山东泰安肥城市2026届高考适应性测试（三）数学试题

**基本信息** 2026年高考适应性训练数学试题（三）以核心知识为载体，通过双曲线光学性质、圆台圆柱模型等创新情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数方程、线面关系、函数图像、向量运算、概率计算、几何体体积、双曲线性质、函数零点|第7题结合双曲线光学性质，考查数学眼光与几何直观| |选择题（多选）|3/18|统计量、事件独立性、回归方程、数列单调性、函数奇偶性与单调性|第9题综合统计知识，考查数据分析与逻辑推理| |填空题|3/15|二项式定理、数列积、轨迹方程|第14题动点轨迹与圆的位置关系，体现空间观念| |解答题|5/77|概率分布与期望、解三角形、抛物线综合、导数应用、立体几何体积与外接球|第19题五面体体积最值与外接球问题，考查综合应用与创新意识|

2026年高考适应性训练 数学（三）参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D C D B C B 解析： 1. 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，所以且，解得，， 所以．故选：D． 2. 选项A：若， ，则直线与平面内的直线可能平行，也可能异面. 因此，选项A错误. 选项B：若 ， ，根据“垂直于同一个平面的两条直线平行”这一性质定理，可知．因此，选项B正确． 选项C：若，，则平面与可能平行，也可能相交. 例如，若直线平行于两个相交平面的交线，则同时平行于这两个平面，但这两个平面是相交的．因此，选项C错误． 选项D：若 ， ，则直线可能平行于平面，也可能在平面内（）,因此，选项D错误． 故选：B 3. 因为， 是奇函数，排除A、B； 又因为当时，，所以，即图象在轴上方， 所以排除C； 综上可得，D符合题意. 4．选项A：，若， 则，解得，因此，选项A错误； 选项B：若，则，解得,因此，选项B错误； 选项C：，在上的投影向量为，因此，选项C正确； 选项D：， 故，当时，，因此，选项D错误. 故选：C 5. 设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子记为事件，种子为二等种子记为事件 根据题目条件可知，，，， ( N M C F D A B E )根据全概率公式，可得，解得. 故选：D. 6. 作出该模型的轴截面，如图所示，四边形是 等腰梯形，四边形是矩形，其中，分 别过两点作的垂线，垂足分别为，则，所以．因 为上底的直径是下底直径的倍，所以， 解得． 又圆柱的高是圆台高的倍，所以．设圆台上底半径为，下底半径为，则，，所以圆台的体积为， 圆柱的体积为， 所以该模型的容积为． 故选：B． 7. 因为双曲线的离心率为，可得双曲线为等轴双曲线，即有，， 设双曲线的方程为，再设，则 ① 又因为，则， 由，可得 ② ①②联立可得，则， 所以 故选: C． 8. ， ， 故关于原点对称，又，且恰有个零点， 所以当时，恰有个零点，当时，恰有个零点， 当时，， ， 时，， 当且时，即有2个解， 令， ，恒成立， 所以时，，单调递减， 且，，， ，，， 故时，有个交点， 即若恰有个零点，则实数的取值范围是． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD AD ABD 解析： 9．选项A：上四分位数的位置为，故上四分位数为第个数，因此，选项A错误； 选项B： 若事件相互独立， 则，若事件互斥， 则，矛盾，故事件相互独立与互斥不能同时成立，因此，选项B正确， 选项C：由回归方程，得， 所以，所以，因此，选项C错误； 选项D：分层抽样方差公式为，， 因此，选项D正确． 故选: BD 10. 选项A：,, 由是递增数列，得； 由， 可得，所以，因此，选项A正确； 选项B：，因此，选项B错误； 选项C：，，则，，由是递增数列， 得，由可得，解得，因此，选项C错误； 选项D：由，可得，则， 即数列和均为公比为的等比数列， 所以 ， 所以，又，所以， 而， 当时，； 当时，可验证， 所以对于任意的，都有，即，因此，选项D正确． 故选：AD． 11. 选项A：令，则，因此，选项A正确； 选项B：令，则， 由A可知：， 所以函数为奇函数，因此，选项B正确； 选项C：由， 令， 则 不妨设，则，则. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 因此，选项C错误； 选项D：令，可得：由得：， 又，所以是以为首项，以 为公差的等差数列. 所以，因此，选项D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共15 分。 12. 13． 14. 解析： 12． 又通项为，. 不存在的值使得，所以的展开式中没有常数项； 当且仅当时，的展开式可取到常数项， 则的常数项为. 综上所述：的展开式中常数项为. 13． 则，代入， 化简得：，则. 14. 以所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，设，则，，，， 因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 又因为点始终在以为圆心， 为半径的圆外，则圆和圆外离或者内含， 即或者，解得或， 又由已知，则的范围是. 四、解答题：本题共5小题，共 77分。 15. 解：（1）按分层抽样的方法抽取的 人中， 年龄在内的人数为人， 年龄在内的人数为人， 年龄在内的人数为人. …………………………2分 所以的可能取值为， 所以， ， ， ……………………………………………………5分 所以的分布列为 0 1 2 ……………………………………………6分 （2）设在抽取的 名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布. 由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为， …………………………………………………7分 所以， ……………………………………………………8分 所以. 解法一： 设， …………………………………………………………12分 若，则，； 若，则，. 所以当时，最大，即当最大时，……………………………13分 解法二： 设为最大值 则由题意得 即 ……………………………12分 解的，又， 所以当时，最大，即当最大时，………………………13分 16. 解：（1）， ，……………………………………1分 ， ， ……………………………………………2分 ， ， 即， ……………………………………………………………………4分 ， ， ， 解得； …………………………………………………………………………6分 （2）， 由余弦定理，，即. …………………7分 由基本不等式，， 即， …………………………………………9分 当且仅当时，等号成立 ……………………………10分 解法一： ，两边取平方，可得： ， …………………13分 ………………………………………………14分 取得最大值为 …………………………………………………………15分 解法二： ……………………13分 …………………………………………………14分 取得最大值为 ……………………………………………………15分 解法三： …………………13分 ………………………………………………14分 取得最大值为 …………………………………………………15分 17．解：（1）设直线的方程为， 联立方程组，得到， 因为直线PQ与抛物线相切，所以，解得， ………………2分 此时，代入抛物线中得， 由抛物线定义得． …………………………………………5分 （2）由题意得直线的方程为， 如图，设，，连接， 联立方程组，得到，则． ………………6分 ，且，， ，解得， ……………………………………………………9分 当时，，，， 联立方程，得到，则， ……………12分 因为点为的重心，所以， …………………………………14分 同理当时，，综上所述． …………………15分 18.解：（1） 令，得 …………………………………………………………1分 ①当，即时，恒成立， 此时在区间上单调递增 ……………………………………………… 2分 ②当，即时，恒成立， 此时在区间上单调递减 , …………………………………………… 3分 ③当，即时，在区间上单调递减, 在区间上单调递增,的最大值为与中的较大者. …………………………… 4分 当时, , 当时, , 当时, ……………………… 6分 综上所述：当时, 当时, ………………………………7分 （2） 由题意： ………………………… 8分 令, 则在上单调递减，且，, …………9分 所以存在唯一的, 使得, 即. 当时，，，单增, 当时，，，单减, ………………………………10分 ， ………………… 12分 由题意， 令，则 ……………………………………………13分 又因为 在定义域内为增函数, ，,， 即，解得,， …………………………………… 16分 所以的取值范围为 ……………………………………………………… 17分 19. 解：（1）互相垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为建立空间直角坐标系.则 设，则，由得 解得， 所以， ……………………………… 2分 设平面的法向量为，可得, 则，不妨令， 解得，所以得 ……………………………………………4分 同理可得：平面的法向量为 二面角的余弦值为 ……………………………………………5分 （2）（i）先考虑底面，连接，, 又相乘得， 同理， , 同理, 相加得, ………………8分 下面考虑体积 当时，，. 当时， ………………………………………………………10分 （ii）令 则 单调递增，时最大， 令， 所以上单调递减，所以， 综上当时，最大. 分别为的中点， …………………………………………12分 设 因为是边长为的正方形，所以中点 即为外接圆圆心且半径为， 设, 球心，则 即， 即，， …………………15分 球半径，最小为， 当且仅当时 取得最大值， …………………………………17分 2026年高考适应性训练数学（三）参考答案 第14页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型:A 2026年高考适应性训练 数 学 试 题 （三） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设复数是关于的方程（）的一个根，则 A. B. C. D. 2. 已知直线，平面，下列命题中正确的是 A. 若， ，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若， ，则 3. 函数的部分图象大致为 A. B. C. D. 4．已知向量，，，则 A．若，则 B．若，则 C．在上的投影向量为 D．的最小值为 5. 某块农田上播种的一等小麦种子中含有 的二等种子. 已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有 颗以上麦粒的概率为 ，若在该块农田种出的小麦中，有 的麦穗含有 颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有 颗以上的麦粒的概率为 A． B． C． D． 6. 某数学课外兴趣小组，制造了一个模型，该模型由两部分构成，上面部分是一个圆台，其上底的直径是下底直径的 倍，下面部分是一个共底的圆柱，且圆柱的高是圆台高的 倍．若圆台的母线长为 ，且与底面所成的角为 ，则该模型的容积是 A. B. C. D. 7. 已知双曲线有以下光学性质，如图所示从双曲线右焦 点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线， 且反射光线的反向延长线经过左焦点,已知双曲 线镜面的离心率为， 则当入射光线和反 射光线互相垂直时其中为入射点，的 斜率大小为 A． B． C． D． 8. 已知函数，若恰有 个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是 A．一组数据 的上四分位数为 B．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 C．以模型去拟合一组数据时，令，求得线性回归 方程为，则， D． 某班 个男生的数学平均分为 ，方差为 ， 个女生的数学平均分为 ， 方差为 ，则全班 个学生的数学成绩的方差为 10. 已知数列均为递增数列，它们的前项和分别为，且满足，，则下列结论正确的有 A． B． C． D． 11. 已知函数，对任意的都有，且，则下列说法正确的是 A． B．是奇函数 C．是上的增函数 D． 三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共15 分。 12. 的展开式中常数项为_________． 13．记为数列的前项积，已知，则=_________． 14. 已知线段的长为 ，动点满足（为常数，），且点始终在以为圆心 为半径的圆外，则的范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 为了解某员工的年龄结构，该企业人力资源部门随机抽取 名员工进行调查，将他们的年龄分成 段：并绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）现从年龄在内的人员中按分层抽样的方法抽取 人，再从这 人中随机抽取 人进行座谈，用表示年龄在内的人数，求的分布列和数学期望； （2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取 名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为. 当最大时，求的值. 16.（15分） 已知内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，，求的最大值． 17．（15分） 如图所示，已知抛物线的焦点为，直线过点． （1）若直线与抛物线相切于点，求线段的长度； （2）若直线与抛物线相交于两点，且，直线与抛物线交于另一点，连结，记中点为，直线交于点，求的面积． 18.（17分） 已知函数 （1）求在区间上的最大值. （2）设，若恒成立，求的取值范围. 19.（17分） 如图所示,五面体中,平面，分别在线段上，且满足 （1）若， 求二面角的余弦值. （2）若五面体体积为. （i）用关于和的式子表示五面体体积; （ii）当最大时，，记此时固定底面不变，在 上运动，外接球体积的最小值为,求的最大值. 2026年高考适应性训练数学（三）试题 第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $