法、等腰三角形、函数关系|设置折叠问题发展几何直观| |计算题|3/24|实数运算、方程组、整式化简|注重运算能力与符号意识| |解答题|6/54|统计图表、动态几何、方案优化|33题阅读理解培养推理能力，32题购物问题发展模型观念|

2025-2026学年北师大版数学七年级下学期学业检测模拟卷 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卡． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．分别以直线l为对称轴作轴对称图形，下列所作轴对称图形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（） A． B． C． D． 3．有两个事件，事件A：3人中至少有2人性别相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数为2的倍数．下列说法正确的是（   ） A．事件A、B都是随机事件 B．事件A、B都是必然事件 C．事件A是随机事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件 4．若的计算结果中不含的一次项，则的值是（   ） A． B． C．3 D． 5．下列说法中，正确的是（   ） A．锐角与钝角互为补角 B．和为的两个锐角互为余角 C．连接两点的线段叫做两点之间的距离 D．两点之间，直线最短 6．如图，能判定的条件是（　　） A． B． C． D． 7．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．激光测距仪L 发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L 收到目标M反射回的激光束，则测距仪L 到目标 M 的距离d(单位：)与时间t(单位：s)的关系式为 （   ） A． B． C． D． 9．如图所示，在菱形 中，，， 分别是边 和 的中点， 于点 ，则 的度数是 （   ） A． B． C． D． 10．有足够多张如图所示的类、类正方形卡片和类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11．已知整式，将其乘以2减1得，将乘以2减1得，…，记，，…，以此类推，则下列说法： ①； ②多项式的项数为9； ③多项式的最高次项的系数为． 其中正确的个数有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 12．如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（    ）． A．5 B．10 C．15 D．20 二、填空题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13．化简：________． 14．目前，全球建成的散裂中子源装备仅有个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿、解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将用科学记数法表示为_________． 15．若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________． 16．如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 17．已知，求的值为_______． 18．在夏至这一天，测得太阳光与地面的夹角y和北纬纬度x之间满足下列对应关系： 北纬纬度（x）度 北纬24度 北纬32度 北纬40度 北纬48度 … 夹角（y）度 89.5° 81.5° 73.5° 65.5° … 请写出变量y与x之间的关系式：________．（不写变量x的取值范围） 19．如图，长方形中，点E为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点D恰好落在的中点F上，点G为的中点；点P为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是__________． 20．定义，若，则的值为________． 21．如图，在中，点是的中点，，交于点，连结，若的周长是20，则的周长等于___________． 22．用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，．现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______________． 23．如图，小明准备在自家院子里开辟一块正方形空地用来设计果园、菜园和花园，其中菜园种植菠菜和黄瓜．初步设计菜园和花园两个正方形区域共，其中菜园中种植黄瓜的长方形区域为．设正方形菜园的边长为，正方形花园的边长为，那么，这块正方形空地的边长为________． 24．如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）． 三、计算题：（本大题共3个小题，25题8分，26题8分，27题8分，共24分）解答时给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25．计算： (1)； (2)． 26．解下列方程组： (1)； (2)． 27．先化简，再求值：先化简，再求值：，其中，． 四、解答题：（本大题共6个小题，28题-31题每题8分，32题10分，33题12分，共54分）解答时给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 28．如图，，M，N分别是上的点，小亮想在中画出与对应的线段，并说明．现在邀请你作为他的学习伙伴，请根据他的想法与思路完成作图（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）和填空． 解：以D为圆心，的长为半径作弧，交于点P；以点P为顶点，在右侧作___①___，交于点Q． ， ∴___②___（全等三角形对应角相等）． 在和中， （____③___）． （___④___）． 29．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了_______名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_______； (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是______； (4)若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 30．如图，，，，，相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 31．某无人机爱好者操纵无人机进行航拍，已知无人机上升或下降的速度相同，无人机的高度h（米）与操控无人机的时间t（分）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)在上升或下降过程中，无人机升降的速度为多少米/分钟？ (2)无人机最高上升到多少米？在最高处停留了多少分钟？ (3)请用简短的语句描述0～7分钟无人机的升降情况． 32．根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 33．阅读理解：如图1，在ABC中，D是BC边上一点，且，试说明． 解：过点A作BC边上的高AH， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 根据以上结论解决下列问题：如图2，在ABC中，D是AB边上一点，且CD⊥AB，将ACD沿直线AC翻折得到ACE，点D的对应点为E，AE，BC的延长线交于点F，AB＝12，AF＝10． （1）若CD＝4，求ACF的面积； （2）设△ABF的面积为m，点P，M分别在线段AC，AF上． ①求PF+PM的最小值（用含m的代数式表示）； ②已知，当PF+PM取得最小值时，求四边形PCFM的面积（用含m的代数式表示）． 试卷第2页，共9页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版数学七年级下学期学业检测模拟卷 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卡． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．分别以直线l为对称轴作轴对称图形，下列所作轴对称图形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据对称轴的定义逐项判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、所作图形关于直线不对称，故不符合题意； B、所作图形关于直线不对称，故不符合题意； C、所作图形关于直线不对称，故不符合题意； D、所作图形关于直线对称，故符合题意． 故选：D． 2．下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方、单项式除以单项式的运算法则，逐一计算各选项即可判断． 【详解】解：对选项A，，，A运算错误； 对选项B，，，B运算错误； 对选项C，，，C运算错误； 对选项D，，D运算正确． 3．有两个事件，事件A：3人中至少有2人性别相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数为2的倍数．下列说法正确的是（   ） A．事件A、B都是随机事件 B．事件A、B都是必然事件 C．事件A是随机事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查主要事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 先分别判定事件A、B的类型，然后结合选项即可解答． 【详解】解：对于事件A，由人的性别只有两种(男、女)，根据抽屉原理，3个人中至少有2人的性别是相同的，所以事件A是必然事件； 对于事件B，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能为1，2，3，4，5，6，点数为2的倍数的结果有3种，分别是2、4、6，但也有可能出现不为2的倍数的结果，如1、3、5，所以事件B是随机事件． 综上，仅有D选项符合题意． 故选：D． 4．若的计算结果中不含的一次项，则的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式； 展开多项式后，令一次项系数为零，求解a． 【详解】解：， ∵计算结果不含x的一次项， ∴， 解得， 故选∶D． 5．下列说法中，正确的是（   ） A．锐角与钝角互为补角 B．和为的两个锐角互为余角 C．连接两点的线段叫做两点之间的距离 D．两点之间，直线最短 【答案】B 【分析】本题考查的是余角，补角的含义，两点之间的距离，两点之间，线段最短，根据以上基础概念逐一分析即可. 【详解】A．锐角与钝角不一定互为补角，原表述错误，不符合题意； B．和为的两个锐角互为余角，正确，符合题意； C．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，原表述错误，不符合题意； D．两点之间，线段最短，原表述错误，不符合题意； 故选B． 6．如图，能判定的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内错角相等两直线平行，熟记平行线的判定定理是解题关键． 【详解】解：由图可知：是截产生的内错角， 若，则根据内错角相等两直线平行可推出， 故选：C 7．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，则，，，过点作，得到，则，，得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，则，，，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 8．激光测距仪L 发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L 收到目标M反射回的激光束，则测距仪L 到目标 M 的距离d(单位：)与时间t(单位：s)的关系式为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列函数关系式，根据题意利用速度乘以时间求出总路程，再除以2即为测距仪L 到目标 M 的距离d，进行求解即可． 【详解】解：由题意，； 故选D． 9．如图所示，在菱形 中，，， 分别是边 和 的中点， 于点 ，则 的度数是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先延长交的延长线于点G．根据已知可得的度数，再根据余角的性质可得到的度数，从而不难求得的度数． 【详解】延长交的延长线于点G．如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵F是边的中点， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴F为中点． 由题可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 10．有足够多张如图所示的类、类正方形卡片和类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】计算，结果中项的系数即为需要类卡片的张数． 【详解】解：， 需要类卡片5张， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的乘法，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要类卡片的张数． 11．已知整式，将其乘以2减1得，将乘以2减1得，…，记，，…，以此类推，则下列说法： ①； ②多项式的项数为9； ③多项式的最高次项的系数为． 其中正确的个数有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式，单项式，根据题意得出规律是解题的关键． 根据题意求出，即可判断①；根据题意得出是是八次九项式即可判断②，根据题意求出的最高次项系数即可判断③，即可得到答案． 【详解】解：， ， …… ∴，故①正确； 由题得是一次二项式， ，是二次三项式， ，是三次四项式， ， 以此类推是八次九项式， 多项式的项数为9，故②正确； ∵，最高次项的系数为 ，最高次项的系数为， ，最高次项的系数为， …… ∴的最高次项的系数为，故③正确； 故选：A． 12．如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（    ）． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，延长至点，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，，证明，求出的面积，根据等积转化结合三角形的中线，进行求解即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则， ∵为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ，即； ∵等腰和等腰，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 二、填空题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13．化简：________． 【答案】1 【分析】本题主要考查乘法公式，原式根据完全平方公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开后再合并即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 14．目前，全球建成的散裂中子源装备仅有个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿、解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将用科学记数法表示为_________． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，根据科学记数法的定义，将数表示为，其中，为整数，将转换为科学记数法，先依次确定和，再按科学记数法表示即可． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数， ∴将转换时，，小数点向右移动了位， ∴， ∴． 15．若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________． 【答案】25 【分析】题目未明确腰和底边的长度，因此需要分两种情况讨论，再根据三角形三边关系验证能否组成三角形，即可得到结果． 【详解】解：根据等腰三角形的定义，分以下两种情况讨论： 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 因为，不满足三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，因此这种情况不成立，舍去； 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 满足三角形的三边关系定理， 此时这个等腰三角形的周长为． 16．如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 【答案】58° 【分析】本题主要考查对垂线，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 故答案为：58°． 17．已知，求的值为_______． 【答案】27 【分析】利用完全平方公式变形，将所求代数式转化为含已知代数式的形式，再代入计算求值． 【详解】解： ． 18．在夏至这一天，测得太阳光与地面的夹角y和北纬纬度x之间满足下列对应关系： 北纬纬度（x）度 北纬24度 北纬32度 北纬40度 北纬48度 … 夹角（y）度 89.5° 81.5° 73.5° 65.5° … 请写出变量y与x之间的关系式：________．（不写变量x的取值范围） 【答案】y＝113.5－x/ y＝－x＋113.5 【分析】由表格可知，给出四对对应值，北纬纬度每增加8度，夹角减小8°，即北纬纬度每增加1度，夹角减小1°，即可求出y与x的关系． 【详解】由表格知：北纬纬度增加1度，夹角减小1°， ∴y＝89.5－（x－24）＝113.5－x， 即变量y与x之间的关系式为y＝113.5－x． 故答案为：y＝113.5－x． 【点睛】此题考查了用表格表示变量之间的关系、用关系式表示变量之间的关系，读懂题意，找到变化规律是解题的关键． 19．如图，长方形中，点E为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点D恰好落在的中点F上，点G为的中点；点P为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是__________． 【答案】18 【分析】本题考查了长方形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质等，取的中点，连接，可得四边形是长方形，即得，再根据折叠的性质可证，得到，即得到，可知当三点共线时，的值最小，最小值为18，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形是长方形，是的中点， ∴四边形是长方形， ∴， 由折叠可知，，， ∵是的中点，是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为18， 故答案为：18． 20．定义，若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据新定义得到，根据列方程计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：． 21．如图，在中，点是的中点，，交于点，连结，若的周长是20，则的周长等于___________． 【答案】28 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质和三角形周长解答即可． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵的周长是20，， ∴的周长， 故答案为：28． 22．用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，．现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______________． 【答案】 【分析】根据针尖落在阴影部分的概率等于阴影区域的面积与整体的面积比即可解答； 【详解】 设 则 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了几何概率问题，该题解答的关键是确定针尖落在阴影部分的概率等于阴影区域的面积与整体的面积比． 23．如图，小明准备在自家院子里开辟一块正方形空地用来设计果园、菜园和花园，其中菜园种植菠菜和黄瓜．初步设计菜园和花园两个正方形区域共，其中菜园中种植黄瓜的长方形区域为．设正方形菜园的边长为，正方形花园的边长为，那么，这块正方形空地的边长为________． 【答案】 【分析】根据题意可知，，再由进行计算即可． 【详解】解：根据题意，，， ， 解得（负值已舍去）， 则这块正方形空地的边长为． 24．如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①③④ 【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项不正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案； 【详解】解： ， 即： 在 和 中 ，本选项正确； 为等腰直角三角形， ，本选项不正确； 即, ∴，本选项正确； ，本此选项正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 三、计算题：（本大题共3个小题，25题8分，26题8分，27题8分，共24分）解答时给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 26．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：， 得，解得， 将代入②，得，解得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得， 得，解得， 将代入②，得，解得， ∴方程组的解为． 27．先化简，再求值：先化简，再求值：，其中，． 【答案】，10 【分析】先利用整式的混合运算法则进行化简，再代数求值. 【详解】解：原式＝， 把，代入， 得：原式. 【点睛】本题考查代数式的化简求值，熟练掌握平方差公式、整式乘除运算法则是关键. 四、解答题：（本大题共6个小题，28题-31题每题8分，32题10分，33题12分，共54分）解答时给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 28．如图，，M，N分别是上的点，小亮想在中画出与对应的线段，并说明．现在邀请你作为他的学习伙伴，请根据他的想法与思路完成作图（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）和填空． 解：以D为圆心，的长为半径作弧，交于点P；以点P为顶点，在右侧作___①___，交于点Q． ， ∴___②___（全等三角形对应角相等）． 在和中， （____③___）． （___④___）． 【答案】①；②；③；④全等三角形对应边相等 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是读懂题意，作合理的图形，根据题意作，由可推出，从而得证，再由全等三角形对应边相等，得到． 【详解】解：如图所示： 解：以D为圆心，的长为半径作弧，交于点P；以点P为顶点，在右侧作，交于点Q． ， ∴（全等三角形对应角相等）． 在和中， ． （全等三角形对应边相等）． 故答案为：①；②；③；④全等三角形对应边相等． 29．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了_______名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_______； (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是______； (4)若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 【答案】(1)100 (2) 如图所示： (3) (4)名 【分析】（1）运用运动的人数除以占比，得出调查的学生的总人数； （2）先运用调查的学生的总人数减去其他兴趣爱好的人数，得出阅读的学生人数，再补全条形统计图，再列式计算得出阅读部分圆心角，即可作答． （3）根据调查的学生的总人数为名，爱好阅读的学生人数为名，用频率估计概率列式计算，即可作答． （4）根据样本估计总体，运用爱好运动的学生的占比乘上，计算即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（名） ∴在这次研究中，一共调查了名学生． （2）解：依题意，（名）， 补全条形统计图：略， ∴． （3）解：依题意，． （4）解：估计全校爱好运动的学生有（名）． 30．如图，，，，，相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ． 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）由，，，利用，即可判定； （2）由，可得，继而求得，则可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 31．某无人机爱好者操纵无人机进行航拍，已知无人机上升或下降的速度相同，无人机的高度h（米）与操控无人机的时间t（分）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)在上升或下降过程中，无人机升降的速度为多少米/分钟？ (2)无人机最高上升到多少米？在最高处停留了多少分钟？ (3)请用简短的语句描述0～7分钟无人机的升降情况． 【答案】(1)无人机升降的速度为30米/分钟 (2)无人机最高上升到90米，在最高处停留了5分钟 (3)无人机在0～2分钟时上升；在2～6分钟时高度保持不变；在6～7分钟时继续上升 【分析】本题主要考查函数图象，解题的关键是理解函数图象；因此此题可根据函数图象求解（1）（2）（3）小问． 【详解】（1）解：根据图象可知：无人机上升高度为60米时，操控无人机的时间是2分钟， 所以无人机升降的速度为（米/分钟）； 答：无人机升降的速度为30米/分钟． （2）解：由图可知：无人机最高上升到90米， 在最高处停留了（分钟）； 答：无人机最高上升到90米，在最高处停留了5分钟． （3）答：无人机在0～2分钟时上升；在2～6分钟时高度保持不变；在6～7分钟时继续上升．（说法不唯一，正确即可） 32．根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 【答案】(1)足球的单价是元，跳绳的单价是元 (2)当时，两种方案购买总费用相同 (3)先按方案②购买个足球（赠送条跳绳），再按方案①购买剩余条跳绳更省钱 【分析】（1）先根据素材给出的总价关系列方程求出足球和跳绳的单价， （2）分别列出两种优惠方案的总费用代数式，令两者相等求出总费用相同时的值， （3）计算时不同购买方案的总费用，比较后得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，由题意得2个足球的费用等于11根跳绳的费用，因此足球单价为元． 根据题意列方程： 化简得 解得 则足球单价为 （元）． 答：足球的单价是110元，跳绳的单价是20元． （2）由题意得，， 方案①总费用： （元） 方案②总费用： （元） 令总费用相等，得： 解得． 答：当时，两种方案购买总费用相同． （3）当时，分别计算不同方案的费用： ①全部使用方案①：总费用为 （元） ②全部使用方案②：总费用为 （元） ③混合使用两种方案：先用方案②购买30个足球，赠送30条跳绳，剩余条跳绳用方案①购买，总费用为： （元） 混合方案费用更低． 答：先按方案②购买30个足球（赠送30条跳绳），再按方案①购买剩余30条跳绳更省钱． 33．阅读理解：如图1，在ABC中，D是BC边上一点，且，试说明． 解：过点A作BC边上的高AH， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 根据以上结论解决下列问题：如图2，在ABC中，D是AB边上一点，且CD⊥AB，将ACD沿直线AC翻折得到ACE，点D的对应点为E，AE，BC的延长线交于点F，AB＝12，AF＝10． （1）若CD＝4，求ACF的面积； （2）设△ABF的面积为m，点P，M分别在线段AC，AF上． ①求PF+PM的最小值（用含m的代数式表示）； ②已知，当PF+PM取得最小值时，求四边形PCFM的面积（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）20；（2）①m；②m 【分析】（1）根据已知条件，由三角形的面积公式直接求△ACF的面积； （2）①作点M关于直线AC的对称点N，连接PN、FN，可得当点P落在FN上且FN⊥AB时，PF+PM的值最小，为此时FN的长，根据△ABF的面积为m，将FN用含m的式子表示即可； ②先将△AFC的面积用m表示，再由求出AM的长，得AN＝AM＝4，可得S△AFN＝m，由S△APM＝S△APN，，求出S△APM，由S四边形PCFM＝S△AFC﹣S△APM即可求出S四边形PCFM． 【详解】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， 由翻折得，CE＝CD＝4，∠AEC＝∠ADC＝90°， ∴CE⊥AF， ∵AF＝10， ∴S△ACF＝AF•CE＝×10×4＝20． （2）①如图2，作MN⊥AC于点O，交AB于点N，连接FN、PN， ， 由翻折得，∠OAM＝∠OAN， ∵AO＝AO，∠AOM＝∠AON＝90°， ∴△AOM≌△AON（ASA）， ∴OM＝ON，AM＝AN， ∴AC垂直平分MN， ∴PM＝PN， ∴PF+PM＝PF+PN≥FN， ∴当点P落在FN上且FN⊥AB时，PF+PM的值最小，为此时FN的长； 如图3，FN⊥AB于点N，交AC于点P，PM⊥AF， 由S△ABF＝AB•FN＝m，得×12FN＝m， 解得，FN＝m， 此时PF+PM＝FN＝m， ∴PF+PM的最小值为m． ②如图4，当PF+PM取最小值时，FN⊥AB于点N，交AC于点P，PM⊥AF， 设CD＝CE＝a，PM＝PN＝x， ∵AB＝12，AF＝10， ∴， ∴S△AFC＝S△ABF＝m； ∵， ∴AM＝AF＝×10＝4， ∴AN＝AM＝4， ∴BN＝12＝4＝8， ∴， ∴S△AFN＝S△ABF＝m， 由S△APM＝×4x，S△APN＝×4x，得S△APM＝S△APN， 设S△APM＝S△APN＝2n， ∵， ∴S△FPM＝3n， 由S△APN+S△APM+S△FPM＝S△AFN＝m， 得2n+2n+3n＝m， ∴n＝m， ∴S△APM＝2n＝m， ∴S四边形PCFM＝m-m＝m． 【点睛】此题重点考查用面积的方法求线段的比、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质及以求线段的和的最小值问题等知识与方法，解题的关键是正确地理解和运用“阅读理解”中介绍的方法和结论，此题属于考试压轴题． 试卷第2页，共27页 试卷第1页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $