5.3 平面向量的数量积及其应用（全国通用）-2027年高考数学一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量数量积及其应用，涵盖夹角、数量积、投影向量、模长、平行垂直及实际应用六大核心考点，按概念-性质-运算-应用逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法归纳、真题演练环节帮助学生突破难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以分层练习和核心素养为特色，如用极化恒等式推导培养数学思维，通过投影向量坐标表示训练数学语言。在考点三夹角问题中设计分类讨论活动，结合基础巩固与综合应用练习，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

5.3 平面向量的数量积及其应用 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是[0，π]. 当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b； 当θ＝0时，a与b共线且同向； 当θ＝π时，a与b共线且反向． 2．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ. 规定：0·a＝0. 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos θ e. 【注意】设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a与b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·. 6．平面几何中的向量方法 (1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． (4)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)． 2．有关向量夹角的两个结论 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线. 考点一　平面向量数量积的运算 考点二　利用数量积求投影向量的问题 考点三　利用数量积求夹角问题 考点四　利用数量积求模长的问题 考点五　向量的平行与垂直问题 考点六　平面向量的实际应用 考点一　平面向量数量积的运算 1．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知和的夹角为60°，且，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为和的夹角为60°，且， 所以. 2．（2026·河南·模拟预测）已知等边的边长为2，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以分别为的三等分点， 因此， ， 所以 . 3．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）平面向量，同向，，，则的坐标是______. 【答案】 【分析】设，结合题意建立关于的方程并求解即可. 【详解】因为与同向，可设； 已知，代入得； 所以，解得； 故的坐标为. 4．（25-26高三上·广西河池·期中）在中，已知点，，，则（     ）． A． B． C．18 D．12 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质结合向量加法及数量积坐标公式计算求解. 【详解】在中，， 已知点，，， 则， 则. 考点二　利用数量积求投影向量的问题 5．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知向量，． (1)求，的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标规则，对应坐标分别运算； （2）根据平面向量夹角的坐标运算公式即可求解； （3）根据投影向量的计算公式即可求解． 【详解】（1）． ． （2）． （3）在上的投影向量为。 6．（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 7．（2026·河南·三模）已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量公式求出，再结合向量的数量积公式与运算律即可求解. 【详解】设， 由题意得，解得， 则. 8．（25-26高三上·江苏泰州·阶段检测）已知，，若与的夹角为，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，然后计算，再求，最后代入投影向量公式求解即可. 【详解】计算：由，得，因此； 计算：根据向量数量积的定义，； 计算：由数量积运算律得 ； 计算投影向量：根据投影向量公式，向量在上的投影向量为，代入得所求投影向量为. 9．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）已知，，，若，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【详解】已知，则，解得， ， 在方向上的投影向量坐标为： ． 10．（25-26高三上·吉林延边·期中）已知向量，且与的夹角为. (1)求； (2)若与平行，求实数的值； (3)求与上的投影向量. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，结合模的计算公式，即可求解； （2）先求得，且，结合与平行，列出方程，即可求解； （3）根据题意，结合向量的投影向量的公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得且， 又因为与的夹角为，可得， 解得或， 因为，所以，所以， 则，所以. （2）解：因为， 所以，， 又因为与平行，所以，解得. （3）解：因为，可得， 可得，且， 所以在上的投影向量为. 考点三　利用数量积求夹角问题 11．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）若平面向量模长相等，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将给定向量等式变形后两边平方，结合三个向量模长相等的条件，利用向量数量积运算及夹角公式求解余弦值． 【详解】设。 由， 等式两边同时平方，， 等式两边同时除以，． 12．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量与的夹角为，设，. (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可； （2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解. 【详解】（1）由题意， 因为，，所以 所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以最小值是； （2）因为，， 所以， 设，共线，即设， 因为向量与不共线， 所以，解得， 若与的夹角为钝角， 则，且， 解得的取值范围是. 13．（25-26高三上·广东广州·期中）已知非零向量，满足在方向的投影向量是，且，则与的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与的夹角为，. 由，得，即， 因为为非零向量，故. 又在方向的投影向量为，故， 即， 解得，结合，得. 14．（25-26高三上·四川泸州·期中）已知平面向量，． (1)求和； (2)求向量与的夹角． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算以及模长的坐标公式即可求解； （2）根据平面向量夹角的坐标公式结合数量积的坐标公式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， ，所以. （2），                                             ，                                             ，，                               设向量与的夹角为，则，                 又因为，所以. 15．（2026·河南·三模）已知向量，，，若与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】分别根据两组向量夹角为钝角的要求，列数量积小于0且排除共线反向的不等式，取交集得到t的取值范围. 【详解】由可得， 由得：，此时与的夹角为. 所以若与的夹角为钝角，则. 因为， 由，得， 由，得，此时与方向相同， 所以若与的夹角为钝角，则. 所以与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则. 16．（25-26高三上·宁夏银川·期中）已知求： (1)； (2)； (3)与的夹角的余弦值． 【答案】(1)6 (2)54 (3) 【分析】（1）先求出的坐标，根据求模公式，即可得答案. （2）求出的坐标，根据数量积公式，代入求解，即可得答案. （3）根据向量夹角公式，代入计算，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 则. （2）， 所以. （3），， 所以， 则与的夹角的余弦值为. 考点四　利用数量积求模长的问题 17．（25-26高三上·重庆·期中）已知非零向量，，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件用表示，再根据，求出的取值范围，进而求出的范围，得到答案. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 因为， 所以，解得， 又 ， 所以，所以. 18．（2026·广东广州·三模）已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则__________． 【答案】 【分析】利用投影向量的定义求出，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为在方向上的投影向量为，即， 所以，则， 故. 19．（25-26高三上·河北唐山·期末）在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，分析可知为的中点，即可求出的长. 【详解】在中，，，，则， 因为， 则 ， 整理可得，解得或， 当时，则，此时点为的中点， 由题意可知点为线段与的交点，即点与点重合，不符合题意， 当时，，由题意可知，四边形为矩形， 因为为线段与的交点，则为的中点， 故， 故选：B. 20．（25-26高三上·海南·期中）已知向量,，则向量在方向上的投影向量的模长为（    ） A． B．3 C． D．−3 【答案】B 【分析】由投影向量的计算公式，结合模长的坐标表示，即可求解. 【详解】由条件可得， 故向量在方向上的投影向量为， 所以模长为. 21．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知向量，满足，，．则______． 【答案】 【详解】因为，所以 ， 所以. 22．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知向量，若，则（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量坐标加减法运算，向量垂直坐标表示，以及向量模的坐标公式分析计算即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，即，解得：， 所以，所以， 所以. 考点五　向量的平行与垂直问题 23．（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为， 所以，， 因为且， 所以且，解得. 24．（25-26高三上·辽宁鞍山·期中）已知向量，，且，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由，得，即，解得. 25．（2026·山东烟台·二模）已知向量，，若，则（   ） A．-2 B．-4 C．-6 D．-8 【答案】C 【详解】由已知得，， 因为，所以， 则，即，解得. 26．（2026·山东青岛·三模）已知，，，则（     ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】通过向量线性运算求出和向量的坐标，利用垂直向量的数量积为零建立方程，求解参数的值. 【详解】由向量线性运算，得. 由，得，即， 化简得，解得. 27．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，向量，，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．0或 【答案】A 【详解】由题设，又，， 所以， 由，所以 28．（25-26高三上·重庆·期中）已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，， 则； （2）因为， 所以， 得 考点六　平面向量的实际应用 29．（25-26高三·全国·一轮复习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ，则以下结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．θ的范围为 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则、数量积公式，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】如图，对于A，当、方向同向时，有，此时取得最小值，且最小值为，故A正确； 对于B，当时，有，行李包不会处于平衡状态，即，故B错误； 对于C，当行李包处于平衡时，，若，则有，变形得，，即，故C正确； 对于D，若，则有，变形可得，故D正确. 30．（25-26高三上·河北邯郸·期中）如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600 m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】设船速为，水速为，船的合速度为， 则，即，解得， 因为，所以， 则船的合速度为， 则过河需要的时间为. 31．（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】先通过相对运动分别求传令兵往返时间，得到总时间表达式，再结合队伍前进距离建立时间关系，解出，最后代入目标式，用基本不等式求最小值． 【详解】已知传令兵的行进速度为， 则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为， 则往返共用时间，即①， 由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②， 由①②得，解得，（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立． 32．（25-26高三上·浙江·期中）（多选）两名同学共提一个旅行包，作用在旅行包上的拉力分别为，，已知，旅行包所受的重力为，.设，的夹角为，则下列说法正确的是（   ） A．当越小时，越大 B．的最小值大于 C．当时， D．当时，与夹角的余弦值为 【答案】BC 【分析】由，通过平方结合，，再逐项判断即可. 【详解】由两名同学提包时受力平衡，因此 ， 两边取模平方得： ， 设 ，由题设 ，， 代入整理得： ， 选项A：越小，越大，分母 越大，因此 越小，A错误； 选项B：因为， 因此 的最小值为： ， 而 ，且，B正确； 选项C：当 ，，代入得： ， 因此 ，C正确， 选项D：当 ，设 与 的夹角为 ， 则，​​ D错误. 1．（25-26高三上·江西新余·阶段检测）已知平面向量，满足，，则在上的投影数量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影数量的公式结合条件即可求解. 【详解】由题意得在上的投影数量为. 2．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量，互相垂直，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据向量数量积的运算律求解即可. 【详解】因为向量，都为单位向量且互相垂直， 所以，，， 所以. 所以. 3．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知平面向量，，若，则（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】根据向量数乘与加法的坐标运算法则，计算的坐标，进而结合垂直向量的数量积为0建立关于的方程并求解. 【详解】由，，可得：， 所以. 由，得：， 代入坐标计算：， 解得. 4．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知向量，满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和两边分别平方，解方程组即得的值. 【详解】由，得，即，① 由，得，即，② 由①②得. 5．（2026·山东济南·模拟预测）设向量，满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过平方的方法，结合完全平方公式和向量数量积运算律计算求解. 【详解】因为， ， 所以. 6．（2026·福建泉州·模拟预测）设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量等式推出外心是中点，因此为直径，角为直角，再由线段相等得出是等边三角形，从而确定各角大小，最后利用几何关系算出向量投影，得到结果. 【详解】如图所示，由知，为中点，即为外接圆直径， 故，为直角三角形. 又，且为中点，故，为等边三角形，，. 过点作，垂足为点，则向量在向量上的投影向量为， 又因为点为线段的中点，则，向量在向量上的投影向量为.    7．（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因，，， 则， 代入可得即．解得． 8．（25-26高二下·云南大理·期中）已知非零向量，满足，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用向量垂直的条件可计算出，再利用夹角公式即可求解. 【详解】 设与的夹角为，，， ，， 又，. 9．（25-26高三上·四川泸州·期中）（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量为 D．若向量满足，则 【答案】ABC 【分析】根据模的坐标表示即可判断A；根据向量夹角的坐标表示即可判断B；根据投影向量的定义即可判断C；根据向量平行的坐标关系可判断D. 【详解】对于A，，，则.所以A正确； 对于B，，则与的夹角为.所以B正确； 对于C，由B可知，，则在方向上的投影向量为.所以C正确； 对于D，，若，也满足，但.所以D错误. 10．（25-26高三上·福建泉州·期中）（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．若与是共线向量，则点、、共线 B．若为非零向量，则与反向 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】对于A，∵ 与为共线向量，且两向量有公共端点，则、、共线，故A正确. 对于B，∵ 为非零向量，，的方向与的方向相同，不可能反向，故B错误. 对于C，当、均为非零向量时，等价于两向量夹角为，即； 根据教材规定，零向量与任意向量的数量积为0，且零向量与任意向量垂直， ∴ 对任意向量、，若，则，故C正确. 对于D，因相等向量的大小与方向均相同，由 ，，可得，故D正确. 11．（2026·湖北·模拟预测）（多选）已知点，，，，则（    ） A．三点共线 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据向量共线判断即可；对于B，根据向量的模的坐标表示求解即可；对于C，根据垂直关系的向量表示求解即可；对于D，根据向量夹角的计算公式求解即可. 【详解】对于A，，，又为公共点，所以三点共线，故A正确. 对于B，，，所以，故B错误. 对于C，，所以，即，故C正确. 对于D，，，所以，故D正确. 12．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期中）（多选）已知平面向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【分析】利用向量垂直时的坐标公式判断选项A；根据已知条件，利用向量线性运算的坐标形式，建立等量关系判断选项；根据投影向量的公式，代入坐标求值即可判断选项；根据向量夹角为锐角可得数量积大于，验证共线时的的取值，即可判断选项. 【详解】解：选项A，， ， 又，，， 解得，A正确； 选项B，，， ，解得，B正确； 选项C，在上的投影向量为，则，所以， 代入坐标得，化简得，易知方程无解，C错误； 选项D，与夹角为锐角，，解得， 若与共线，则，解得， 而当时，取不到，因此与夹角为锐角时，，正确. 13．（25-26高三上·上海·期中）已知向量，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________________． 【答案】 【分析】先计算出与的坐标，利用两向量夹角为锐角等价于两向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式求解后取交集得到的取值范围. 【详解】已知，，则 ，， 由，可得，整理得，解得， 又两向量共线满足坐标关系 解得，此时，需舍去， 综上，的取值范围是. 14．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知向量、满足，若为单位向量，则_________． 【答案】/ 【分析】由条件平方求出. 【详解】由已知，故 由两边平方得， 所以. 15．（2026·河北邢台·三模）已知向量满足，且，则_______________. 【答案】 【详解】∵ ，对等式两边同时平方得. 展开得①， ∵， ∴， 展开得， 整理得②， 将①中的代入②，得， 即，解得， ∴ 16．（25-26高三上·浙江·阶段检测）若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示） 【答案】 【分析】由投影向量计算公式结合题设可得答案. 【详解】根据投影向量定义知：在上的投影向量为. 17．（25-26高三上·上海·期中）已知向量，夹角为，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)10 (2)17 (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义计算．（2）利用数量积的分配律展开，再代入、及的值．（3）先求，再根据向量的模为非负数求出． 【详解】（1）由平面向量数量积的定义，得. 所以. （2）由数量积的分配律及，得. 因此. 代入已知条件，得. （3）因为 所以. 所以. 因为向量的模为非负数，所以 18．（25-26高三上·江西新余·阶段检测）已知三个点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若四边形是等腰梯形，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用向量夹角的计算公式； （2）运用向量平行的相关条件加上等腰梯形求出具体坐标. 【详解】（1）因为， ， ， ， ， 所以． 故向量与的夹角为． （2）设点D的坐标为， 则，． 由题意得，，，则， 解得，故点D的坐标为． 19．（25-26高三上·天津宝坻·期中）已知向量，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)若与垂直，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量，且与的夹角为，利用数量积的定义求解； （2）由求解； （3）根据与垂直，由求解. 【详解】（1）因为向量，且与的夹角为， 所以； （2）因为向量，且， 所以， ； （3）因为与垂直， 所以， ， 解得. 20．（25-26高三上·江西·阶段检测）如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，． (1)用，分别表示向量，； (2)求； (3)求的大小． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合和为三等分点的条件，将用表示，再通过向量加法得到和. （2）先由已知条件计算 和，再利用向量模长公式计算 . （3）利用向量夹角公式，先计算和，再求出 ，进而得到 . 【详解】（1）因为，所以，， 因为点D，E分别为边AC上的三等分点，所以，， 所以，． （2）由可知，的夹角为， 所以， 由（1）知，， 所以. （3）由图形可知，的大小等于与的夹角， 由（1）（2）可得，， ， 所以， 又，则，故． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 平面向量的数量积及其应用 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是[0，π]. 当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b； 当θ＝0时，a与b共线且同向； 当θ＝π时，a与b共线且反向． 2．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ. 规定：0·a＝0. 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos θ e. 【注意】设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a与b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·. 6．平面几何中的向量方法 (1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． (4)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)． 2．有关向量夹角的两个结论 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线. 考点一　平面向量数量积的运算 考点二　利用数量积求投影向量的问题 考点三　利用数量积求夹角问题 考点四　利用数量积求模长的问题 考点五　向量的平行与垂直问题 考点六　平面向量的实际应用 考点一　平面向量数量积的运算 1．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知和的夹角为60°，且，则（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（2026·河南·模拟预测）已知等边的边长为2，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）平面向量，同向，，，则的坐标是______. 4．（25-26高三上·广西河池·期中）在中，已知点，，，则（     ）． A． B． C．18 D．12 考点二　利用数量积求投影向量的问题 5．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知向量，． (1)求，的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量． 6．（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南·三模）已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏泰州·阶段检测）已知，，若与的夹角为，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）已知，，，若，则在方向上的投影向量的坐标为______． 10．（25-26高三上·吉林延边·期中）已知向量，且与的夹角为. (1)求； (2)若与平行，求实数的值； (3)求与上的投影向量. 考点三　利用数量积求夹角问题 11．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）若平面向量模长相等，且，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量与的夹角为，设，. (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围. 13．（25-26高三上·广东广州·期中）已知非零向量，满足在方向的投影向量是，且，则与的夹角是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·四川泸州·期中）已知平面向量，． (1)求和； (2)求向量与的夹角． 15．（2026·河南·三模）已知向量，，，若与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则的取值范围为_____. 16．（25-26高三上·宁夏银川·期中）已知求： (1)； (2)； (3)与的夹角的余弦值． 考点四　利用数量积求模长的问题 17．（25-26高三上·重庆·期中）已知非零向量，，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（2026·广东广州·三模）已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则__________． 19．（25-26高三上·河北唐山·期末）在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·海南·期中）已知向量,，则向量在方向上的投影向量的模长为（    ） A． B．3 C． D．−3 21．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知向量，满足，，．则______． 22．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知向量，若，则（     ） A．3 B． C． D． 考点五　向量的平行与垂直问题 23．（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·辽宁鞍山·期中）已知向量，，且，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D． 25．（2026·山东烟台·二模）已知向量，，若，则（   ） A．-2 B．-4 C．-6 D．-8 26．（2026·山东青岛·三模）已知，，，则（     ） A． B．1 C．2 D．4 27．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，向量，，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．0或 28．（25-26高三上·重庆·期中）已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值． 考点六　平面向量的实际应用 29．（25-26高三·全国·一轮复习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ，则以下结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．θ的范围为 C．当时， D．当时， 30．（25-26高三上·河北邯郸·期中）如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600 m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 31．（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 32．（25-26高三上·浙江·期中）（多选）两名同学共提一个旅行包，作用在旅行包上的拉力分别为，，已知，旅行包所受的重力为，.设，的夹角为，则下列说法正确的是（   ） A．当越小时，越大 B．的最小值大于 C．当时， D．当时，与夹角的余弦值为 1．（25-26高三上·江西新余·阶段检测）已知平面向量，满足，，则在上的投影数量为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量，互相垂直，则（    ） A． B．4 C． D．2 3．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知平面向量，，若，则（    ） A． B．4 C． D．3 4．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知向量，满足，，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山东济南·模拟预测）设向量，满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 6．（2026·福建泉州·模拟预测）设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（25-26高二下·云南大理·期中）已知非零向量，满足，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·四川泸州·期中）（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量为 D．若向量满足，则 10．（25-26高三上·福建泉州·期中）（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．若与是共线向量，则点、、共线 B．若为非零向量，则与反向 C．若，则 D．若，，则 11．（2026·湖北·模拟预测）（多选）已知点，，，，则（    ） A．三点共线 B． C． D． 12．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期中）（多选）已知平面向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 13．（25-26高三上·上海·期中）已知向量，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________________． 14．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知向量、满足，若为单位向量，则_________． 15．（2026·河北邢台·三模）已知向量满足，且，则_______________. 16．（25-26高三上·浙江·阶段检测）若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示） 17．（25-26高三上·上海·期中）已知向量，夹角为，求： (1)； (2)； (3). 18．（25-26高三上·江西新余·阶段检测）已知三个点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若四边形是等腰梯形，且，求点D的坐标． 19．（25-26高三上·天津宝坻·期中）已知向量，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)若与垂直，求的值． 20．（25-26高三上·江西·阶段检测）如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，． (1)用，分别表示向量，； (2)求； (3)求的大小． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $