精品解析：河北邯郸市邯山区扬帆学校2025-2026学年第二学期九年级全真模拟数学试卷

远航扬帆初中2025-2026学年第二学期九年级全真模拟 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列选项中为负数的是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 中位线 3. 计算的结果是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，将一张等边三角形纸片沿虚线剪开，得到一个三角形和一个四边形，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，为关于的一元二次方程的实数根，嘉嘉，淇淇两人作出了如下判断．嘉嘉：当时，；淇淇：当时，． 则关于两人的判断说法正确的是（ ） A. 嘉嘉正确，淇淇错误 B. 嘉嘉错误，淇淇正确 C. 嘉嘉、淇淇都正确 D. 嘉嘉、淇淇都错误 8. 如图，已知，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 9. 某中学体育老师给该校九年级学生上了一节篮球课，教同学们定点投篮．为了了解同学们的学习情况．随机抽取了20名学生，对他们的定点投篮命中数量进行统计，统计结果如表： 投篮命中数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 5 6 4 2 根据如表，下列说法正确的是（　　） A. 投篮命中数量的平均数是4.8 B. 样本为20名学生 C. 投篮命中数量的中位数是3 D. 投篮命中数量的众数是4 10. 跨学科 根据物理学知识，当压力不变时，压强p（Pa）与受力面积S（）成反比例函数关系，当某重物与地面的接触面积为时，测得地面所受压强为，要使地面所受压强减小，则该重物与地面的接触面积应调整为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，菱形中，是其对角线，P是上一点，连接，将沿折叠，使点C落在上的处，得到，连接．若，，则线段的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. D. 2 12. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，16题第一空2分，第2空1分，共12分） 13. 若，则“？”的值为________． 14. 如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力的质量为_____g． 15. 若的值为整数，则满足条件的的整数值可以为________．（写出一个即可） 16. 如图，正六边形的边长为2，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿，向终点，运动，过点作，垂足为点，连接、，则长________，当最大时，线段的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，嘉嘉和淇淇做一个数学游戏，嘉嘉任意给出一个实数m，淇淇从圆桶里随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数m利用小球上标识的运算逐一进行计算． （1）若，淇淇从圆桶里随机摸出小球顺序是A、B、C，请列出算式并计算结果； （2）淇淇从圆桶里随机摸出小球的顺序是B、C、A，运算结果总是非正数，求嘉嘉给出m的取值范围． 18. 一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数． （1）已知是半和数，若，，求c的值； （2）嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由． 19. 已知：如图，在中，、是边、边上的高，且．求证： （1）； （2）． 20. 某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题． （1）本次调查中一共调查了　　名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是　　度； （2）请补全条形统计图； （3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率． 21. 已知点，点，其中．一束光从点沿直线：发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． （1）若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）； ②射线是否经过？请说明理由； （2）若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，直接写出的取值范围 22. 综合与实践 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题． 【发现】现有一张长为，宽为的矩形纸片．由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的方法： ①将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法： ①将矩形纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方； …… [探究] （1）通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为________（填“”或“”）； （2）在图2中，结合淇淇的方法， ①用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法），并说明与哪个是较长边； ②若连接、，直接写出四边形的形状________（不说理由）； [拓展]在四边形纸片中，，，，，．按如下要求折叠该四边形纸片． （3）如图3，将四边形纸片沿对角线折叠，请判断点的对应点能否落在边上，说明理由； 23. 如图是一次体操跳台训练的截面示意图，和线段分别为跳板和跳马面．取地面为轴，跳板边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，．已知一名体操运动员在跳板边上的点起跳，第一次腾空的路线为抛物线：，双手撑跳马面后第二次腾空的路线为抛物线：（，为正数）． （1）跳马面的宽为________，求所在直线的表达式； （2）运动员在距离地面的点处起跳，判断其双手是否会撑在跳马面上； （3）运动员第二次腾空的最大高度与第一次腾空的最大高度的差为，越大，完成动作的效果越好，若运动员在第一次腾空后手触跳马面的位置为，直接写出当时，的取值范围． 24. 如图，已知的半径为3，弦，C是上一点（不与点A，B重合），连接，以，为边作平行四边形． （1）如图1，当经过圆心O时，求的值； （2）如图2，当时，求劣弧的长； （3）如图3，当与相切时，求点C到所在直线的距离； （4）直接写出点B与点D的最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 远航扬帆初中2025-2026学年第二学期九年级全真模拟 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列选项中为负数的是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、求一个数的绝对值、负数的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 先将各数化简，再根据负数小于0逐项判断即可． 【详解】解：A．2是正数，不是负数，不符合题意； B．，故不是负数，不符合题意； C．是负数，符合题意； D．，故不是负数，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 中位线 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：， ∴是的高线． 3. 计算的结果是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，将一张等边三角形纸片沿虚线剪开，得到一个三角形和一个四边形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可知其三个内角均为，利用三角形内角和得出，再由邻补角求解即可． 【详解】解：原三角形纸片是等边三角形 ， 剪下的小三角形的顶角为，  设小三角形右侧的内角为， ，  与互为邻补角， ∴． 5. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，解题的关键是掌握俯视图即为从上面看所得到的图形．注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 根据俯视图的定义观察图形即可求解． 【详解】解：这个组合体的俯视图为： 故选：D． 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可； 【详解】解：A，∵，可得，但不一定小于，例如时，，原变形错误，不符合题意； B，∵，不等式两边同时减1，不等号方向不变，∴，原变形正确，符合题意； C，∵，不等式两边同时乘，不等号方向改变，∴，原变形错误，不符合题意； D，∵，不等式两边同时除以2，不等号方向不变，∴，原变形错误，不符合题意． 7. 已知，为关于的一元二次方程的实数根，嘉嘉，淇淇两人作出了如下判断．嘉嘉：当时，；淇淇：当时，． 则关于两人的判断说法正确的是（ ） A. 嘉嘉正确，淇淇错误 B. 嘉嘉错误，淇淇正确 C. 嘉嘉、淇淇都正确 D. 嘉嘉、淇淇都错误 【答案】C 【解析】 【分析】分别验证嘉嘉和淇淇的判断，验证嘉嘉时用一元二次方程根的判别式判断根的个数，验证淇淇时结合根与系数的关系和已知条件求出k，再判断结论是否成立． 【详解】解：对于一元二次方程，，， ∴ 验证嘉嘉的判断： 当时， ∴方程有两个不相等的实数根，即，嘉嘉判断正确； 验证淇淇的判断： 由根与系数的关系可得，， ∵，代入得 解得，则 ∴，解得 ∴淇淇判断正确； 综上，嘉嘉、淇淇都正确． 8. 如图，已知，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由得出，再逐项判断即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：， ，即， A、，，故此选项不符合题意； B、，，故此选项不符合题意； C、，，故此选项不符合题意； D、，无法证出，故此选项符合题意； 故选：D． 9. 某中学体育老师给该校九年级学生上了一节篮球课，教同学们定点投篮．为了了解同学们的学习情况．随机抽取了20名学生，对他们的定点投篮命中数量进行统计，统计结果如表： 投篮命中数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 5 6 4 2 根据如表，下列说法正确的是（　　） A. 投篮命中数量的平均数是4.8 B. 样本为20名学生 C. 投篮命中数量的中位数是3 D. 投篮命中数量的众数是4 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本的概念、众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可． 【详解】解：A．投篮命中数量的平均数是，选项说法错误，不符合题意； B．样本为20名学生的定点投篮命中数量，选项说法错误，不符合题意； C．共20个数据，中位数为4，选项说法错误，不符合题意； D．投篮命中数量的众数是4，选项说法正确，符合题意． 10. 跨学科 根据物理学知识，当压力不变时，压强p（Pa）与受力面积S（）成反比例函数关系，当某重物与地面的接触面积为时，测得地面所受压强为，要使地面所受压强减小，则该重物与地面的接触面积应调整为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据p与S的反比例关系设出表达式，先求出定值压力，再根据调整后的压强计算接触面积即可． 【详解】解：设压强与受力面积的反比例函数关系为，其中为不变的压力， ∵当 时，， ∴， 压强减小后，新的压强为：， 将和代入得： 11. 如图，菱形中，是其对角线，P是上一点，连接，将沿折叠，使点C落在上的处，得到，连接．若，，则线段的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先由菱形的性质求出和，然后由折叠的性质得出 和 的长，进而求出 ，最后在中求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，． ∵是菱形的对角线， ∴． 由折叠的性质可知，． ∵点在上， ∴． 在 中，， ∴ 是直角三角形， ， ∴． 12. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”和“正方形数”的特点是解题的关键．根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和以及“正方形数”可看成某个自然数的平方，依此规律逐一分析四个选项中的三个数是否符合该规律，由此即可得出结论． 【详解】解：A、13不是正方形数，不合题意； B、9和16不是三角形数，不合题意； C、， 两个三角形的数分别是：；； 故C符合题意； D、18和31不是三角形数，不合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，16题第一空2分，第2空1分，共12分） 13. 若，则“？”的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，求解即可． 【详解】解：设“？”的值为x， 则， ∴，即，解得：． 14. 如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力的质量为_____g． 【答案】20 【解析】 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量＝50克．根据这两个等量关系式可列一个方程组． 【详解】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克． 由题意列方程组得：， 解方程组得：． 答：每块巧克力的质量是20克． 故答案为：20． 【点睛】此题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程是关键． 15. 若的值为整数，则满足条件的的整数值可以为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先对原式的分子分母分别因式分解，约分得到化简结果，再根据分式的值为整数，结合分式有意义的条件，即可得到满足要求的整数． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母不为零， ∴， 解得且， ∴ ∵原式的值为整数，为整数， ∴为整数，即为的因数，符合条件的整数可以为，任取一个即可． 16. 如图，正六边形的边长为2，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿，向终点，运动，过点作，垂足为点，连接、，则长________，当最大时，线段的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接、交于点，由题意可得点为正六边形的对称中心，且中心角为，，从而得出和均为等边三角形，由等边三角形的性质可得，进而求得的长，由题意可得，由对称性可得，直线必过对称中心，证明点在以为直径的上，结合是定线段，得出当最大时，则与相切，此时点在处，连接，，则，且，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、交于点， ∵六边形为正六边形， ∴点为正六边形的对称中心，且中心角为，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中， 由题意可得：， 由对称性可得，直线必过对称中心， ∵， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵是定线段， ∴当最大时，则与相切，此时点在处，连接，，则，且， ∴， ∴， 故当最大时，线段的长为． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，嘉嘉和淇淇做一个数学游戏，嘉嘉任意给出一个实数m，淇淇从圆桶里随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数m利用小球上标识的运算逐一进行计算． （1）若，淇淇从圆桶里随机摸出小球顺序是A、B、C，请列出算式并计算结果； （2）淇淇从圆桶里随机摸出小球的顺序是B、C、A，运算结果总是非正数，求嘉嘉给出m的取值范围． 【答案】（1） 当时， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）代入，根据有理数的运算法则，进行计算即可； （2）根据运算结果总是非正数，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∴嘉嘉给出的取值范围为． 18. 一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数． （1）已知是半和数，若，，求c的值； （2）嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由． 【答案】（1） （2） 同意． 设是一个“半和数”，则． ∴． ∵，整数，∴为整数． ∴任意一个“半和数”都能被整除． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，提取公因式法分解因式，解题的关键是理解定义，并列出代数式． （1）先根据定义得出，再将，代入求出的值； （2）先根据定义得出，再将用式子表示出来，将代入后证明结论成立． 【小问1详解】 解：∵是“半和数”，∴．∵，，∴．∴； 【小问2详解】 略 19. 已知：如图，在中，、是边、边上的高，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）由垂直定义可得，然后通过“”证明即可； （）由，所以，，则，然后通过线段的和与差即可求证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 20. 某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题． （1）本次调查中一共调查了　　名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是　　度； （2）请补全条形统计图； （3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率． 【答案】（1）200，72；（2）补全条形图如下：（3）． 【解析】 【分析】（1）根据B的人数以及百分比得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可； （2）求出C组的人数即可补全图形； （3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率． 【详解】解：（1）本次调查的学生人数为（名， 扇形统计图中，项对应的扇形圆心角是， 故答案为：200；72； （2）选项的人数为（名， （3）画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个， 甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出解题的有关信息，正确画出树状图． 21. 已知点，点，其中．一束光从点沿直线：发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． （1）若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）； ②射线是否经过？请说明理由； （2）若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，直接写出的取值范围 【答案】（1）①； ②不经过，理由如下： 根据光的反射定律，可知直线与直线关于直线对称， 点关于直线的对称点在射线上． 设射线的表达式为． 将，代入， 得解得 射线的表达式为． 当时，， 射线不经过点．； （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据待定系数法求出解析式即可； ②设射线的表达式为，根据待定系数法求出解析式，再把代入看是否成立即可； （2）根据题意得到线段上的整数点共9个，且点在和之间或在和之间，分别把，，，代入中求解，即可求出结果； 【小问1详解】 解：①直线经过点，， 射线的表达式为． ②略 【小问2详解】 解：时，点，点， 线段上的整数点有，，，，，，，，，共9个． 上的整数点被点分为个数之比为的两部分， 点在和之间或在和之间， 将代入，得， 将代入，得； 将代入，得， 将代入，得． 的取值范围为或； 22. 综合与实践 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题． 【发现】现有一张长为，宽为的矩形纸片．由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的方法： ①将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法： ①将矩形纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方； …… [探究] （1）通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为________（填“”或“”）； （2）在图2中，结合淇淇的方法， ①用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法），并说明与哪个是较长边； ②若连接、，直接写出四边形的形状________（不说理由）； [拓展]在四边形纸片中，，，，，．按如下要求折叠该四边形纸片． （3）如图3，将四边形纸片沿对角线折叠，请判断点的对应点能否落在边上，说明理由； 【答案】（1） （2）①折痕如图所示： 连接，由折叠的性质可得， ，即， ， 在中，， ， ， 是较长边； ②菱形 （3）点的对应点能落在边上； 理由：过点作， 可得四边形为矩形， ， ， 在中， ， ， ， 又， ， ， 点的对应点能落在边上． 【解析】 【分析】（1）由图易知，进而可得； （2）①利用尺规作图，作的垂直平分线即可；②根据题意可得，，再证，进而得到即可得到四边形为菱形； （3）过点作，证得即可求解． 【小问1详解】 解：由翻折可知，又， ； 【小问2详解】 ①略； ②设与相交于点， 同理由折叠的性质可知，且， 又， ， ， ， ， 四边形为菱形； 【小问3详解】 略 23. 如图是一次体操跳台训练的截面示意图，和线段分别为跳板和跳马面．取地面为轴，跳板边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，．已知一名体操运动员在跳板边上的点起跳，第一次腾空的路线为抛物线：，双手撑跳马面后第二次腾空的路线为抛物线：（，为正数）． （1）跳马面的宽为________，求所在直线的表达式； （2）运动员在距离地面的点处起跳，判断其双手是否会撑在跳马面上； （3）运动员第二次腾空的最大高度与第一次腾空的最大高度的差为，越大，完成动作的效果越好，若运动员在第一次腾空后手触跳马面的位置为，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）； （2）双手会撑在跳马面上 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，的坐标求出；再根据，坐标用待定系数法求出直线的解析式； （2）先求出坐标，再求出抛物线解析式，令解方程求出的值与和比较即可； （3）根据抛物线解析式求出顶点坐标，再根据判定出抛物线顶点坐标的取值范围，再把代入抛物线的解析式求出即可． 【小问1详解】 解：，， ， 设所在直线的表达式为， 把，，代入表达式得：， 解得， 所在直线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，代入，解得， ， 抛物线可化为， 将代入 得， 解得，， 为正数， ， 抛物线， 当时，，解得（舍去），， ， 双手会撑在跳马面上； 【小问3详解】 解：， 顶点坐标为， ， 的顶点纵坐标大于等于小于等于， 在上， ， 当顶点纵坐标为2.1时，则，解得（舍去）或； 当顶点纵坐标为3.35时，则，解得（舍去）或； 的取值范围为． 24. 如图，已知的半径为3，弦，C是上一点（不与点A，B重合），连接，以，为边作平行四边形． （1）如图1，当经过圆心O时，求的值； （2）如图2，当时，求劣弧的长； （3）如图3，当与相切时，求点C到所在直线的距离； （4）直接写出点B与点D的最大距离． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）连接，当经过圆心O时，为直径，根据圆周角定理得到，利用求解即可； （2）根据平行四边形的性质求出，再由圆周角定理求出的度数，利用弧长公式求解即可； （3）连接与交于点，分别过点、作所在直线的垂线，垂足分别为、，由垂径定理求出、，再根据勾股定理求出长，证明，求出长，再证明，求出长，利用平行线的性质求出点C到所在直线的距离； （4）根据题意，过点作，且使，连接，则点在以半径为3的上运动，过点作于点、过点作于点，进而得到四边形是平行四边形，由垂径定理得到，利用勾股定理求出长及长，当点B、、D三点共线，且点在点B、D之间时，有最大值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 当经过圆心O时，为直径，即； 在中，； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形 如图，连接、， 劣弧的长为； 【小问3详解】 解：如图，连接与交于点，分别过点、作所在直线的垂线，垂足分别为、， 与相切时， ， 四边形是平行四边形， 、、， ， ， 是的半径， ， 、是的半径， 、， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 点C到所在直线的距离为； 【小问4详解】 解：四边形是平行四边形， 、且， 连接， ， 过点作，且使，连接， 四边形是平行四边形， ， 点在以半径为3的上运动， 过点作于点、过点作于点， ， ， 四边形是平行四边形， 、， 是半径的一部分，， 、， 在中，由勾股定理得；， ， 点在点左侧，点在点、之间， ， 在中，由勾股定理得；， 当点B、、D三点共线，且点在点B、D之间时，有最大值， ， 即点B与点D的最大距离为． 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $