精品解析：黑龙江绥化市望奎县四中联考2025-2026学年九年级下学期6月期末数学试题

2026初四期末数学模拟试卷 考生注意：1．考试时间120分钟． 2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分． 3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内． 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 将290000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 长方体 B. 棱锥 C. 圆锥 D. 球体 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（ ）． A. 方差 B. 中位数 C. 标准差 D. 平均数 6. 下列说法中，是真命题的是( ) A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行 D. 若两个角的和为180°，则这两个角互为邻补角 7. 将一副三角板如图摆放，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 14. 分解因式：______． 15. 如图，，，，则的度数为______． 16. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 17. 化简：_____． 18. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______． 19. 如图，等边中，边上的高，点是高上的一个动点，点是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是___________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点A，F，且的面积为18，则k的值为_____． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，过点A作的垂线交x轴于点，过点作的垂线交y轴于点，过点作的垂线交x轴于点…按此规律继续作下去，直至得到点为止，则点的坐标为___ ． 22. 已知菱形的边长为，，如果点是菱形内的一点，且，那么的长为_____． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，在中，的平分线交于点． （1）请用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 24. 水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这30个数据进行整理，绘制了如下统计图表： 组别 用水量 组内平均数 A B C D 根据以上信息，解答下列问： （1）这30个数据的中位数落在________组（填组别）； （2）求这30户家庭去年7月份的总用水量； （3）该小区有1000户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约，请估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少? 25. 果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树（且为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为kg，它们之间的函数关系满足如图所示的图像． （1）每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少______kg； （2）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量（kg）最大？最大产量是多少？ 26. 如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若． ①求的长； ②求的半径． 27. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线，线段以及轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标； （3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026初四期末数学模拟试卷 考生注意：1．考试时间120分钟． 2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分． 3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内． 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 将290000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用科学记数法的表示方式表示即可． 【详解】解：． 故选：B 【点睛】此题考查科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n与小数点移动的位数相同．解题关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查轴对称图形的识别，解题的关键是熟知轴对称图形的定义 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 长方体 B. 棱锥 C. 圆锥 D. 球体 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图来判断几何体的形状． 【详解】解：由三视图可知，该几何体长方体， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法、积的乘方运算法则分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 5. 测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（ ）． A. 方差 B. 中位数 C. 标准差 D. 平均数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，方差和标准差，根据平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响，中位数与数据个数和排序有关，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响， ∴当将最高成绩写得更高了时，平均数，方差，标准差均会受到影响， ∵中位数与数据个数和排序有关，当将最高成绩写得更高了时，数据个数不变，排序不变， ∴中位数不受影响； 故选B． 6. 下列说法中，是真命题的是( ) A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行 D. 若两个角的和为180°，则这两个角互为邻补角 【答案】C 【解析】 【分析】A项不正确，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角；B项不正确，只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等；D项不正确，满足两个角的和为180°的两个角不一定是邻补角． 【详解】A.相等的角不一定是对顶角；故本选项错误； B.两条平行的直线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项错误； C.若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行，正确； D. 满足两个角的和为180°的两个角不一定是邻补角，故本选项错误. 故选C. 【点睛】本题主要考查命题真假，解此题的关键在于熟练掌握各个基本知识点. 7. 将一副三角板如图摆放，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为． 根据直角三角板的度数，再根据对顶角相等可得的度数． 【详解】解：如图： ， ， 故选：A． 8. 某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解决本题的关键． 先把时间化为小时，设甲车的速度为，则乙车的速度为，表示出两车的时间，再根据时间相差5分钟建立方程即可． 【详解】解：，设甲车的速度为，根据题意可列方程： ， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于以原点为位似中心的点的坐标关系，点的坐标就是把点的坐标乘以，据此计算即可． 【详解】解：∵点O为位似中心，的位似图形为，位似比为， 而， ∴，即． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 10. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 11. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 12. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连接BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°， 而CE=DF， ∴AF=DE， 在△ABF和△DAE中 ∴△ABF≌△DAE， ∴AE=BF，所以（1）正确； ∴∠ABF=∠EAD， 而∠EAD+∠EAB=90°， ∴∠ABF+∠EAB=90°， ∴∠AOB=90°， ∴AE⊥BF，所以（2）正确； 连接BE， ∵BE＞BC， ∴BA≠BE， 而BO⊥AE， ∴OA≠OE，所以（3）错误； ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF=S△DAE， ∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF， ∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件． 【详解】要使在实数范围内有意义， 必须且． 故答案为x≥-1且x≠2 【点睛】本题考查了1．函数自变量的取值范围；2．二次根式和分式有意义的条件． 14. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，，，，则的度数为______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，注意：平行线的性质有①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．先根据求出，再根据即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有4枚棋子， ∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是． 故答案为： 17. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=6，利用外角和求得∠GAB=360°÷6=60°，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示： ∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=6， ∴∠GAB=360°÷6=60°， ∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， ∴S扇形FAB=， 故答案为：12π． 【点睛】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握扇形面积计算及正多边形的性质是解题的关键． 19. 如图，等边中，边上的高，点是高上的一个动点，点是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值． 【详解】解：连接CE， ∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线 ∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC， ∴EB=EC， 当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF， ∵等边△ABC中，F是AB边的中点， ∴AD=CF=8， ∴EB+EF的最小值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论． 20. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点A，F，且的面积为18，则k的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE=S△AOE=18，推出S△EOF=S△AOE=9，可得S△FME=S△EOF=3，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M． ∵AN∥FM，AF=FE， ∴MN=ME， ∴FM=AN， ∵A，F在反比例函数的图象上， ∴S△AON=S△FOM=， ∴•ON•AN=•OM•FM， ∴ON=OM， ∴ON=MN=EM， ∴ME=OE， ∴S△FME=S△FOE， ∵AD平分∠OAE， ∴∠OAD=∠EAD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA=∠DAE， ∴AE∥BD， ∴S△ABE=S△AOE， ∴S△AOE=18， ∵AF=EF， ∴S△EOF=S△AOE=9， ∴S△FME=S△EOF=3， ∴S△FOM=S△FOE-S△FME=9-3=6=， ∴k=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，过点A作的垂线交x轴于点，过点作的垂线交y轴于点，过点作的垂线交x轴于点…按此规律继续作下去，直至得到点为止，则点的坐标为___ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，发现每变换四次，点A对应点回到y轴正半轴上，所在的方向与初始线段方向相同，再由余1依次求出点，…，的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：点， ∴，则， ∴， ∵过点A作的垂线交x轴于点， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，则， 同理，，则， ，则， ，则， ，则， ， ∴， ∴， 根据题意，每变换四次，点A对应点回到y轴正半轴上，所在的方向与初始线段方向相同， ∵余1， ∴点在x轴的正半轴上， ∴． 22. 已知菱形的边长为，，如果点是菱形内的一点，且，那么的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】由菱形性质可知，到、距离相等的点在对角线上，分与在同侧和异侧两种情况，结合勾股定理计算即可． 【详解】解：连接交于点， 四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ，则， 在中，由勾股定理得：， ， 点在的垂直平分线上， 当与在同侧时，在中，由勾股定理得：， ； 当与在异侧时，同理可得，， 两种情况的点都在菱形内，符合题意， 综上所述，的长为或． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，在中，的平分线交于点． （1）请用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2.5 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于E，点E即为所作的点； （2）证明，所以，再由，不难求得的值． 【小问1详解】 解：作的垂直平分线交于点E． 点就是所求作的点． 【小问2详解】 解；连接，由（1）知． ， 平分， ， ， ， 又， ． ． ，， ． ． ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质和判定，角平分线定义及等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解相关定义和定理是解本题的关键． 24. 水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这30个数据进行整理，绘制了如下统计图表： 组别 用水量 组内平均数 A B C D 根据以上信息，解答下列问： （1）这30个数据的中位数落在________组（填组别）； （2）求这30户家庭去年7月份的总用水量； （3）该小区有1000户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约，请估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少? 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，求一组数据的平均数，条形统计图，根据统计图信息得出相应的量，是解题的关键． （1）根据中位数的定义进行求解即可； （2）根据组内平均用水量和组内户数求出这30户家庭去年7月份的总用水量即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：根据条形统计图可知：组有10户，B组有12户，C组有6户，D组有2户， ∴将30个数据从小到大进行排序，排在第15和16的两个数据一定落在B组， ∴这30个数据的中位数落在B组； 【小问2详解】 解：这30户家庭去年7月份的总用水量为： ； 【小问3详解】 解：去年每户家庭7月份的用水量约为：， ∵每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约， ∴今年每户家庭7月份的节约用水量约为：， ∴估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约： ． 25. 果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树（且为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为kg，它们之间的函数关系满足如图所示的图像． （1）每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少______kg； （2）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量（kg）最大？最大产量是多少？ 【答案】（1）0.5 （2）（，且为整数） （3）当增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是6050kg 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出算式即可求解； （2）待定系数法求解析式，根据函数图象，可得自变量的取值范围； （3）根据题意，，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg，根据函数图象可知增种28棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为66kg， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设解析式为， 将代入得， ， 解得： ∴ 当时，， ∴， ∴（，且为整数） 【小问3详解】 依题意，， ，时，有最大值， 当增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 26. 如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若． ①求的长； ②求的半径． 【答案】（1）证明见解析； （2）①；②． 【解析】 【分析】（）连接，则，可得，由可得，进而由等腰三角形的性质可得，得到，即可求证； （）①证明得到，据此即可求解；②由①可得，进而得，，利用勾股定理得，再证明，得到，即可得，求出即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：①∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，余角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】（1）画图见解析，90 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； 【小问2详解】 证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线，线段以及轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标； （3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）. 【解析】 【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）只有当∠PEA=∠AOC时，PEA△∽AOC，可得：PE=4AE，设点P坐标（4k-2，k），即可求解； （3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得：，再求出PD的最大值，即可求解． 【详解】（1）由已知，将代入，∴. 将点和代入，得， 解得.∴抛物线的表达式为. （2）∵，， ∴，. ∵轴， ∴， ∵， ∴只有当时，， 此时，即， ∴. 设点的纵坐标为，则，， ∴， ∴点的坐标为，将代入，得 ， 解得（舍去），. 当时，. ∴点的坐标为. （3）在中，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴. 由，知，又， ∴， 又. ∴. ∴当最大时，最大. 由，可解得所在直线的表达式为. 设，则， ∴. ∴当时，有最大值4. ∴当时，. 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $