20.2 勾股定理的逆定理及其应用 寒假自学测 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

20.2 勾股定理的逆定理及其应用 寒假自学测 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册 一、单选题 1．已知、、为的三边，且满足，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A．b2﹣c2＝a2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：15 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 4．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．的三边分别为、、，由下列条件能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C．，， D． 6．在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 7．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在 中，，，于点，以为直径的半圆的面积为，那么的长是（    ） A． B． C． D． 9．下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 10．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．老师在黑板上画出了如图所示的4个三角形，则下列判断正确的是（   ） A．①不是等腰三角形 B．只有②是直角三角形 C．③是等边三角形 D．只有④是直角三角形 二、填空题 12．一个三角形的两边的长分别是3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为 ． 13．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为 ． 14．若三角形三边长分别为15，12，9，则这个三角形最长边上的高是 . 15．若a、b、c满足(a-5)2++=0，则以a，b，c为边的三角形面积是 . 16．△ABC的三边长分别为a、b、c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝3：4：5，其中能判断是直角三角形的个数有 个． 17．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 . . 三、解答题 18．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： （1）； （2）； （3）； （4）． 19．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？ （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）如果两个角是直角，那么它们相等； （3）全等三角形的对应边相等； （4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等． 20．小明向东走后，沿另一方向又走了，再沿第三个方向走回到原地．小明向东走后是向哪个方向走的？ 21．如图，在中，，，边上的中线，求的长．      22．如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 23．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，求证：∠AEF=90°． 24．我们知道3，4，5是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C B A B A B D 题号 11 答案 C 1．B 本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，勾股定理得逆定理，将等式化为或是解题的关键．先将等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得或，进而可得或，进而判定三角形的形状即可． 解：， ， ， ， 或， 或， （舍去负值）或， 是等腰三角形或直角三角形． 故选：B． 2．D 根据勾股定理逆定理可判断出A、B是否是直角三角形，根据三角形内角和定理可得C、D是否是直角三角形． 解：b2﹣c2＝a2 则b2＝a2+c2 △ABC是直角三角形，故选项A不符合题意； a：b：c＝3：4：5， 设a＝3x，b＝4x，c＝5x， a2+b2＝c2， △ABC是直角三角形，故选项B不符合题意； ∠C＝∠A﹣∠B， 则∠A＝∠B+∠C， ∠A＝90°， △ABC是直角三角形，故选项C不符合题意； ∠A：∠B：∠C＝9：12：15， 设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x， 则9x+12x+15x＝180°， 解得，x＝5°， 则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°， △ABC不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选：D． 本题考查了勾股定理逆定理的应用以及三角形内角和定理，正确利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义是解题的关键． 3．C 当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． ∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10， ∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 4．C 先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可． 理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：AB2=12+22=5, AC2=22+42=20, AD2=12+32=10, BC2=52=25, CD2=12+32=10, BD2=12+22=5， ∴AB2+AC2=BC2,AD2+CD2=AC2,BD2+AB2=AD2， ∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形， 故选C. 本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理. 5．B 本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 解：A．由不能判定为直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴c为斜边，，即是直角三角形，故本选项符合题意； C．∵，，， ∴， ∵， ∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴，即是锐角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 6．A 此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可． 解：∵，， 由得， 由得 ∴，即， ∴是直角三角形，又， ∴选项A符合题意， 故选：A． 7．B 利用勾股定理求出AC2的值，再由勾股定理的逆定理判定△ACD也为直角三角形，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD． 解：如图，连接AC． 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=2， ∵AC2+CD2=AD2， ∴△CDA也为直角三角形， ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AC×CD=． 故四边形ABCD的面积是．故选B. 本题考查勾股定理及其逆定理的应用．解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，求出AC的长． 8．A 根据以为直径的半圆的面积为，可求得，再由勾股定理的逆定理确定为直角三角形，然后借助的面积求解即可． 解：根据题意，以为直径的半圆的面积为， 则有，解得， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴， 即，解得． 故选：A． 本题主要考查了勾股定理的逆定理、半圆的面积等知识，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形是解题关键． 9．B 根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解． 解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误； ∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确； ∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误； ∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误； 故选B． 本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键． 10．D 结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 11．C 本题考查等腰三角形的判定，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理判定直角三角形．根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定方法解答即可． 解：图①中，另一个角为，因此该三角形中有两个角相等，该三角形是等腰三角形； 图②中，另一个角为，因此该三角形是直角三角形； 图③中，有两条边相等，又有一个内角是，从此该三角形是等边三角形； 图④中，因为，所以该三角形是直角三角形． 综上，判断正确的是C选项． 故选：C 12．4或 解：①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52=34； ②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16=42， 故答案是：4或． 13．45° 分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠BAC的度数． 解：连接BC． 根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2， ∵（）2＋（）2＝（2）2，即AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠BAC＝45°． 故答案为45°． 本题考查了几何体的展开图与勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理． 14． 首先根据勾股定理逆定理判定此三角形是直角三角形，然后利用等积法求斜边上的高即可. 因为，所以此三角形是直角三角形， 设最长边上的高为， 所以该三角形的面积为，解得. 故答案为. 本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边分别是a、b、c（c最大）满足a2＋b2＝c2，则三角形是直角三角形． 15．30 根据给出的条件求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理来判定三角形的形状，再根据三角形的面积公式即可求解． 解：∵， ∴a-5=0，b-12=0，c-13=0， ∴a=5，b=12，c=13， ∵52+122=132， ∴△ABC是直角三角形，． ∴以a，b，c为三边的三角形的面积=. 本题考查了特殊方程的解法与及勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 16．3． ①根据∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可解得∠B=90° ②根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，分别计算出角度，有90°角的即为直角三角形. ③把右边括号乘开，根据勾股定理判断即可. ④直接把三边长分别看成3，4，5，再根据勾股定理即可判断. ①∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠B＝90°，所以是直角三角形； ②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，故不是直角三角形； ③∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形； ④∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形． ∴其中能判断是直角三角形的个数有3个， 故答案为3． 本题考查了直角三角形的判定，务必清楚的两个锐角互余的三角形是直角三角形，两个短边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形. 17．120 cm 设三边的长是，，，根据周长即可求得x的值，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解． 设三边的长是，，， 则， 解得：， 则三边长是10 cm，24 cm，26 cm． ∵ ∴三角形是直角三角形， ∴三角形的面积是（cm） 故答案为：120 cm 考查勾股定理逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 18．（1）是；（2）是；（3）是；（4）不是 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． （1），， ， 线段a，b，c组成的三角形是直角三角形； （2），， ， 线段a，b，c组成的三角形是直角三角形； （3），， ， 线段a，b，c组成的三角形是直角三角形； （4）， ，， ， 线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形； 本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 19．（1）两直线平行，同旁内角互补．成立；（2）如果两个角相等，那么这两个角是直角．不成立；（3）三条边对应相等的三角形全等．成立；（4）如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．不成立 首先写出各自的逆命题，再根据所学知识进行判断： （1）逆命题：两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定定理，命题成立； （2）逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角；两个相等的角不一定是直角，命题不成立； （3）逆命题：如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；如果两个三角形的三条对应边相等，则它们一定全等，命题成立； （4）逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等；如果两个实数的平方相等，那么它们不一定相等，有可能互为相反数，命题不成立． （1）两直线平行，同旁内角互补，成立； （2）如果两个角相等，那么它们是直角；不成立； （3）如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；成立； （4）如果两个实数的平方相等，那么它们相等；不成立． 本题主要考查命题与逆命题，解此题的关键在于准确写出逆命题，且熟练掌握各个基本知识点. 20．向北或向南 根据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可确定答案． 解：如图，AB=80m，BC=BD=60m，AC=AD=100m， 根据602+802=1002得：∠ABC=∠ABD=90°， 故小明向东走80m后是向北或向南走的． 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意作出图形，难度中等． 21．． 首先利用勾股定理逆定理证明，再利用勾股定理计算出的长即可． ∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 此题考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，根据题意证明是解决问题的关键． 22．36 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 23．证明见解析. 利用正方形的性质得出AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°，设出边长为a，进一步利用勾股定理求得AE、EF、AF的长，再利用勾股定理逆定理判定即可． 证明：∵ABCD为正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°． 设AB=BC=CD=DA=a． ∵E是BC的中点，且CF=CD， ∴BE=EC=a，CF=a． 在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE2=AB2+BE2=a2， 同理可得：EF2=EC2+FC2=a2，AF2=AD2+DF2=a2． ∵AE2+EF2=AF2， ∴△AEF为直角三角形， ∴∠AEF=90°． 本题考查了正方形的性质，勾股定理、勾股定理逆定理的运用，注意在正方形中的直角三角形的应用． 24．（k是正整数）为勾股数，（k是正整数）也是勾股数 根据勾股数的定义：满足的三个正整数a、b、c称为勾股数，即可判断（k是正整数）与是不是一组勾股数． 因为， 所以（k是正整数）为勾股数． 如果a，b，c为勾股数，即，那么 ． 因此，（k是正整数）也是勾股数． 本题考查勾股数判断，解题的关键是熟练掌握勾股数的定义：满足的三个正整数a、b、c称为勾股数． 学科网（北京）股份有限公司 $