1.3乘法公式课时提优练习2025-2026学年下学期北师大版数学七年级下册

**基本信息** 以“基础巩固-能力提升-思维拓展”分层设计，通过梯度化题型构建从公式认识到综合应用的知识巩固路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |练速度|平方差与完全平方公式的直接应用|基础选择、填空，强化公式识别与简单运算，培养符号意识| |练准确率|公式逆用及中档综合题|结合实际情境（如面积问题）、新定义题型，发展推理意识| |练思维|跨课时综合与拓展探究|项目式学习（图形验证公式）、规律探究题，提升创新意识与数学表达能力|

3乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 1. 运用乘法公式计算的结果是（     ） A. B. C. D. 2.（2025·达州期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A. B. C. D. 3.（2025·广州期中）已知，，则与的大小关系是（     ） A. B. C. D. 不能确定 4. 计算： （1）            ； （2）            ； （3）            。 5. 若，则的值为            。 6. 若，且，则            。 7. 已知，同时满足与，则的值是            。 8. 若，则            ，            。 9. 计算下列各题： （1）； （2）（兰州中考）。 10. 新趋势（过程性学习）（吉林中考）某同学化简出现了错误，解答过程如下： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （1）该同学解答过程从第            步开始出错，错误原因是            ； （2）写出此题正确的解答过程。 11.（2024·长沙中考）先化简，再求值：，其中。 第2课时 平方差公式的应用 第1关 练速度 对基础题达到眼疾手快 1. 下列各式中，与相等的是（     ） A. B. C. D. 2. 下列算式能用平方差公式计算的是 （     ） A. B. C. D. 3.（宜昌中考）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加，相邻的另一边减少，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积（     ） A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定 4. 如果一个长方形的长是，宽是，那么该长方形的面积是            。 5. 若，则            。 6. 已知，，求的值。 7.（1）计算：； （2）解方程：。 8. 小明利用如图所示的图形验证平方差公式，如图①，在边长为的大正方形上剪去一个边长为的小正方形，然后拼成如图②所示的梯形，请你帮助小明完成下列问题： （1）在图中标明有关的长度； （2）分别计算图①、图②的面积； （3）根据上述结果得出什么结论？ 第2关 练准确率 对中档题做到准确无误 9. 若，则等于（     ） A. B. C.6 D.8 10. 新题型 新定义 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如，，因此，这两个数都是“完美数”，则下列说法中错误的是（     ） A. 是“完美数” B. 最小的“完美数”是 C. “完美数”一定是的奇数倍 D. 小于的所有“完美数”之和是 11. 简便运算： (1) ； (2) 。 12. 新趋势 项目化学习（2025·东莞期末）如图①所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形。 （1） 设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示，，并写出上述过程所揭示的公式； （2） 拓展提升：试利用这个公式计算； （3） 迁移应用：计算。 13. 新题型 双空题 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”。例如：，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究。若将“智慧优数”从小到大排列，则第3个“智慧优数”是            ；第20个“智慧优数”是            。 14. 【观察】；。 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除。 【验证】（1） 的结果是3的            倍。 （2） 设偶数为（为整数），试说明比大3的数与的平方差能被3整除。 【延伸】（3） 比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是几？请说明理由。 第3课时 完全平方公式的认识 第1关 练速度 1. （兰州中考）计算：（     ） A. B. C. D. 2. 已知，，则代数式的值为（     ） A. B.12 C. D.6 3. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.根据下图你能得到的数学公式是（     ） A. B. C. D. 4. 若多项式恰好是另一个多项式的平方，则            . 5. （2024·乐山中考）已知，，则            . 6. 计算下列各题： 1. ； 2. ； 3. ； 4. . 7. 已知，，求： 1. ； 2. . 8. 先化简，再求值：，其中. 第2关 练准确率 9. 要使等式成立，整式应是（     ） A. B. C. D. 10. 已知，则代数式的值为（     ） A.3 B.6 C.9 D.12 11. 已知，则的值是（     ） A.6 B. C. D.4 12. （大庆中考）已知代数式是一个完全平方式，则实数的值为            . 13.（河北中考）现有甲、乙、丙三种不同的纸片（边长如图）. 嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需取丙纸片              张. 14. 新题型 新定义 （2025·安庆期末）定义 为二阶行列式，规定它的运算法则为 . （1）求 的值； （2）若 ，求的值. 15. 新趋势 项目式学习 （2025·烟台期末）【知识生成】（1）利用图①中图形整体与部分面积之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公式：            ，            ； 【直接应用】（2）已知，，求和的值； 【问题解决】（3）如图②所示，四边形是长方形，分别以，为边向外作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为，求长方形的面积； 【拓展应用】（4），求的值. 第3关 练思维 对压轴题实现思维突破 16. 我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题： ； ； ； （1）请根据上述规律填空：            ； （2）我们知道，两位数（个数上的数为，十位上的数为）都可以表示为，根据上述规律写出：            ，并用所学知识说明你的结论的正确性. 第4课时 完全平方公式的应用 1. 如图，在边长为 的正方形中央剪去一个边长为 的小正方形 ，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（     ） A. B. C. D. 2. 四张长为 、宽为 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为 的正方形，图中空白部分的面积为 ，阴影部分的面积为 .若 ， ， 则             ； 若 ， 则             . 3. 新趋势 数学文化 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个完全相同的直角三角形（直角边分别为 ，， 斜边为 ， 满足 ）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则 的值为             . 4. 计算： 1. ; 2. . 5.（河北中考）现有甲、乙、丙三种方形卡片各若干张，卡片的边长如图①所示 .某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图②和图③所示，其面积分别为 ，. 1. 请用含 的式子分别表示 ，； 当 时，求 的值. 2. 比较 与 的大小，并说明理由. 乙 乙 乙 乙 乙 丙 ③ 3乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 1.A 原式，故选A。 2.D 选项A： ，符合平方差公式的形式，不符合题意；选项B： ，可整理为，符合平方差公式的形式，不符合题意；选项C： ，交换顺序后为，符合平方差公式的形式，不符合题意；选项D： ，即，可化为，不符合平方差公式形式，符合题意，故选D。 3.A 因为，又因为，所以，所以。故选A。 4.（1） 。 （2） 。 （3） 因为，所以。 5.0 因为，且，所以。 6.2 因为，且，，所以。 7.3 因为，，又因为，所以。 8. 由平方差公式得，所以，。 9.（1）。 （2）。 10.（1）二 去括号时没有变号 ， （2）原式。 11. ，当时，原式。 第2课时 平方差公式的应用 1.A 。故选A。 2.D 选项A，B，C不能用平方差公式计算，不符合题意；选项D. ，能用平方差公式计算，符合题意。故选D。 3.C 原来的土地面积为，第二年的面积为，因为，所以面积变小了，故选C。 4. 该长方形的面积是。 5.5 因为，所以，，所以。 6. 。 7.（1）。 （2）因为方程左边可以化简为，所以原方程可变形为，解得。 8.（1）如图所示. （2），. （3）根据图形的变形方法，图①与图②的面积相等，即，由此验证了平方差公式的正确性. 9.B.因为，所以.所以.所以.故选B. 10.D由于，因此20是“完美数”，所以选项A不符合题意；两个连续偶数的平方差最小为4，因此“完美数”最小为4，所以选项B不符合题意；两个连续偶数的差是2的奇数倍，两个连续偶数的差是2，所以两个连续偶数的平方差是4的奇数倍，即“完美数”一定是4的奇数倍，所以选项C不符合题意；小于30的所有“完美数”的和为，因此选项D符合题意.故选D. 11.（1）. （2）. 12.（1），，因为，所以. （2）. （3）. 13.15 52依题意，当，时，则第1个“智慧优数”为；当，时，第2个“智慧优数”为；当，时，第3个“智慧优数”为；当，时，第4个“智慧优数”为；当，时，第5个“智慧优数”为；当，时，第6个“智慧优数”为；当，时，第7个“智慧优数”为……当时有4个“智慧优数”，同理时有5个，时有6个，列表如下： 当，时，“智慧优数”为44；当，时，“智慧优数”为48；当，时，“智慧优数”为52；当，时，“智慧优数”为56，第1至第10个“智慧优数”分别为8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，第11至第20个“智慧优数”分别为33，35，36，39，40，44，45，48，51，52.故答案为15，52. 14.（1）15. （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，所以，因为为整数，所以能被3整除. （3）余数为3，理由如下：设这个数为，则大3的数为，，所以被6除余3，即余数为3. 第3课时 完全平方公式的认识 1.A.故选A. 2.D因为，，所以，所以，所以.故选D. 3.B从题图中可知，阴影部分的面积是，剩余部分的面积是，整个图形的面积是，阴影部分的面积可表示为.故选B. 4.9根据完全平方公式可得，. 5.29因为，，所以，所以. 6.（1）. （2） . （3） . （4） . 7.（1） 因为 ， ， 所以 . （2） 因为 ， ， 所以 . 8. . 因为 ， 所以 ， 原式 . 9.B 由题意得 . 故选B. 10.C 由 ， 得 ， 则原式 . 故选C. 11.D 由 得 ， 所以 . 故选D. 12. 或 根据题意可得 ， 即 ， 解得 或 . 13.4 设取两纸片 张才能用它们拼成一个大正方形 （）， 所以 是一个完全平方式， 所以 为4. 14.(1) . （2） 因为 ， 所以 ， 即 ， 解得 . 15.（1） 利用正方形的面积公式以及分割法求面积两种方法即可得出结论. （2） 因为 ， ， 所以 ， 所以 . ， 所以 . （3） 设 ， ， 由题意， 得 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以长方形 的面积为12. （4） 因为 ， 设 ， ， 所以 ， ， 所以 . 16.（1）1444 . （2） 说明： 因为 ， ， 所以 . 第4课时 完全平方公式的应用 1.C . 2.11 由题意可得空白部分的面积 为2个大直角三角形 （直角边为 ，）、2个小直角三角形 （直角边为 ，） 和中间正方形 （边长为 ） 的面积和. 所以 . 因为 ， ， 所以 . 因为大正方形的面积为 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ， 整理得 ， 所以 ， 即 ， 故答案为 ，. 3.89 因为大正方形面积为11， 所以 ①. 因为小正方形的面积为3， 所以 ， 所以 ②. ① - ②得 ， 所以 ， 所以 . 4.（1） . （2） . 5.（1） 依题意得三种方形卡片的面积分别为 ， ， ， 所以 ， ， 所以 ， 所以当 时， . （2） . 理由： 因为 ， ， 所以 . 因为 ， 所以 ， 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $