河南开封市名校联考2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 高二数学月考卷，涵盖数列、函数、概率等核心知识，解答题融合数学建模与逻辑推理，如保险保费计算、函数对称证明，体现数学应用与探究能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|数列、正态分布、立体几何、函数单调性|单选基础巩固，多选考查不等式性质与二项式定理| |填空题|3题15分|等比数列、空间向量投影、概率游戏|结合空间向量与概率变换，体现数学抽象| |解答题|5题77分|函数对称证明、保险保费期望、正态分布应用、双曲线、函数单调性|保险问题（数学建模）、函数性质证明（逻辑推理），符合高考综合应用趋势|

参考答案： 1.【答案】B 【详解】根据导数的定义：函数在处的导数为， 所以． 2.【答案】C 【详解】在等差数列中，若，则，解得： 3．B 【分析】先计算一台电器使用寿命超过小时的概率为，再由台这样的电器服从可得结果. 【详解】因为三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布， 所以元件1、元件2、元件3使用寿命超过小时的概率均为， 一台这样的电器使用寿命超过小时，是元件1使用寿命超过小时，并且元件2、元件3至少有一个使用寿命超过小时， 因此一台这样的电器使用寿命超过小时的概率为， 显然台这样的电器，使用寿命超过小时的台数， 所以台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为． 故选：B． 4．B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 5．A 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 6．A 【分析】分别考虑函数在每一段上的单调性，结合端点函数值列出不等式求解即得. 【详解】当时，， 其对称轴为，依题意，，即，此时 当时，显然在上单调递减，且. 综上可得. 故选：A. 7．C 【分析】首先对前4次取球的颜色分类，再根据排列数和组合数公式列式，最后根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】前4次只取到红球和黄球（两种颜色都有），第5次取到白球，； 前4次只取到白球和黄球（两种颜色都有），第5次取到红球，； 前4次只取到白球和红球（两种颜色都有），第5次取到黄球，. 所以. 故选：C. 8．D 【分析】利用的几何意义可判断AB；求导，结合切点与另一个切点，可得的单调性，进而可得结论. 【详解】由，得， 可得表示曲线上的过点与原点的直线的斜率， 由图形可知，先增大，后减小，又增大， 所以有两个极值点，且极小值点大于极大值点，故AB错误； 设切点的坐标为，则由条件得有两个解， 其中一个解为，另一个解设为，显然有， 当时，；当时，，当，. ，， ∴当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴当时，有极大值，且极大值为. 当时，有极小值，且的极小值点大于极大值点，故C错误，D正确； 9．BC 【分析】由时即可判断A；由基本不等式常数“1”的等价代换即可计算求解判断B；由基本不等式即可计算判断CD. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，， 当且仅当即时，取等号，故B正确； 对于C，，所以， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC. 10．ABD 【分析】根据二项式系数之和的公式即可判断A；令即可判断B；根据二项式系数的性质即可判断C；根据二项展开式即可判断的D. 【详解】对于，A，因为的展开式中，各项的二项式系数之和为128， 所以，解得，故A正确； 对于B，令，则各项系数之和为，故B正确； 对于C，因为，所以第4项和第5项的二项式系数最大，故C错误； 对于D，第二项为， 则第二项的系数为，故D正确. 故选：ABD. 11．BCD 【解析】利用指数和幂函数的单调性可判断A，利用与比较大小即可判断B；构造函数求导判断单调性，比较与即可判断C；构造函数，求导判断单调性，比较与的大小即可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：因为幂函数在单调递增，，所以 因为指数函数在上单调递减，所以， 所以，故选项A不正确； 对于选项B：因为，，所以， 所以，即，故选项B正确； 对于选项C：令，则 所以在上递减，所以，即，故选项C正确； 对于选项D：令，则， 所以在上递增，在上递减，而, 所以，即， 所以，即，所以，故选项D正确， 综上正确答案为BCD. 故选：BCD 12． 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解. 【详解】由已知条件得 ，解得， ∴； 故答案为：. 13． 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】，则方向的单位向量为， 向量在向量上的投影向量为， 故答案为：． 14：【答案】 【分析】设该事件为，设“3轮变换后”为事件，利用列举法，求得事件的路径及其概率，得到，结合条件概率的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为初始数字为2，可得“第1轮变换前后数字之差为1”等价于“第1轮执行加1变换”， 设该事件为，设“3轮变换后”为事件， 列举所有3轮变换的路径，满足事件的路径及其概率分别为： 加1､加1､乘2概率为，加1､乘2､乘2概率为， 乘2､加1､乘2概率为，乘2､乘2､加1概率为， 乘2､乘2､乘2概率为，求和得， 事件包含前两条路径，其概率， 因为，由条件概率公式可得， 整理得，解得或，结合可得. 15．(1)证明见解析 (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）直接根据定义即可证明； （2）根据定义列出方程，并证明无解； （3）先根据题目条件证明，再对每个构造相应的，即可得到答案. 【详解】（1）对任意的，都有. 所以函数的图象是关于点的中心对称图形． （2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形． 理由如下：假设，，使得，则. 从而，即，解得，与矛盾. 所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形. （3）①一方面，若存在，，使得，根据对称性，不妨设. 假设，则，从而由可知，故，矛盾，所以. 故，那么，从而由可知. 所以. ②另一方面，若，此时令，则. 此即，且. 从而，这就意味着，故. 而，故，从而. 这就说明存在，，使得. 综合①②两个方面可知，实数的取值范围为． 16：16．(1)1944 (2) 【分析】(1)由题意知X的可能取值，分别计算对应的概率值，求出数学期望． (2)计算甲2026年参保的保费大于2000元的概率和甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的，求比值即可． 【详解】（1）X的可能取值为1900，2200，2400，2600，2800； ，， ， 即X的分布列为 X 1900 2200 2400 2800 P 数学期望为： 元 （2）甲2026年参保的保费大于2000元的概率为 甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的情况包括： 2026年参保的保费为2200元，且2026年的赔偿次数为0； 2026年参保的保费为2400元，且2026年的赔偿次数为 其概率， 故所求的概率为 17．(1) (2)8186人 【分析】（1）由，结合对称性即可求解； （2）由正态分布对称性即可求解. 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； （2）解：则 ， ， 所以估计成绩在内的学生人数为8186人. 18．(1) (2)，或或. 【分析】（1）根据题意得，进而解方程即可得答案； （2）由题知，进而先讨论直线的斜率不存在不满足条件，再讨论的斜率存在，设方程为，设，进而与双曲线方程联立得线段中点为，再结合题意得，进而再分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为双曲线的渐近线方程为，且过点， 所以，，解得 所以，双曲线的标准方程为 （2）解：由（1）知双曲线的右焦点为， 当直线的斜率不存在时，方程为，此时， ， 所以，直线的斜率存在，设方程为， 所以，联立方程得 所以，且， 所以， 设， 则 所以， 所以，线段中点为， 因为， 所以，点在线段的中垂线上， 所以， 所以，当时，线段中点为，此时直线的方程为，满足题意； 当时，， 所以，，整理得，解得或，满足. 综上，直线的方程为，或或. 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）分析可得原题意等价于对恒成立，构建，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解； （2）（i）取，根据题意分析可得，构建，结合导数证明即可； （ii）根据题意分析可得，，，构建，结合导数证明，即可得结果. 【详解】（1）∵，则， 若是增函数，则，且，可得， 故原题意等价于对恒成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上递增，在递减， 故，∴的取值范围为. （2）（i）由（1）可知：当时，单调递增， ∵，则，即， 整理得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上递减，在递增， 故， 即，当且仅当时等号成立， 令，可得， 综上； （ii）∵，则， 可知有两个不同实数根，由（1）知， 可得， 同理可得， 构建，则， 当时，；当时，； 当时，； 且，故对恒成立，故在上单调递减， ∵，则，即， 且，则，故， 可得； 又∵，由（i）可得，即， 则， 且，则，可得； 综上所述：. 可得，则 故. 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数h(x)． (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 3．某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立．当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作．现有台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 6．已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线与曲线交于、两点，其中是切点，记，，则下列判断正确的是（    ） A．只有一个极值点 B．有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C．的极小值点小于极大值点，且极小值为 D．的极小值点大于极大值点，且极大值为2 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．的最小值为3 10．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．只有第4项的二项式系数最大 D．第二项的系数为 11．下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知等比数列的前项和为，若，，则______． 13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________． 14．现有一个基于数字变换的游戏.初始时黑板上写有数字2，每轮游戏会对该数字进行一次独立变换，每一次变换有的概率将其擦去并写上原先数字加1的数，否则将其擦去并写上原先数字2倍的数，设轮变换后黑板上的数字为，已知在的前提下，第1轮变换前后数字之差为1的概率为，则__________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)证明函数的图象是关于点的中心对称图形 (2)判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； (3)若函数的图象是弱中心对称图形，且是其弱对称中心，求实数的取值范围． 16．已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. 已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. (1)估计甲2026年参保第二个保险期的保费为X元，求X的数学期望； (2)求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率. 17．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 18．已知双曲线的渐近线方程为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程. 19．已知函数. (1)若函数为增函数，求的取值范围； (2)已知. （i）证明：； （ii）若，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $