精品解析：河北省邯郸市邯山区扬帆初中学校2025-2026学年九年级下学期中考二模数学

远航学校扬帆初中2025-2026学年第二学期初三二次模拟 数学试卷（普通） 一、单选题（每题3分共36分） 1. 潜水艇所在的海拔高度是米，在它的上方10米处有一只海豚，则海豚所在的海拔高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 40米 D. 60米 2. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 4. 图中，有三个矩形，其中相似的是（　　） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 没有相似的矩形 5. 如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 6. 迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 7. 学校招募“弦外之音”项目组成员参加实践活动，项目组共10人分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了1名男生，2名女生．现从项目组全体成员中随机抽取1人承担宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知，是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（ ） 嘉嘉：解方程；将步骤中的解，代入到代数式中，解得代数式的值为． 淇淇：根据根与系数关系求出，的值；化简；将步骤中的，的值代入到步骤化简后的结果中，解得代数式的值为． A. 嘉嘉，淇淇都对 B. 嘉嘉对，淇淇不对 C. 嘉嘉不对，淇淇对 D. 嘉嘉，淇淇都不对 9. 若，则分式的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如果点，，在双曲线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是一张矩形纸片，点在边上，将矩形纸片沿折叠，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每空3分，共12分） 13. 计算的结果是___________ 14. 已知三角形的三边长分别为3，5和，则整数x的最大值为________． 15. 如图，，点C是线段延长线上一点，在线段上取一点N，使，点M为线段的中点，则_______ ． 16. 如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边作正方形，将正方形绕点顺时针旋转，使与正八边形的另一边重合，则正方形与正方形重叠部分的面积为___________． 三、解答题 17. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________________； （2）解不等式②，得________________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________________． 18. （1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 第二步 ． 第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． 19. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． （1）图乙中，点对应状态______，点对应状态______，（“状态”后填写图形序号） ______， ______； （2）求线段对应的函数关系式． （3）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 20. 如图1，平行四边形中，，，，点P在边上运动，以P为圆心，为半径的与对角线交于A，E两点，交于A，F两点． （1）当E为中点时，求的长； （2）①如图2，当与边相切于点M时，的长为________； ②当时，通过计算比较弦和的大小关系． 21. 如图，已知∠A＝∠D，AB＝DB，点E在AC边上，∠AED＝∠CBE，AB和DE相交于点F． （1）求证：△ABC≌△DBE． （2）若∠CBE＝50°，求∠BED的度数． 22. 心理健康月期间，某中学进行了情景剧表演，现有4位评委老师甲、乙、丙、丁给两个班的情景剧现场打分，满分10分，图1是1班和2班不完整的评分条形统计图，已知两个班的平均分相等． （1）评委丙给2班的打分是 分； （2）1班成绩的众数是 分，2班成绩的中位数是 分； （3）如图2，甲评委老师的评分占比为，乙评委老师的评分占比为 ，丙评委老师的评分占比为 ，丁评委老师的评分占比为； （4）若按照图2的四位评委老师的评分权重计算两个班级的最终得分，请说明哪个班能够获胜． 23. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 24. 综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线． 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等． 【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） 【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： 【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． 【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 远航学校扬帆初中2025-2026学年第二学期初三二次模拟 数学试卷（普通） 一、单选题（每题3分共36分） 1. 潜水艇所在的海拔高度是米，在它的上方10米处有一只海豚，则海豚所在的海拔高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 40米 D. 60米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数加法的实际应用．用潜水艇的海拔高度，加上10米即可． 【详解】解：（米）； 故选B． 2. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3. 计算的结果是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，求解即可． 【详解】解： 故选： 【点睛】此题考查了二次根式的乘法和减法运算，熟练掌握二次根式的有关运算法则是解题的关键． 4. 图中，有三个矩形，其中相似的是（　　） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 没有相似的矩形 【答案】B 【解析】 【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2.5＝3：5，1：1.5＝2：3， ∴甲和丙相似， 故选B． 【点睛】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例． 5. 如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据各层小正方体的个数，得出三视图中左视图的形状，即可得到答案． 【详解】综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：左视图有两列，左边一列有3个正方体，右边一列有2个正方体． 故选：A． 【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 6. 迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握是解题的关键．根据路程速度时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写成科学记数法的形式即可． 【详解】解： （米）． 故选：D． 7. 学校招募“弦外之音”项目组成员参加实践活动，项目组共10人分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了1名男生，2名女生．现从项目组全体成员中随机抽取1人承担宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意正确列式计算是解题的关键． 根据题意得到男生有名，则女生有名，即可得到第一批次确定的人员中女生的人数为名． 【详解】解：根据题意得到男生有名， 女生有名， 第一批次确定的人员中女生的人数为名， 故选：A． 8. 已知，是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（ ） 嘉嘉：解方程；将步骤中的解，代入到代数式中，解得代数式的值为． 淇淇：根据根与系数关系求出，的值；化简；将步骤中的，的值代入到步骤化简后的结果中，解得代数式的值为． A. 嘉嘉，淇淇都对 B. 嘉嘉对，淇淇不对 C. 嘉嘉不对，淇淇对 D. 嘉嘉，淇淇都不对 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，先解方程，然后代入化简后的代数式即可判断嘉嘉做法；利用根与系数的关系即可判断淇淇做法，解题的关键是主要是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：嘉嘉：， ∴，或，， ∴当，时， 原式 ； 当，时， 原式 ，故嘉嘉解法正确； 淇淇：∵， ∴，， ∴ ，故淇淇解法正确； 故选：． 9. 若，则分式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键．先把的分子和分母分解因式约分化简，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 10. 如果点，，在双曲线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像及性质，比较函数值大小．根据题意可得反比例函数经过第一象限和第三象限，继而可知随的增大而减小，继而可得本题答案． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数经过第一象限和第三象限，随的增大而减小， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 11. 如图，是一张矩形纸片，点在边上，将矩形纸片沿折叠，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，利用对称性及矩形性质判断出，，进而利用直角三角形两锐角互余求出，，结合外角性质、三角形内角和定理分别表示出，，，数形结合求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 将矩形纸片沿折叠， ，， 是一张矩形纸片，则， ，， 将矩形纸片沿折叠， ， ，， ，， ，， ，， 在中，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查求角度，涉及矩形性质、折叠性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识，数形结合，表示出各个角之间的关系是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2025个点的坐标． 【详解】解：纵坐标是1的点有1个， 纵坐标是2的点有3个， 纵坐标是3的点有5个， 纵坐标是4的点有7个，……， 一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是； 考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向， 纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向； ，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向， 最左边的点坐标为，即第个点的坐标， 第2025个点的坐标为． 故选：D． 二、填空题（每空3分，共12分） 13. 计算的结果是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则，先计算积的乘方，然后合并同类项即可． 【详解】解：． 14. 已知三角形的三边长分别为3，5和，则整数x的最大值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即， 解得：， ∴整数x的最大值为4 故答案为：4 15. 如图，，点C是线段延长线上一点，在线段上取一点N，使，点M为线段的中点，则_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，则，由点M为线段的中点，表示出的长度，进而表示出的长度，然后代入求解即可． 【详解】解：设，则，， ∴， ∵点M为线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系． 16. 如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边作正方形，将正方形绕点顺时针旋转，使与正八边形的另一边重合，则正方形与正方形重叠部分的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先计算出正八边形的内角，再利用旋转的性质得，延长过点D，然后利用正方形与正方形重叠部分的面积进行计算． 【详解】解：正八边形的一个内角为：， 正方形绕点B顺时针旋转，使与正八边形的另一边重合， ∴，， ∴， ∴延长过点D，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴正方形与正方形重叠部分的面积为： ． 三、解答题 17. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________________； （2）解不等式②，得________________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________________． 【答案】（1） （2） （3） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4） 【解析】 【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可． 【小问1详解】 解：解不等式①，得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：解不等式②，得， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 18. （1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 第二步 ． 第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． 【答案】 （1）从第一步开始出现错误， 正确解答过程如下： 原式 ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）利用乘法分配律计算； （2）先计算乘方，再计算绝对值和进行乘法分配律计算，最后进行加减计算． 【详解】（1）略 （2）原式 ． 19. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． （1）图乙中，点对应状态______，点对应状态______，（“状态”后填写图形序号） ______， ______； （2）求线段对应的函数关系式． （3）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】（1）②，④，， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）根据“圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数一直在减小”和“弹簧测力计在状态和显示的读数分别为和”填空即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）当时，求出对应的值，根据“圆柱体浸入水中的高度圆柱体下降的高度从圆柱体开始下降到刚刚接触水面的高度”计算即可． 【小问1详解】 解：∵圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数一直在减小， 图乙中，点对应状态，点对应状态， 弹簧测力计在状态和显示的读数分别为和， ，． 故答案为：，，，． 【小问2详解】 设线段对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段对应的函数关系式为． 【小问3详解】 当时，得， 解得， ． 答：圆柱体浸入水中的高度为． 20. 如图1，平行四边形中，，，，点P在边上运动，以P为圆心，为半径的与对角线交于A，E两点，交于A，F两点． （1）当E为中点时，求的长； （2）①如图2，当与边相切于点M时，的长为________； ②当时，通过计算比较弦和的大小关系． 【答案】（1）3 （2）①；②弦的长大于的长． 【解析】 【分析】（1）根据，解直角三角形求出，在直角三角形中求出即可解答； （2）①当与边相切于点时，则，即，可得，继而由列方程求出； ②连接，分别求出，进而求出，再比较大小即可； 【小问1详解】 解：如图，连接， ， ， 是的中点， ， ∵在平行四边形中，， ， ∵是直径， ， ， ； 【小问2详解】 解：①如图，连接， 当与边相切于点时，则，即， ， ， ， ， 又， ， ． ②连接， ， ， ， ， ， ． 21. 如图，已知∠A＝∠D，AB＝DB，点E在AC边上，∠AED＝∠CBE，AB和DE相交于点F． （1）求证：△ABC≌△DBE． （2）若∠CBE＝50°，求∠BED的度数． 【答案】 （1）证明：∵∠A＝∠D，∠AFE＝∠BFD， ∴∠ABD＝∠AED， 又∵∠AED＝∠CBE， ∴∠ABD+∠ABE＝∠CBE+∠ABE， 即∠ABC＝∠DBE， 在△ABC和△DBE中， ， ∴△ABC≌△DBE（ASA）； （2）∠BEC=65° 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ABD＝∠AED，求得∠ABC＝∠DBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到BE＝BC，求得∠BEC＝∠C，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵△ABC≌△DBE， ∴BE＝BC， ∴∠BEC＝∠C， ∵∠CBE＝50°， ∴∠BEC＝∠C＝65°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活的根据题中已知条件选择合适的判定方法是解题的关键. 22. 心理健康月期间，某中学进行了情景剧表演，现有4位评委老师甲、乙、丙、丁给两个班的情景剧现场打分，满分10分，图1是1班和2班不完整的评分条形统计图，已知两个班的平均分相等． （1）评委丙给2班的打分是 分； （2）1班成绩的众数是 分，2班成绩的中位数是 分； （3）如图2，甲评委老师的评分占比为，乙评委老师的评分占比为 ，丙评委老师的评分占比为 ，丁评委老师的评分占比为； （4）若按照图2的四位评委老师的评分权重计算两个班级的最终得分，请说明哪个班能够获胜． 【答案】（1）10； （2）； （3）， （4）2班获胜． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、众数、中位数、平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据平均数相等即可得出答案； （2）由众数和中位数的定义求解即可； （3）根据圆心角度数和周角度数求出答案即可； （4）根据加权平均数的定义列式计算，从而得出答案． 【小问1详解】 解：∵1班平均分为（分）， ∴2班平均分也为9分， ∴评委丙给2班的打分为（分）． 故答案为：10； 【小问2详解】 解：1班成绩的众数为9分． 2班成绩从小到大排列为7，9，10，10， ∴2班成绩的中位数为（分）． 故答案为：； 【小问3详解】 如图2，甲评委老师的评分占比为，乙评委老师的评分占比为，丙评委老师的评分占比为，丁评委老师的评分占比为； 故答案为：， 【小问4详解】 解：∵四位评委的权重分别为甲：，乙：，丙：，丁：． 1班得分为（分）． 2班得分为（分）． ∵， ∴2班获胜． 23. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 【答案】建立模型：； 应用模型： （1）不能， 令，则， 整理得：， 这个方程根的判别式为，方程没有实数根， 所以羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到． （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． 建立模型：将点，代入计算即可得； 应用模型：（1）令，则可得，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得； （2）先求出，再根据当时，；当时，建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：建立模型：将点，代入得：， 解得， 所以与的函数解析式为． 应用模型：（1）略 （2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴的值不变，即， ∴改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线为， ∵发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于， ∴当时，；当时，， ∴， 解得， 所以的取值范围为． 24. 综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线． 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等． 【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） 【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： 【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． 【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 【答案】（1）如图：线段，点即为所求， （2），理由如下： 如图，连接， ∵为边上的中线，为边上的中线， ∴，， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴, ∴； （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接交于点，则是的中线，和的面积相等； （2）连接，则是的中位线，再证明即可得出结果； （3）连接，则是的中位线，再证明，从而可得，再证明，设，则，求出，由勾股定理可得，，最后由正弦的定义即可得出结果； （4）由直角三角形的性质可得，由（3）得，求出 ，由点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，得出点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）∵在中，，点为的中点，， ∴， 由（3）得：， ∴， ∵，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，， ∴， 即当最大时，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $