1.3 乘法公式(第4课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

数学 七年级下册（北师大版） 乘法公式（第4课时） 自主导学Q典例精析 例题1计算：(2x-3y)2+(2x-3y)(2x+3y)-3x(2x-3y)。 【分析】按运算顺序，先算乘法，再合并同类项即可得。 【解答】原式=4x2-12xy+9y2+4x2-9y2-(6x2-9xy)=4x2-12xy+9y2+4x2-9y2-6x2+9xy=2x2-3xy。 【点拨】在整式运算时，要先观察算式中包含哪些运算，如果有不同级的运算，那么要 根据混合运算顺序的规定，先算乘除，再算加减，有括号要先算括号内的式子；去括号时要 注意括号前是负号时，原括号里的各项符号要改变。 例题2已知a+b=7,ab=-9,求下列各式的值：(1)a2+b2;(2)a2-ab+b2。 【分析】(1)想要得到a2+b2的值，可将公式(a+b)2=a2+2ab+b2变形为a2+b2=(a+b)2-2ab: (2)由a2+b2=(a+b)2-2ab,得2-ab+b2=(a+b)2-3ab。 【解答】(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=72-2x(-9)=67; (2)2-ab+b2-(a+b)2-3ab=72-3×(-9)=76。 【点拨】本题考查应用完全平方公式求代数式的值，解题的关键是运用公式将代数式变 形为含有(a+b),ab的形式，然后整体代人求值。 基础巩固达标闯关 1.已知(x+3)2=x2+6x+k-1,则k= 2.已知(a+b)2=13,ab=1,则(a-b)2 3.若(x-2y)2=(x+2y)2+A,则A= 4.计算：(x+1)2(x-1)2= 5.若(y+a)2=y2-y+b,则a= ,b= 6.已知x+y=5,y=3,则x2+5xy+y2= 7.如果4x2-kx+16是一个完全平方式，那么k的值是（) A.2 B.±4 C.8 D.±16 8.下列计算正确的是() A.(a-b)2=a2-b2B.(a+3b)2=a2+9b2C.(b-a)(a+b)=-d2+b2D.(x-9)(x+9)=x2_-9 9.若(x-100)24(x-102)2=6,则(x-101)2的值为() A.0 B.2 C.4 D.6 10.4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一 个边长为(a+b)的正方形，则阴影部分的面积为( A.b2-2ab B.d2-2b2 C.a2+2b2 D.2ab-b2 第10题图 28 整式的乘除 第一章 11.用完全平方公式计算： (1)87; (2)5042。 能力提升螂综合拓展 12.计算： 货+5-5-5： (2)(m+n)(m-n)(m2+n2)(m4-n); (3)3a+2b+43a+2b-4 (4)3(m+1)2-5(m+1)(m-1)+2(m-1)2。 13.【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一 半也可以表示为两个正整数的平方和。 【验证】如(2+1)2+(2-1)2=10为偶数。请把10的一半表示为两个正整数的平方和。 【探究】设【发现】中的两个已知正整数为m,n,请论证【发现】中的结论正确。 中考链接©真题演练 14.(2025·成都)多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加 上的单项式可以是 (填一个即可)。 15.(2023.宿迁)若实数m满足(m-2023)2+(2024-m)2=2025,则(m-2023)(2024- m)= 29参考答案与提示 即3n+5x×1×m=4。所以n=号。当x-2=-1时，3n+ 换一组19×13-20×12=247-240=7。证明：设方框框出 的四个数分别为a,a+1,a+7,a+8,则(a+1)(a+7) n(x+2y)(x-2y)=4,即3n+5×(-1)×n=4。.n=-2。综上， -a(a+8)=2+8a+7-2-8a=7。(2)①12×14-6x20= n的值是号或-2.13.2+4x+414.解：原式=+ 168-120=48。②再换一组9x11-3×17=99-51=48。证明： 设选择的四个数的中间数字为x,则四个数为x-1,x+ 2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2,当x=1,y=-2时，原式=2×12+ 1,x-7,x+7,则(x-1)(x+1)-(x-7)(x+7)=x2-1-(x2 (-2)2=6.15.解：(1)由图可知S=(a+2)(a+1)= 49)=x2-1-x2+49=48.17.解：原式=(x2+4x+4)-(x2+3) 2+3a+2,S2=(5a+1)×1=5a+1,当a=2时，S+S2=4+6+2+ =x2+4x+4-x2-3=4x+1。当=-2时，原式=4×(-2)+1=-8+ 10+1=23。(2)S>S2。理由：S-S2=a2+3a+2-5a-1= 1=-7.18.解：原式=(4a2+4ab+b2-4a+b2)÷2b=(4ab+ -2a+1=(a-1)2。因为a>1,所以(a-1)>0,所以S>S2o 2b2)÷2b=2a+b。当a=2,b=-1时，原式=2×2-1=3。 3乘法公式（第4课时） 第二章相交线与平行线 1.10293.-8y4-2415-号4 1 1两条直线的位置关系（第1课时） 1.140°2.45°3.∠2-∠1=90°4.75°5.B 6.347.D8.C9.B10.D11.解：(1)872= 6.D7.解：设这个角为的度数x,则它的余角为90° (90-3)2=902-2×3×90+32=8100-540+9=7569。 (2)5042=(500+4)2=5002+2×4×500+42=250000+4000+ -x,补角为180°-x。依题意有180°-x=4(90°-x),解得 =60°。所以这个角的度数为60°。8.解：(1)因为 16=254016.12.解：(1)原式=42+5x+25- ∠BOC与∠BOD互为余角，所以∠BOC+∠BOD=90°。 4r-5+25）=4r+5x+25-4r45x-25-10。 (2) 因为LB0C=4LB0D,所以LB0C=号×90°=72。 原式=(m2-n2)(m+n2)(m4-n4)=(m4-n)2=m8-2mn+n8。 (2)因为∠AOC与∠B0C互为补角，所以∠AOC+ ∠B0C=180°。所以∠A0C=180°-∠B0C=180°-72°= (3)原式=3a+b了-4-9r+3h+16-16。 4 108°。因为0E平分∠A0C,所以∠C0E=1∠A0C= 2 (4)原式=3(m2+2m+1)-5(m2-1)+2(m2-2m+1)=3m2+ 6m+3-5m2+5+2m2-4m+2=2m+10.13.解：【验证】 号×108-54。所以∠B0E=∠00E+∠B0C=54+72 10的一半等于5,5=1+4=12+2。【探究】理由： 126°。9.(1)2(2)6(3)12(4)n(n-1) (m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2n+n2-2m2+2n2=2(m2+ 10.144°11.B12.B13.C n),所以两个已知正整数之和与这两个正整数之差的 1 平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两 两条直线的位置关系（第2课时） 个正整数的平方和。14.4x(答案不唯一)15.-1012 1.垂直2.5.133.C4.C5.C6.解： 如图，AD⊥BC。 提示：根据a2+b2=(a+b)2-2ab可得(m-2023)2+ (2024-m)2=[(m-2023)+(2024-m)]2-2(m-2023)(2024- D m)=2025。整理，得2(m-2023)(2024-m)=-2024。 4整式的除法 1.(1)2ab(2)ab(3)4x3y2 (4)-2×109 2.2+2ab+b2-13.34.a-2b5.10a+12b6.-3 7.B8A9.D10.A11解：()原式=号 2 6xy÷4xy2=-4xy2÷4xy2=-x2。（2)原式=9y2÷ (-9xy)-8.xy÷xy=-y-8y=-9y。(3)原式=y3-xy2+ 2x3z。 (④)原式-子g0片6122 12.解：原式=(92+462+12ab-9r+462-602+6ab)片1b= (26+18ab)片b=46+36a。将a=号，6=子代入，原 第6题答图 式=4x子+36x了)=-9.13.解：(1)由已知得 7.解：如图，沿着0E的方向 A=-2xy-3y2-x2+4y2+2x2+2xy=x2+y2。（2)x+y=4, 跑，最短的距离为OE的长。 8 y=3,∴A=x2+y2=(x+y)2-20y=42-2x3=10.14.解：(1) 解：(1)因为由平角定义∠AOB= 由图形，得SAa312rS4T30广-孕e。 180°，∠AOD:∠BOD=3:1,所以 ∠B0D=45°，∠A0D=135°。又因为 OD平分∠BOC,所以∠COD=∠BOD= 10 整个健身场地的面积=(a+4a+5a)(1.5a+3a+1.5a)=10a· 45°。所以∠A0C=∠AOD-∠C0D=90°。 6a-60d,S=60-12r-2c-1d。(2)由题 (2)因为∠AOC=90°，所以AB⊥ 第7题答图 意，得607：12-5。答：整座健身馆的面积是成年人 OC。9.B 活动场所面积的5倍。15.解：（2b)(-b)÷ 2探索直线平行的条件（第1课时） 号(ab-号或3wj[(2b(] 1.LBGC DE CG AB 2.AB DE BE CD 3.A4.D5.解：AB∥CD。理由：因为∠1+ 6.16.解：(1)①3x9-2x10=27-20=7。②再 ∠CGE=180°，∠1=72°，所以∠CGE=108°。因为∠2= 108°，所以∠2=∠CGE。所以AB∥CD。6.解：