20.2勾股定理的逆定理及其应用寒假作业2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.2 勾股定理的逆定理及其应用 一、选择题 1．下列各组数为边长，不能组成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．，2， C．6，8，10 D．1，，2 2．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（　　） A．4 B． C． D． 3． 如图，在4×4的方格中，△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．如图，在小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中能与点M，N构成一个直角三角形的是 （　　） A．点A B．点B C．点C D．点 D 5．如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙三人分别在操场上的点O，A，B处，其两两之间的距离如图所示．若乙在甲的北偏西方向，则丙在甲的什么方向？（　　） A．南偏西 B．南偏西 C．西南方向 D．北偏东 7． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）.问户高、广各几何？” 意为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈.求门的高和宽各为多少？”如图，设户广为x尺，可列出方程（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．三角形三边长为6、8、10，那么最长边上的高为　 　． 9．已知的三边a，b，c满足，则一定是　 　三角形． 10．在中，若，则根据　 　可知　 　 11．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，.则　 　°． 12．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是　 　． 13．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为　 　 cm2． 14．如图，以△ABC的两边BC、AC分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，若S1=2，S2=3，AB2=5，则△ABC的形状是　 　三角形． 三、解答题 15．在△ABC中AB＝17，BC＝15，AC＝8，求△ABC的面积． 16．一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应为直角才符合要求，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图．请你判断这个零件符合要求吗？并说明理由． 17．如图，在中，于点，，，，求的度数． 18．如图是一块地的平面图，AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC＝90°，求这块地的面积． 19．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC＝15米，AD＝13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ 20．在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ 答案 1．A 解：A、，不能组成直角三角形，故选项符合题意； B、，能组成直角三角形，故选项不符合题意； C、，能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，能组成直角三角形，故选项不符合题意； 故答案为：A． 2．C 解：连接，如图所示， 在中，∵，，， ∴， ∵，， 且， ∴△CDA是直角三角形，且， 因此四边形的面积= ． 故答案为：C． 3．B 解：∵AC2＝32+42＝25，BC2＝22+42＝20，AB2＝12+22＝5， ∴AB2+BC2＝20＋5=25=AC2， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：B. 4．D 解：设题图中每个小正方形的边长均为1. A选项，连接MN，AN，因为. 所以 所以 不是直角三角形，故A不符合题意；B选项，连接 BM，BN，MN，因为 所以 所以△BMN不是直角三角形，故B 不符合题意；C选项，连接MN，CN，因为 所以 所以△CMN不是直角三角形，故C 不符合题意；D选项，连接DM，DN，MN，因为 所以 所以△DMN是直角三角形，故D符合题意. 故选D. 5．B 解：如图，连接． 根据勾股定理可以得到：，， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形． ． 故答案为：B． 6．B 解：，，， ，，， ， 是直角三角形，且， ， 丙在甲的南偏西40°方向， 故答案为：B． 7．B 解：由题意，广：x尺，高：(x+6.8)，对角线：10尺 由勾股定理得. 故答案为：B . 8． 解：∵， ∴三角形为直角三角形， 设斜边上的高为h， ∵三角形的面积， ∴． 故答案为：． 9．直角 解：∵， ∴， ∴一定是直角三角形， 故答案为：直角． 10．勾股定理的逆定理； 解：152+82=225+64=289=172， 即AC2+BC2=AB2， 根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠ACB=90°. 故答案为：勾股定理的逆定理；90°. 11．90 解：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，. ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 12．36 解：连接BC， ∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3 ∴BC＝5， ∵BC＝5，BD＝13，CD＝12 ∴BC2+CD2＝BD2 ∴△BCD是直角三角形 ∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+ ×5×12＝36。 故答案为：36 13．18 解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm， ∵周长为36cm， AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36， 解得x=3， ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm， ∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm）， ∴S△PBQ= BP•BQ= ×（9﹣3）×6=18（cm2）． 故答案为：18． 14．直角 解：∵以△ABC的两边BC、AC分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S1=2，S2=3， ∴AC2=3，BC2=2， ∵AB2=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， 故答案为：直角． 15．解：由题可知，∵AB＝17，BC＝15，AC＝8 ， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90° ∴ ． 16．解：这个零件符合要求，理由如下： 由图可知：，，，，， ，， 、是直角三角形， ，， 故这个零件符合要求． 17．解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 18．解：连接AC，在直角三角形ACD中，根据勾股定理可得，AC==5（cm） 又∵AC2+BC2=52+122=AB2=132 ∴三角形ACB为直角三角形 ∴S△ACB=S△ABC-S△ACD= 12 × 5 × 12- 12 × 4 × 3=24（cm2）。答：这块地的面积是24cm2. 19．解：电线杆和地面垂直，理由如下： 连接BD 在△ABD中，∵BD2+AB2＝52+122＝169＝132＝AD2， ∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°， ∴AB⊥BD， 在△ABC中，∵BC2+AB2＝92+122＝225＝152＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∴电线杆和地面垂直. 20．解：根据题意得：OA＝16海里/时×1.5小时＝24海里；OB＝12海里/时×1.5小时＝18海里， ∵OB2＋OA2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900， ∴OB2＋OA2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∵艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，∴∠BOD＝50°， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度． 学科网（北京）股份有限公司 $