精品解析：江苏省泰州中学附属初级中学2024-2025学年下学期九年级数学三模试题

2024—2025学年第二学期适应性训练（三） 九年级数学试题 （考试时间：120分钟，满分150分） 请注意： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列汉字的字形是轴对称图形的是（ ） A 泰 B. 州 C. 早 D. 茶 2. 下列计算结果中值最小的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 由如图的正三角形纸片，可以折出下列哪个几何体（ ） A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 球 6. 已知：下列函数①②③④， 则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 函数中自变量的取值范围是______． 8. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和，则多项式可以因式分解为________． 9. 为了了解某班七年级男生体能情况，随机抽取7名男生，进行引体向上测试，测试成绩（单位：个，且均为整数）按从小到大排序为：5，5，6，m，8，9，10，若这组数据平均数小于这组数据的中位数，则这组数据的中位数为_____． 10. 光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气中射入水中时发生了折射，沿射到水底处，射线是光线的延长线．已知，，则的大小为______° 11. 已知：如图，四边形是正方形，O是其中心，以为边作一个正六边形，则的度数是 ____°． 12. 如果，那么______． 13. 素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 14. 设一次函数的图象为，二次函数图象的对称轴为l，则关于l对称的图形对应的函数关系式为________． 15. 已知，，是方程的三个实数根，则下列结论：（1），（2）中，正确的是_______（填序号） 16. 已知，在中，，，，是直线上一点，将点绕点逆时针旋转得其对应点，当时，则长为_______． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 18. 近年来，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为 ； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 19. 泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， （1）若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为 ； （2）请用画树状图或列表方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 20. 箱子里有m个红球，n个白球，小明、小丽分别按下列方式取球：小明的取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多1个，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下6个红球；小丽取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多3个，小丽每次取的球中的白球数与小明每次取的球中的白球数相同，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下9个白球．已知小明取球的次数比小丽多3次． （1）小明每次取白球数为________； （2）求m、n的值． 21. 如图1，某校的一棵银杏，树龄已逾千年，为了映衬这棵古银杏，园林部门以树干根部为中心，在其四周的地面铺设了圆形的景观草坪．小强所在综合学习小组，为了测量这棵银杏树的高度，采取如下测量方案：将测角仪支架放在圆形草坪的圆周上，使得测角仪与树干的距离等于圆形草坪的半径，当测角仪距离地面1米时，在A处测得树顶D的仰角为，再将测角仪的支架下降20厘米，在C处测得树顶的仰角为，如图2，请求出这棵银杏树的高度．（可选用数据：，，，，，） 22. 如图，，且，点在上，，交于点． （1）求证：； （2）可由绕点旋转而得，用尺规作图的方法，作出点（不写作法，保留作图痕迹）； （3）当是中点时，连接，求的大小． 23. 如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， （1）求证：是的切线； （2）如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； （3）当时，求的长． 24. 已知：一次函数与反比例函数的图象交于，点， （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）设一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，反比例函数的图象关于直线的对称的图形，记为图形，图形与轴、轴的交点分别为、，求的长； （3）点是反比例函数图象上、间的一个动点（不与，重合），过作轴，交图形于，求的最大值． 25. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线：上， （1）当，时， ①求的值； ②将抛物线平移后得抛物线：，设抛物线与抛物线的交点为P，过点P的直线与抛物线的另一个交点为M，与抛物线的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． （2）当时，若对于，都有，求的取值范围． 26. 综合实践：探索三角形内心的性质 定义回顾：三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心． 性质应用： （1）在中，，I是的内心，则 ． （2）在中，，则内切圆的半径为____． 性质拓展： （3）刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，是中国古典数学理论的奠基者之一．他在注解《九章算术》时，十分重视一题多解，其中最典型的就是给出直角三角形内切圆直径的多种表达形式．如图1，已知，在中，，的长分别表示为a，b，c，内切圆的直径为d． ①在下列表达式中（A）；（B），选择一个正确的表达式，并证明这个表达式的正确性． 我选________（填“A”或“B”） ②如图2，若，过的内心O，作一直线分别交，于M，N，当的面积最小时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期适应性训练（三） 九年级数学试题 （考试时间：120分钟，满分150分） 请注意： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列汉字的字形是轴对称图形的是（ ） A. 泰 B. 州 C. 早 D. 茶 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴,根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C 2. 下列计算结果中值最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、相反数、绝对值以及负整数指数幂的运算，熟练掌握这些运算的法则是解题的关键．分别计算每个选项的值，再比较大小． 【详解】解：∵，，，，， ∴值最小的是． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，负整数指数幂，算术平方根的性质，平方差公式．根据合并同类项，负整数指数幂，算术平方根的性质，平方差公式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、与不一定相等，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算．根据这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，可得掷出1和6的概率之和，即可求解． 【详解】解：∵这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是， ∴这个骰子掷出1和6的概率之和为， ∵掷出6的概率是掷出1的概率的两倍， ∴他掷出6的概率是． 故选：D 5. 由如图的正三角形纸片，可以折出下列哪个几何体（ ） A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟记立体图形的特征是解题的关键． 根据常见几何体的展开图即可判断． 【详解】解：A、正三角形纸片不可以折出圆锥，不符合题意； B、正三角形纸片可以折出三棱锥，符合题意； C、正三角形纸片不可以折出三棱柱，不符合题意； D、正三角形纸片不可以折出球，不符合题意； 故选：B． 6. 已知：下列函数①②③④， 则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】要确定三点能否确定一个圆，需判断三点是否共线，若三点共线，则无法确定圆；否则可以确定唯一的圆，再结合所给函数图象与性质逐个判定即可得到答案． 【详解】解：①是直线，其图象上任意三点必然共线，无法确定圆，故①不满足题意； ②是抛物线，直线与抛物线最多有两个交点，因此抛物线上任意三点不共线，可以确定圆，故②满足题意； ③是反比例函数，图象为双曲线，直线与双曲线最多有两个交点，因此双曲线上任意三点不共线，可以确定圆，故③满足题意； ④图象上三点、和共线，在直线图象上，存在三点共线的情况，这三点无法确定圆，故④不满足题意； 综上所述，满足题意的是②③， 故选：B． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 8. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和，则多项式可以因式分解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及因式分解，掌握两根之和与两根之积与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系可得出，再因式分解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和， ， ， ， 故答案为：． 9. 为了了解某班七年级男生体能情况，随机抽取7名男生，进行引体向上测试，测试成绩（单位：个，且均为整数）按从小到大排序为：5，5，6，m，8，9，10，若这组数据的平均数小于这组数据的中位数，则这组数据的中位数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数和平均数的概念，熟练掌握中位数的确定方法以及平均数的计算是解题的关键．先确定中位数，再根据平均数小于中位数列不等式求的范围，结合的取值确定中位数． 【详解】解：这组数据有个，按从小到大排列后，中位数是第个数，即 平均数为 因为平均数小于中位数，所以， ， ， ， 又因为数据是按从小到大排列的， 所以， 所以，此时中位数为 故答案为： 10. 光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气中射入水中时发生了折射，沿射到水底处，射线是光线的延长线．已知，，则的大小为______° 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．通过射线与的交点，利用平行线性质和三角形外角性质来计算的大小． 【详解】解：设射线交于点． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 已知：如图，四边形是正方形，O是其中心，以为边作一个正六边形，则的度数是 ____°． 【答案】105 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形及正方形的性质，熟练掌握正多边形及正方形的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据四边形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴； 故答案为105． 12. 如果，那么______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得，由题意可得，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：9． 13. 素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查素数的定义，熟练掌握素数的定义（只能被和它自身整除的自然数）是解题的关键．通过代入不同的自然数（）到中，计算结果并判断是否为素数，找到反例． 【详解】解：当时，，是素数； 当时，，，不是素数． 故答案为： 14. 设一次函数的图象为，二次函数图象的对称轴为l，则关于l对称的图形对应的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形变化—轴对称，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一次函数的性质可得经过点和，根据二次函数的性质得到l为直线，求出点和关于l对称的点坐标分别为和，由对称性可得是一次函数，再利用待定系数法即可求出对应的函数关系式． 【详解】解：对于， 当时，；当时，则，解得； ∴经过点和， ∵二次函数图象的对称轴为l， ∴l为直线， ∴点和关于l对称的点坐标分别为和， ∵是关于l对称的图形， ∴是一次函数，且经过点和， 设的函数关系式为， 代入点和，得， 解得， ∴的函数关系式为， 故答案为：． 15. 已知，，是方程的三个实数根，则下列结论：（1），（2）中，正确的是_______（填序号） 【答案】（2） 【解析】 【分析】本题考查了高次方程、因式定理、多项式的乘法，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据因式定理可知，，是多项式的因式，得到，再利用多项式的乘法得到，，得到，，即可得出结论． 【详解】解：∵，，是方程的三个实数根， ∴，，是多项式的因式， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（2）正确，（1）错误， ∴正确的是（2）． 故答案为：（2）． 16. 已知，在中，，，，是直线上一点，将点绕点逆时针旋转得其对应点，当时，则长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】通过连接辅助线，利用旋转性质和全等三角形的判定，确定点的运动轨迹，再分情况结合等腰直角三角形、勾股定理求解长． 【详解】解：连接、，取的中点，作直线． ∵将点绕点逆时针旋转得对应点， ∴，，为等边三角形． ∵，，， ∴． ∵是中点，，， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴，点在直线上运动． 情况一：点在的延长线上． ∵，是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 情况二：点在线段上． 同理，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握旋转性质和全等三角形判定是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）分别计算三角函数值、负指数幂、绝对值和二次根式，再进行加减运算． （2）先对括号内的式子通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分，最后代入求值． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 18. 近年来，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为 ； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 【答案】（1）200 （2）图见解析， （3）1050人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、样本容量、用样本估计总体，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）用“视力正常”的人数除以对应的占比即可得出答案； （2）求出“中度近视”和“高度近视”的人数，补全条形统计图，再用“轻度近视”的人数占比乘以即可求出扇形的圆心角的度数； （3）用3000乘以“轻度近视”的人数占比即可解答． 【小问1详解】 解：， ∴本次抽样调查的样本容量为200， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：“中度近视”的人数：（人）， “高度近视”的人数：（人）， 补全条形统计图如下： “轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为1050人． 19. 泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， （1）若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及用列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）先确定甲夹走一个肉馅后剩下包子的情况，再根据概率公式计算乙夹到秧草馅的概率． （2）通过列表法列出所有可能结果，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【小问1详解】 解：甲夹走一个肉馅后，剩下个肉馅，个秧草馅，共个包子． 所以乙夹的包子是秧草馅的概率为． 【小问2详解】 解：将个肉馅包子记为、，个秧草馅包子记为、，列表如下： 甲 乙 结果 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人各吃的个包子的馅均为个肉馅个秧草馅的结果有种． 所以甲、乙两人各吃的个包子的馅均为个肉馅个秧草馅的概率为． 20. 箱子里有m个红球，n个白球，小明、小丽分别按下列方式取球：小明的取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多1个，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下6个红球；小丽取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多3个，小丽每次取的球中的白球数与小明每次取的球中的白球数相同，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下9个白球．已知小明取球的次数比小丽多3次． （1）小明每次取的白球数为________； （2）求m、n的值． 【答案】（1）3； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据实际问题列二元一次方程组是解题的关键． （1）设小明每次取白球个，那么每次取红球个，小丽每次取白球个，每次取红球个．设小丽取球次，则小明取球次．根据红球和白球的数量关系，通过设未知数来推导小明每次取的白球数． （2）根据上述设的未知数，结合红球和白球剩余数量，列出关于、的方程，进而求解、的值． 【小问1详解】 解：设小明每次取白球个，则小明每次取红球个，小丽每次取白球个，小丽每次取红球个．设小丽取球次，则小明取球次． 由白球数量关系， ∵小丽取球后只剩下个白球， ∴， ∴， ， ， 解得， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：设小明每次取白球个，则小明每次取红球个，小丽每次取白球个，小丽每次取红球个．设小丽取球次，则小明取球次． ∵， ∴小明每次取红球个，小丽每次取红球个． 由红球数量关系 ∴，， ∴， ， ， 解得． ∴，． 21. 如图1，某校的一棵银杏，树龄已逾千年，为了映衬这棵古银杏，园林部门以树干根部为中心，在其四周的地面铺设了圆形的景观草坪．小强所在综合学习小组，为了测量这棵银杏树的高度，采取如下测量方案：将测角仪支架放在圆形草坪的圆周上，使得测角仪与树干的距离等于圆形草坪的半径，当测角仪距离地面1米时，在A处测得树顶D的仰角为，再将测角仪的支架下降20厘米，在C处测得树顶的仰角为，如图2，请求出这棵银杏树的高度．（可选用数据：，，，，，） 【答案】23米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形应用中的仰角问题，是利用锐角三角函数求解树高的实际问题．关键在于通过设未知数，利用锐角三角函数建立方程来求解．已知在圆形草坪圆周上不同高度的两点测量树顶的仰角，以及两点的高度差，同时给出了一些锐角三角函数值，可设树高为，利用和的值可表示出草坪圆周的半径，利用半径相等即可建立方程求解． 【详解】解：如图2所示，作，，由题意得，，，，则，设树高， 在中，，则， 同理在中，，则， ∵，，， ∴， 解得． 故树高为23米． 22. 如图，，且，点在上，，交于点． （1）求证：； （2）可由绕点旋转而得，用尺规作图的方法，作出点（不写作法，保留作图痕迹）； （3）当是中点时，连接，求的大小． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的性质得到角相等，再结合直角三角形的性质，通过角的转化证明垂直． （2）根据旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点，作出对应点连线的垂直平分线找旋转中心． （3）先证是等腰直角三角形得，再证、、、四点共圆，利用圆周角性质及平角求． 小问1详解】 证明： ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，分别作线段和的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为点． 【小问3详解】 解：连接， 是中点，， ， ， 是等腰直角三角形 ， ，， ， 、、、四点共圆， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆及圆周角定理，熟练掌握全等三角形的对应角相等、旋转中心的确定方法、等腰直角三角形的性质以及四点共圆的判定与性质是解题的关键． 23. 如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， （1）求证：是的切线； （2）如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； （3）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； 【小问3详解】 解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 24. 已知：一次函数与反比例函数的图象交于，点， （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）设一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，反比例函数的图象关于直线的对称的图形，记为图形，图形与轴、轴的交点分别为、，求的长； （3）点是反比例函数图象上、间一个动点（不与，重合），过作轴，交图形于，求的最大值． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为． （2）． （3）1 【解析】 【分析】（1）先将点代入反比例函数求出，再代入点求出，最后将、代入一次函数求解表达式． （2）先求出一次函数与坐标轴交点、，再根据对称性质求出、坐标，进而求的长． （3）设出点坐标，结合对称性质表示相关点坐标，得出的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为． ∵点在上， ∴，即． ∵一次函数过、， ∴，解得， ∴一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：对于一次函数， 令，则， ∴； 令，则，解得， ∴． ∴， 如图，过点作交于点，过点作交于点，交于，则四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴与关于直线对称，与关于直线对称， ∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形， ∴与关于直线对称，与关于直线对称， ∴，， 对于，当时，，解得，当时，， ∴，， ． 【小问3详解】 解：设（），令交直线于点，过作轴，交反比例函数于点R， ∵，，轴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴ ∴， ∴和关于对称， ∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形， ∴点和点关于直线对称，即， ∵设（）， ∴，， ， ， 当时有最小值，即取最大值， 此时最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，包括函数表达式的求解、图形的对称以及最值问题，熟练掌握函数的性质、对称的性质以及利用二次函数求最值是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线：上， （1）当，时， ①求的值； ②将抛物线平移后得抛物线：，设抛物线与抛物线的交点为P，过点P的直线与抛物线的另一个交点为M，与抛物线的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． （2）当时，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）①；②的长为定值 （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意得，点，在抛物线：上，则，即可求出的值；②设，，，由①得，抛物线：，联立整理得到，则有，同理可得，推出，再利用勾股定理求出的长即可解答； （2）由可得，则问题转化为对于，都有，设，则函数图象开口向上，对称轴为，根据二次函数的性质可知当时，随着的增大而减小，要满足题意只需当时，据此列出关于的不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴，， ∵点，在抛物线：上， ∴， 解得； ②设，，， 由①得，抛物线：， 联立， 整理得：， ∴， 联立， 整理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的长为定值； 【小问2详解】 解：∵点，在抛物线：上，且， ∴， ∴， ∵对于，都有， ∴对于，都有， 设，则函数图象开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 26. 综合实践：探索三角形内心的性质 定义回顾：三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心． 性质应用： （1）在中，，I是的内心，则 ． （2）在中，，则内切圆的半径为____． 性质拓展： （3）刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，是中国古典数学理论的奠基者之一．他在注解《九章算术》时，十分重视一题多解，其中最典型的就是给出直角三角形内切圆直径的多种表达形式．如图1，已知，在中，，的长分别表示为a，b，c，内切圆的直径为d． ①在下列表达式中（A）；（B），选择一个正确的表达式，并证明这个表达式的正确性． 我选________（填“A”或“B”） ②如图2，若，过的内心O，作一直线分别交，于M，N，当的面积最小时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①B；② 【解析】 【分析】（）由三角形内角和定理得，再根据内心的定义得，进而即可求解； （）作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，，等腰三角形的面积可通过作高求得，这样得到关于半径的方程，解方程即可； （3）①同理（2）得，则有，然后可得，进而根据完全平方公式可进行求解；②过点M作于点G，连接，过点O分别作，则有，然后可得设，，进而可得，最后根据二次函数的性质及三角函数可进行求解． 【详解】解：（）如图， ∵在中，， ∴． ∵点是的内心， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，， 则，，， 内心， ， ， ． 、、三点共线， ， 设内切圆半径为， ，， ， ，则， 又， ，则内切圆的半径为． 故答案为：． （3）①如图，作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，， 同理（2）得， ， ∵，， ∴，即， ∴， ， ， ∴ ， ∴， ∴， 故B正确， 故答案为：B； ②过点M作于点G，连接，过点O分别作，如图所示： ∵点O为内心， ∴是角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由①知， ∴， ∴的内切圆半径为，即， 设， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当点N与点B重合时，过点M作于点H，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∵， ∴， ∵，且对称轴为， ∴当时，有最大值， ∴当时，的面积有最小值，最小值为； ∴，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的内心，切线长定理，勾股定理及三角函数，掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $