江苏省邗江中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试卷一

**基本信息** 2025-2026学年江苏省邗江中学高二数学期末模拟卷，以成都国际友城大会、秦腔文化等现实情境为载体，融合概率统计、立体几何、函数导数等核心知识，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|排列组合、正态分布、立体几何初步|结合志愿者岗位安排情境，基础与能力题梯度分布| |填空题|3/15|向量投影、期望计算、异面直线成角|聚焦空间向量与概率基础，考查数学运算| |解答题|5/77|独立性检验、二项式定理、概率分布、立体几何综合、函数导数|秦腔文化调研（独立性检验）、跑步与体测成绩（概率分布）等现实问题，综合考查数学建模与逻辑推理|

参考答案 题号 2 3 4 5 6 2 8 9 10 答案 9 D A D 力 A BCD AC 题号 11 答案 BCD 12写 13.13 14. 2 52 10 15.【详解】(1)用样本频率估计总体概率，因为年龄在40岁及以上的当地居民喜爱秦腔的 频率为 59 016’ 9 所以卫的估计值为 16 (2)假设H。：是否喜爱秦腔与年龄无关， 题意可知z2=200×(45×35-45×75)27 ≈6.818， 90×110×120×80 11 因为6.818>6.635，所以假设H。不成立， 即在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为是否喜爱秦腔与年龄有关 16.【详解】(1)因为二项展开式中第k项的二项式系数为C-,因此第三项的二项式系数为 C,第四项的二项式系数为C，,由题意得 胃二=，代入组合数公式： n(n-1) 2 33 nn-n-2n-28,解得n=10 6 (2)由(1)知n=10,二项展开式的通项为： 2 =C02x0-2r(r∈{0，l,2,10）, 令10-2r=4,解得r=3,因此x4的系数为：C。·23=120×8=960. (3)由题意可得第r+1项的系数a,=C0·2'(0≤r≤10)， 利用组合数性质rC=nCr之l,neN, 所以4-a+g+a-交wa-变w,c62=0空rC2 令k=r-1,则上式变形为：202C5(-2, 由二项式定可得：立c5(-2=-2=1, 因此原式=20×(-1)=-20 17.【详解】(1)解：设事件A=“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”， 则A=“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件B=“抽取1名学生，该学生体测成绩达到及格·等级”， 34,1.141 由全概率公式，可得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=二× 454360' 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到及格等级的概率为 60: (2)解：根据题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3， 可得Px=0=C=56,P(X==3=15 C-56 pX=2=CC-15 C 28' 所以随机变量X的分布列为 0 1 3 1 15 15 5 56 56 28 28 所以期望为E(X)=0× +1×5+2x15+3x-3x5-1 56 56 28 288 8 (3)解：设Y表示“及格”学生人数，Z表示“总得分”， 其中Z=3Y+10-Y=2Y+10, 所以=10甜名州2=2*10= 6 3 18.【详解】(1) D B.- 证明：取PB的中点D,连接CD; 因为PB=BC=PC,D为PB的中点， 故CD⊥PB; 因为平面PAB⊥平面PBC,且交于PB, 故CD⊥平面PAB: 因为ABC平面PAB,故CD⊥AB; 又因为AB⊥BC,且CDOBC=C,CD,BCC平面PBC, 故AB⊥平面PBC; (2) ZA B 取BC的中点O,AC的中点F,连接OF,PO; 因为O,F为BC,AC的中点，故OF IIAB; 由(I)可知，AB⊥平面PBC,故OF⊥平面PBC; 故OF⊥BC,OF⊥PO; 又因为△PBC为等边三角形，故PO⊥BC; 故以O为原点，0F,0C,0P所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系； 因为AB=4,PB=BC=PC=2V5, 故or号4B=2,0P=3,0C=0B=5: 故B0,-5,0,A4,-5,0,C(0,5,0,P(0,0,3), BA=(4,0,0),Ac=(-4,2V5,0,PC=(0,V5,-3; 设元=(x,y,z为平面PAC的法向量，则 元⊥AC (nLPC' 4C=-4+2=0,令y=25,则i=6,25.2: 故 PC=3y-3z=0 n.BA 则点B到平面PAC的距离为d= 12 12 |V9+4+125 (3) 力 E B 设存在点E,使得PE-=PB=元(0，-V5,-3=0,-V52,-3,元∈[0,1； 则4正=AP+PE=-4,5,3+(0,-5,-3=-4,5-52,3-32)； 设乃=(x,,名)为平面EAC的法向量； n2=(0,0,1)为平面ABC的法向量； 则，1花 元AE=-4x+V3(1-2)y+3(1-)z=0 故 n⊥AC n·AC=-4x+2W3y1=0 令片=25(1-元，则m=31-元，25(1-2)，21+2月： 设二面角E-AC-B为O, 则tan0=2 故cos0=10 19 m'n 2(1+元) 因为cos0= s10 V91-2°+12(1-2刘2+41+211 整理化简可得：1211+=25×[211-+41+2] 0+2=25-2小，化简得：1+i=5x-2小，解华：及-子 2PB 放所号丽，则 BE= —=2； PB 3 综上，存在一点E,使得二面角E-4C-B的正切值为 10 l9.【详解】(1)当a=0时，f(x)=xlnx-x,f'(x)=lnx, 令f'(x)=0,x=1,列表分析 (0,1) (L,+o∞) f'() 0 f(x) 单调递减 单调递增 故f(x)的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(L,+∞). (2)f(x)=(x-a)Inx-x+a,f(x)=Inx-ax,x0, 令g(x)=xlnx-a,分析g(x)的零点情况.g'(x)=lnx+1 令g)=0,x=1, 列表分析 (0,le) le (1e,+oo) 8(x) 0 + g(x) 单调递减 单调递增 8x)a=g白=- -0, 而f白=ln-ae=-1-ae,f'e=-2-ae2=-2+ae) fe)-2-g- ①若a≤-则fx=lnx-之0， 故f(x)在(e2,e2)内没有极值点； ②若-<a<-2,则/白=n。e<0,e=-e+aei)>0 fe)=22e2-a)>0 因此f'(x)在(e2,e2)有两个零点，f(x)在(e2,e2)内有两个极值点： @若-2≤a<0则r白--ln1-oe<0,fe)=-2+ae)s0,fe=2e-a>0, 因此f'(x)在(e2,e2)有一个零点，f(x)在(e2,e)内有一个极值点； 综上所述当ae(←0，-马时，f(x)在(e2,e)内没有极值点； 712 当aee 时，f(x)在(e2,e)内有两个极值点； 2 当ae子0时，)在(e,e)内有一个极值点 (3)猜想：x∈(1,1+a),fx)<a-1恒成立. 证明如下： 由(2)得g(x)在G,+o)上单调递增，且g()=-a<0,g1+a）)=1+a)ln1+a)-a. 因为当x>1时，nx>1-(), 1 所以g(1+a)>1+a)1- -a=0 a+1 故g(x)在(L,1+a上存在唯一的零点，设为x。.由 (L,x) Xo (xo,1+a) f'(x) 0 f(x) 单调递减 单调递增 知x∈(1,1+a）,f(x)<max{f(I),f(1+a)} 又f1+a)=ln(1+a)-1,而x>1时，nx<x-l(*), 所以f1+a)<(a+1)-1-1=a-1=f) 即x∈(1,1+a),f(x)<a-1 所以对任意的正数a,都存在实数t=1, 使对任意的x∈(t,t+o), 使f(x)<a-1. 补充证明(*)： 令F)=1nx+-1,x21.F'=--20, 所以F(x)在[1，+0)上单调递增 所以x>1时，Fw)>F0=0,即1nr>1- 补充证明(**) 令G)=nx-x+1,x≥1.G(m=1-1≤0， 所以G(x)在[1，+0)上单调递减 所以x>1时，G(x)<GI)=0,即Inx<x-1. 2025-2026学年江苏省邗江中学高二数学期末模拟试卷一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（   ） A．120 B．360 C．720 D．840 2．某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若，且，则下列描述正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．5月14日至16日，“2026成都国际友城合作与发展大会”（以下简称大会）在成都举行．大会期间，需从4位志愿者中选3位安排到三个不同的工作岗位，每个岗位1人，其中甲不能安排在岗位，则不同的安排方法共有（     ） A．9种 B．12种 C．15种 D．18种 4．如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 5．若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 6．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则的常数项为（    ） A． B．180 C． D．60 7．在直三棱柱中，，点为的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（   ） A．随机变量X的方差，期望，则 B．在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.009 D．为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为2.68万元 x/万元 1 2 3 4 5 y/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 10．某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（    ） A． B．某顾客消费200元，则其中奖概率为 C．的最大值为 D．当时，越大，越小 11．如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的动点（不包括端点），则下列结论正确的是（    ）    A．若为的中点，则平面 B．若为的中点，三棱柱被平面分成上下两部分多面体的体积之比为 C．若，平面与平面所成角的正切值为 D．三棱锥外接球半径的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则向量在向量上的投影向量的坐标是________ 13．甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 14．在三棱锥中，平面，，，，以AB为直径的圆弧在平面PAB内，点D是三角形PAB内圆弧上（不含边界）的动点，则异面直线CD与AB所成角的余弦值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．秦腔是陕西最具代表性的戏曲艺术，2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录.为研究是否喜爱秦腔与年龄之间的关系，并为传统文化保护提供数据支持，某文化调研队在西安市随机抽取了200名当地居民进行调查，得到如下列联表： 单位：人 秦腔 年龄 合计 40岁以下 40岁及以上 喜爱 45 45 90 不喜爱 75 35 110 合计 120 80 200 (1)年龄在40岁及以上的当地居民中，喜爱秦腔的概率为，求的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜爱秦腔与年龄有关？ 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 16．已知的展开式中第项的系数为，且的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数之比为． (1)求n的值； (2)求展开式中的系数； (3)求的值． 17．莆田二中高二某实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每位体测成绩“及格"的学生计3分，给每位“非及格”的学生计1分，求这10名学生的总得分的数学期望． 18．如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．设函数. （1）若求函数的单调区间； （2）若试判断函数在区间内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a都存在实数t满足：对任意的， 学科网（北京）股份有限公司 $