专题5.2 平面向量的数量积 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量数量积专题，涵盖概念及运算律、夹角计算、模长计算等高考核心考点，按“概念-运算-应用”逻辑层次展开。通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题技巧，真题训练强化实战能力，帮助学生系统突破向量数量积的理解与应用难点。 资料突出数学思维与数学语言的培养，如在模长计算教学中，引导学生用数量积公式推导模长公式，发展推理能力；设置基础题、综合题分层练习，配合典型例题解析，确保复习效率。助力学生形成向量问题的解题模型，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题5.2平面向量的数量积 5.2.1 平面向量的数量积的概念及运算律 1.定义：非零向量a与b，它们的夹角为，数量叫做向量a与b的数量积. 2.记法：向量a与b的数量积记作a·b，即a·b；零向量与任一向量的数量积为0. 3.平面向量数量积的运算律 （1）； （2）(为实数)； （3）； （4）两个向量a，b的夹角为锐角且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角且a，b不共线. （5）平面向量数量积运算的常用公式：；；. 例1.已知，，夹角为，求. 例2.若与满足,，则等于( ) A. B. C. D. 例3.设四边形为平行四边形，,.若点满足,，则( ) A. B. C. D. 例4.已知向量,,, . 1.是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为( ) A. B. C. D. 2.正方形的边长是2，是的中点，则( ) A. B. C. D. 3.在中，有以下命题： ①；②； ③若，则为等腰三角形； ④若，则为锐角三角形. 上述命题正确的是( ) A.①② B.①④ C.②③ D.②③④ 4.已知非零向量满足，且，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 5.如图，在四边形中，,,，则的值为( ) A. B. C. D. 6.已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若,，则等于( ) A. B. C. D. 7.若，，且，则= . 8.设向量的夹角的余弦值为，且,，则 . 9.已知，，若与夹角为锐角，求的取值范围. 10.已知，且，求. 11.已知，，且对任意实数，恒成立，求与夹角的取值范围. 12.已知，，与夹角为钝角，求实数的取值范围，使得. 5.2.2 平面向量数量积的夹角计算 1.向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量a，b，是平面上的任意一点，作a，b，则()叫做向量a与b的夹角. （2）性质：当时，a与b同向；当时，a与b反向. （3）向量垂直：如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 2.设向量a，b都是非零向量,为a与b的夹角.则： （1）a⊥ba·b=0. （2）当a与b同向时,a·b=; 当a与b反向时,a·b=; 特别地,a·a或. （3）. （4）. 例1.已知单位向量满足，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 例2.已知非零向量，若与互相垂直，则( ) A. B.4 C. D.2 例3.若非零向量满足，则夹角的余弦值为 . 例4.已知两个单位向量的夹角为，，若，则 . 1.已知非零向量满足，且，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 2.设向量满足，，，，则( ) A.2 B.4 C.5 D.1 3.已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为( ) A. B. C. D. 4.已知均为单位向量，且，则与的夹角大小为( ) A. B. C. D. 5.若向量满足：，，，则 A.2 B. C.1 D. 6.已知非零向量满足，.若，则实数的值为 A.4 B.-4 C. D. 7.若，且，则向量与的夹角为( ) A. B. C. D. 8.已知单位向量满足，则 .           9.已知为单位向量，且，若，则 .   10.已知单位向量的夹角为，与垂直，则 .  5.2.3 平面向量数量积之模长计算 求向量模长，常用公式： 1.. 2.常用展开式 ①. ②. ③（为实数）. 例1.已知，，与的夹角为，求. 例2.已知，，，求. 例3.已知，，，求. 例4.已知，，，，求的取值范围. 1.已知，，且，则= . 2.已知，，且，则= . 3.已知，，，则= . 4.已知，，夹角为，则= . 5.已知，，，则= . 6.已知，，夹角为，则的最小值为 ，此时= . 7.非零向量满足，，，求. 8.已知，，，求. 9.已知，与的夹角，，求取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2平面向量的数量积 5.2.1 平面向量的数量积的概念及运算律 1.定义：非零向量a与b，它们的夹角为，数量叫做向量a与b的数量积. 2.记法：向量a与b的数量积记作a·b，即a·b；零向量与任一向量的数量积为0. 3.平面向量数量积的运算律 （1）； （2）(为实数)； （3）； （4）两个向量a，b的夹角为锐角且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角且a，b不共线. （5）平面向量数量积运算的常用公式：；；. 例1.已知，，夹角为，求. 解：， 两向量垂直，代入得：. 例2.若与满足,，则等于( ) A. B. C. D. 解：由题意得.故选：B. 例3.设四边形为平行四边形，,.若点满足,，则( ) A. B. C. D. 解：因为四边形为平行四边形，点、满足，， ∴根据图形可得：，， ∴，∴， ，，，∴.故选C. 例4.已知向量,,, . 解：由已知可得，因此，.故答案为：. 1.是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为( ) A. B. C. D. 解：设，，∴，， ， ∴.故选：B. 2.正方形的边长是2，是的中点，则( ) A. B. C. D. 解：以为基底向量，可知， 则， 所以.故选：B. 3.在中，有以下命题： ①；②； ③若，则为等腰三角形； ④若，则为锐角三角形. 上述命题正确的是( ) A.①② B.①④ C.②③ D.②③④ 解：对①，，故①错误; 对②，，故②正确; 对③，，所以为等腰三角形，故③正确; 对④，，所以为锐角，但不一定为锐角，故④错误;故选：C. 4.已知非零向量满足，且，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 解：因为，所以，所以，所以，所以与的夹角为.故选B. 5.如图，在四边形中，,,，则的值为( ) A. B. C. D. 解：由题意可得：，解得：， 且， .由可知， 故.故选C. 6.已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若,，则等于( ) A. B. C. D. 解：∵，∴. ∵，，，∵， ∴，即①， 同理可得②，①+②得，故C. 7.若，，且，则= . 解：由垂直得数量积为0：，展开：， 则.故答案为：. 8.设向量的夹角的余弦值为，且,，则 . 解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为， 即，又，，所以， 所以.故答案为：11. 9.已知，，若与夹角为锐角，求的取值范围. 解：夹角为锐角且两向量不共线同向. ，，则，故. 10.已知，且，求. 解：由，两边平方：， ，代入模长：， 解得：. 11.已知，，且对任意实数，恒成立，求与夹角的取值范围. 解：， 代入得：，即对恒成立. 化简：，二次函数恒非负，则，故， 又，得.故与夹角为. 12.已知，，与夹角为钝角，求实数的取值范围，使得. 解：由垂直得：，展开得：. 设夹角为，为钝角， 代入模长：， 可得：， 令，且（排除反向共线） 换元求范围，最终解得：或，故实数的取值范围为. 5.2.2 平面向量数量积的夹角计算 1.向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量a，b，是平面上的任意一点，作a，b，则()叫做向量a与b的夹角. （2）性质：当时，a与b同向；当时，a与b反向. （3）向量垂直：如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 2.设向量a，b都是非零向量,为a与b的夹角.则： （1）a⊥ba·b=0. （2）当a与b同向时,a·b=; 当a与b反向时,a·b=; 特别地,a·a或. （3）. （4）. 例1.已知单位向量满足，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 解：由，得，因为，所以， 设的夹角为，则，所以，又，所以. 故选：C. 例2.已知非零向量，若与互相垂直，则( ) A. B.4 C. D.2 解：因为与互相垂直，∴，即， 所以，所以，即.故选：D. 例3.若非零向量满足，则夹角的余弦值为 . 解：由，得，即， 所以.故答案为：. 例4.已知两个单位向量的夹角为，，若，则 . 解：由可得，，，即，.故答案为：. 1.已知非零向量满足，且，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 解：设与的夹角为，，，又，，，，.故选：C. 2.设向量满足，，，，则( ) A.2 B.4 C.5 D.1 解：由，，，，则， 所以.故选C. 3.已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为( ) A. B. C. D. 解：因为和是单位向量，所以，又因为，所以，所以，所以，又，所以向量与向量的夹角为. 故选：B. 4.已知均为单位向量，且，则与的夹角大小为( ) A. B. C. D. 解：因为，所以，即. ，则， 因为，所以与的夹角大小为. 故选：C. 5.若向量满足：，，，则 A.2 B. C.1 D. 解：由题意易知：，即，所以，即.故选B. 6.已知非零向量满足，.若，则实数的值为 A.4 B.-4 C. D. 解：由，可设，又，所以 ， 所以.故选：B. 7.若，且，则向量与的夹角为( ) A. B. C. D. 解：根据题意，由于，且 ， 结合向量的数量积公式可知，解得其向量的夹角为.故选C. 8.已知单位向量满足，则 .           解：因为，且，所以， 所以，即.又,， 所以.故答案为：. 9.已知为单位向量，且，若，则 .   解：因为，，所以， ，所以，所以. 故答案为：. 10.已知单位向量的夹角为，与垂直，则 .  解：由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：. 5.2.3 平面向量数量积之模长计算 求向量模长，常用公式： 1.. 2.常用展开式 ①. ②. ③（为实数）. 例1.已知，，与的夹角为，求. 解：由模长公式：， 所以， 所以. 例2.已知，，，求. 解：. 例3.已知，，，求. 解：得：，得， 所以. 例4.已知，，，，求的取值范围. 解：方法一：因为，∴，则. 又∵， 由，所以，得. 方法二：几何意义，终点在以终点连线为直径的圆上，故. 1.已知，，且，则= . 解：因为，所以. 故答案为：. 2.已知，，且，则= . 解：两边平方化简：， 得，即，所以.故答案为：5. 3.已知，，，则= . 解：.故答案为：. 4.已知，，夹角为，则= . 解：∵， ∴.故答案为：. 5.已知，，，则= . 解：因为，所以，代入得，解得 所以.故答案为：. 6.已知，，夹角为，则的最小值为 ，此时= . 解：∵，∴，是开口向上的二次函数， 所以当时，取最小值，故.故答案为：，. 7.非零向量满足，，，求. 解：两边平方化简得：，即， 设，则，，所以. 8.已知，，，求. 解：由，得：， 解得：，，. 所以，. 9.已知，与的夹角，，求取值范围. 解：，∴. ∵∴， 所以=. 令，则，解得， 故取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $