精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三下学期6月高考全真模拟数学试卷

2026届华二附中高考全真模拟数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则________． 2. 已知函数，则的定义域是________． 3. 已知幂函数的图象过点，则__________. 4. 已知，则________． 5. 已知的展开式中，的系数是．则实数_________． 6. 已知事件与事件相互独立，如果，，________． 7. 已知，，则的取值范围是________． 8. 在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 9. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 10. 在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段上靠近点的三等分点，则________. 11. 如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…，前个半圆面积的总和，则_______． 12. 现有8个外观相同的逻辑信号模块（分别编号为1至8，视为8个不同的元素），其中，有且仅有2个模块内部的信号流向为“向左”，记其特征值为-1，其余6个模块的信号流向“向右”，记其特征值为+1．现将这8个模块全部分配到、两个不同的运行系统中，系统中的模块无需排序，且必须同时满足以下两个条件： ①系统的特征值之和的绝对值与系统的特征值之和的绝对值相等（一个系统的特征值之和定义为该系统内所有模块的特征值相加）； ②系统中必须至少包含一个信号流向为“向左”的模块． 符合条件的分配方案共有________种． 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查某中学高一（1）班30名同学的视力情况 B. 虹桥高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检 C. 为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D. 调查上海市中学生的周末作业完成时间 14. 一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 16. 命题：已知为无穷数列，对于任意正整数，若令首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数． 命题：且的公差为； 命题：数列的通项公式为． 则下列说法正确的是（ ）． A. 、都是的充分条件 B. 只有是的充分条件 C. 只有是的充分条件 D. 、都不是的充分条件 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 设函数，． （1）若，求函数的所有单调区间； （2）若方程有两个虚根和，且．求的值． 18. 如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，平面与平面夹角的余弦值为，求该三棱柱的体积. 19. 信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为，经典信道完成信息匹配的概率为，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败． （1）求该系统单次有效密钥分发成功的概率； （2）若该系统独立进行次密钥分发，记为有效分发成功的次数，求的数学期望； （3）科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率（单位：）服从正态分布．若准确率不低于为“最优传输”，估算次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数． 附：若，则，，． 20. 已知抛物线的焦点为． （1）求点到抛物线准线的距离； （2）若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； （3）设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 21. 设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”． （1）若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； （2）若函数具有性质，且在上严格增，证明：； （3）若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有．证明：具有该性质的函数是唯一的，并写出其解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届华二附中高考全真模拟数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则________． 【答案】 {4,5} 【解析】 【详解】由题意，. 2. 已知函数，则的定义域是________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，得，即， 则的定义域是. 3. 已知幂函数的图象过点，则__________. 【答案】27 【解析】 【分析】将点代入幂函数解析式（含参），求得参数值，即得函数表达式，由此即可求解. 【详解】设，将点代入得，解得， 所以. 故答案为：27 4. 已知，则________． 【答案】 3 【解析】 【详解】由，则 5. 已知的展开式中，的系数是．则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得，进而即得． 【详解】∵的展开式通项为 ， 令，可得， 所以的系数等于， 解得. 故答案为：． 6. 已知事件与事件相互独立，如果，，________． 【答案】## 【解析】 【详解】由，得， 因为事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立， 所以. 7. 已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质来确定的取值范围. 【详解】，，又因为， ，即． 8. 在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为复数，，，所对应的点分别是，，， 所以，，， 即，，， 所以 由，所以， 解得，因此. 9. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 10. 在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段上靠近点的三等分点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系, 利用向量的坐标使几何问题代数化,根据向量的坐标运算得到结果. 【详解】以为坐标原点，所在射线为轴，建立平面直角坐标系如图所示. 设，则，， ， ， 而，故. 11. 如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…，前个半圆面积的总和，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】 设以为圆心的圆与AB相切于点，连接， 易得与相似，则有， 又，，所以，代入可得，解得. 同理可得，即，解得，依次可求得， 因为，所以是以为首项，以为公比的等比数列， 则是以为首项，以为公比的等比数列， 前n个半圆面积的总和为， . 12. 现有8个外观相同的逻辑信号模块（分别编号为1至8，视为8个不同的元素），其中，有且仅有2个模块内部的信号流向为“向左”，记其特征值为-1，其余6个模块的信号流向“向右”，记其特征值为+1．现将这8个模块全部分配到、两个不同的运行系统中，系统中的模块无需排序，且必须同时满足以下两个条件： ①系统的特征值之和的绝对值与系统的特征值之和的绝对值相等（一个系统的特征值之和定义为该系统内所有模块的特征值相加）； ②系统中必须至少包含一个信号流向为“向左”的模块． 符合条件的分配方案共有________种． 【答案】55 【解析】 【分析】根据组合知识，结合分类计数原理求解即可. 【详解】由题意知，8个模块总特征值为：. 设系统特征值之和为，则系统的特征值之和为， 由条件①知，，解得. 设系统中有个向左模块，结合条件②可得，或. 当时，则系统中有1个向左模块，3个向右模块，方案数：； 当时，则系统中有2个向左模块，4个向右模块，方案数：； 所以总方案数为：. 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查某中学高一（1）班30名同学的视力情况 B. 虹桥高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检 C. 为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D. 调查上海市中学生的周末作业完成时间 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查的特点，它适用于总体较大、全面调查不经济或不现实的情况，分析选项即可. 【详解】对于A，调查某中学高一（1）班30名同学的视力情况，总体较小（仅30人），容易进行全面调查，不适合抽样调查，故A错误； 对于B，安检涉及安全风险，必须对每位旅客进行全面检查，不适合抽样调查，故B错误； 对于C，飞机零部件检查要求全面性，任何遗漏都可能造成安全事件，不适合抽样调查，故C错误； 对于D，调查对象是全市范围的中学生，总体较大，适合抽样调查，故D正确. 14. 一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正方体的展开图还原，即可根据正方体的性质逐一求解. 【详解】以所在平面作为下底面还原，还原成如图所示的正方体， 由图可得与异面，A错误． 显然B正确． 与异面，C错误． 连接，则为等边三角形，D错误． 15. 已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，使得点为的最高点或最低点，再利用正弦型函数性质计算即可得. 【详解】当时，， 若的图象在点处的切线与轴平行， 则点为的最高点或最低点， 由，要使得最小，则或， 分别解得或，由，故的最小值是. 16. 命题：已知为无穷数列，对于任意正整数，若令首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数． 命题：且的公差为； 命题：数列的通项公式为． 则下列说法正确的是（ ）． A. 、都是的充分条件 B. 只有是的充分条件 C. 只有是的充分条件 D. 、都不是的充分条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合递推关系及充分条件的定义，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数， 若数列最终为常数，则，解得，即最终稳定为. 命题：且的公差为，所以， 取，则，则，， ，，从起恒为. 取任意正整数，， 递推过程中数值会逐渐减小，最终都会到达并保持， 所以，是的充分条件. 命题：，对，，且， 递推得，， ，， 数列在和之间循环，不会稳定为同一常数， 不满足命题，所以推不出，不是的充分条件. 综上，只有是的充分条件. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 设函数，． （1）若，求函数的所有单调区间； （2）若方程有两个虚根和，且．求的值． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）代入得，求导后判断导函数符号，确定单调区间. （2）由虚根知判别式，利用韦达定理列方程求解，并验证判别式条件. 【小问1详解】 当时，，则，定义域为. 求导得. 令得. 当时，，故；当时，. 因此在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 方程有两个虚根，故判别式， 整理得，解得或. 设两根为，则，. ，解得或. 因为或，所以排除，即. 18. 如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，平面与平面夹角的余弦值为，求该三棱柱的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，利用平行公理，结合平行四边形的判定性质证得，再利用线面平行的判定性质、面面垂直的判定推理即得. （2）取中点，利用面面平行的判定证得平面平面，再利用二面角大小求出正三棱柱的高。进而求出体积. 【小问1详解】 在正三棱柱中，取中点，连接， 由是中点，得，而是中点， 则，四边形平行四边形，， 由平面平面，得，而， 又平面，于是平面， 因此平面，而平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面，平面，则平面， 取中点，连接，则，而平面，平面， 则平面，又平面，于是平面平面， 平面与平面的夹角等于平面与平面的夹角， 由平面，平面，得， 则是平面与平面的夹角，，， 于是，而，则， 所以正三棱柱的体积. 19. 信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为，经典信道完成信息匹配的概率为，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败． （1）求该系统单次有效密钥分发成功的概率； （2）若该系统独立进行次密钥分发，记为有效分发成功的次数，求的数学期望； （3）科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率（单位：）服从正态分布．若准确率不低于为“最优传输”，估算次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数． 附：若，则，，． 【答案】（1） （2） （3）次密钥分发中，“最优传输”次数约为 【解析】 【分析】（1）根据两个信道工作相互独立，利用独立事件同时发生的概率乘法公式，将量子信道成功概率与经典信道匹配概率相乘，即可得到单次有效密钥分发成功的概率； （2）单次有效密钥分发成功的概率固定，次独立重复试验中成功次数服从二项分布，直接套用二项分布数学期望公式计算即可； （3）先由正态分布参数算出均值与标准差，将 “准确率不低于” 转化为正态分布中的概率，利用正态分布的对称性和，求出对应概率后乘以总次数，估算出“最优传输”的次数． 【小问1详解】 设 “量子信道成功密钥生成”为事件，“经典信道完成信息匹配” 为事件， 由题意得，，且与相互独立， 所以该系统单次有效密钥分发成功的概率； 【小问2详解】 由题意得，，所以； 【小问3详解】 由题意得，，则，， 因为“最优传输”要求，即， 所以， ， 所以次密钥分发中，“最优传输”的次数约为． 20. 已知抛物线的焦点为． （1）求点到抛物线准线的距离； （2）若过点直线交抛物线于、两点，求的最小值； （3）设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 分析】（1）求出角度坐标和准线方程，再求解距离即可. （2）对直线斜率是否存在进行讨论，再结合焦半径公式求解最值即可. （3）利用中点坐标公式并结合题意表示出距离，再利用平面向量数量积的坐标表示得到或，最后分类讨论得到最值即可. 【小问1详解】 由题意得，准线方程为， 则点到抛物线准线的距离为. 【小问2详解】 当斜率不存在时，直线方程为， 设，，联立方程组， 解得，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，由焦半径公式得， 综上可得，的最小值为. 【小问3详解】 如图，作出符合题意的图形， 设直线方程为，设，， 联立方程组，可得， 可得，由韦达定理得， 设线段中点为，由中点坐标公式得， 由题意得线段中点到轴的距离为 ， 而，而， 得到，而， 可得，解得或， 当时，满足，此时， 当时，此时， 解得，此时， 综上可得，线段中点到轴的距离的取值范围为. 21. 设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”． （1）若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； （2）若函数具有性质，且在上严格增，证明：； （3）若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有．证明：具有该性质的函数是唯一的，并写出其解析式． 【答案】（1）， （2）假设存在实数，使得，分两种情况讨论: 若，结合函数严格增，可得， 再由，代入得，整理可得，与矛盾； 若，因为严格增，可得， 结合，代入得，整理可得，与矛盾， 综上可知，假设不成立，即对任意的，都有，得证. （3）已知对所有成立，令，即，, 则， 代入,可得， 化简得：， 对任意，构造数列满足. 由可知，， 则数列为等比数列，则， 所以，若， 则当时，，与矛盾，因此必须有， 即对任意的，，故，其函数唯一. 【解析】 【分析】（1）由函数新定义列出方程，利用对应系数相等即可求出； （2）由反证法结合严格增函数的性质推导，分与两种情况讨论； （3）利用函数的递推，求证与矛盾，即可求解. 【小问1详解】 因一次函数具有性质， 则， 则可得：，解得或， 因为，所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $