期末复习专项--找次品（专项练习）2025-2026学年人教版五年级下册数学

**基本信息** 以“3份均分最优策略”为核心，通过分层题型构建“概念理解-策略应用-逻辑推理”的完整方法体系，培养推理意识与系统思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础分组|选择1-3、填空9-12|物品分3份（尽量均分），天平称重定位次品|从“2-3物品1次”到“8-9物品2次”，建立数量与次数的对应关系| |次数确定|选择4-5、填空8、11|“3ⁿ原则”：n次最多辨3ⁿ个物品|通过15/18/26/27等数量，推导“最少次数”计算模型| |复杂推理|选择6-7、解答15-20|多次品逻辑分析、轻重未知情况处理|从单次品到双次品，从已知轻重到未知轻重，提升推理深度|

期末复习专项--找次品（核心知识点） 2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级下册 一、选择题 1．有8瓶同样的钙片，其中1瓶被吃了3片。要找出这瓶比较轻的钙片，如果用天平称，下面（    ）种分法比较合理。 A． B． C． D． 2．有26个零件，其中1个是次品（比较轻一些），第一次用天平称，方法（    ）最好。 A．天平左右两边各放8个，旁边放10个 B．天平左右两边各放9个，旁边放8个 C．天平左右两边各放10个，旁边放6个 D．天平左右两边各放13个 3．有7个同样的可乐瓶，其中6个同样重，1个轻一些。如果要用天平称，下面表示称一次就刚好找出较轻的可乐瓶的是（    ）。（表示可乐瓶） A． B． C． D． 4．土笋冻是福建泉州的特色小吃，是一种由特有产品加工而成的冻品。李阿姨有28包土笋冻，其中27包质量相同，另有1包轻一些。如果用天平称，至少称（    ）次才能保证找出这包土笋冻。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．王阿姨要从14个同一种型号的零件中找出1个质量较轻的次品，李叔叔要从27个零件中找出1个质量较重的次品。用天平称，要保证用最少的次数把次品找出来，（    ）。 A．王阿姨用的次数少些 B．李叔叔用的次数少些 C．用的次数一样多 D．无法确定 6．桌上有8个球，编号分别是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻一些。为了找出轻球，小乐用天平称了三次，结果如下： 第一次：①②比③④轻； 第二次：⑤⑥比⑦⑧轻； 第三次：①③⑤与②④⑧一样重。 那么，两个轻球分别是（    ）号。 A．①和⑤ B．②和⑥ C．②和⑤ D．①和⑥ 7．下列说法中正确的是（    ）。 ①用天平找次品，最好把所称的物品分成相等的3份，就能保证用最快的速度找出次品。 ②一把钥匙开一把锁。现在有4把钥匙、4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试6次就一定能配好全部的钥匙和锁。 ③用天平找次品时，所称物品的数目与称的次数成倍数关系。 ④有3个零件，其中1个是次品，但是不知道是轻还是重。用天平称，至少称1次就能够找到。 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题 8．端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称( )次才能保证找到这个轻一些的粽子。 9．8颗珍珠中有一颗质量较轻，把较轻的珍珠找出来，可以把8颗珍珠分成( )份，每份个数分别是( )颗，这样至少称( )次就能保证找出次品来。 10．有八个编号是①至⑧的小球，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①②比③④重；第二次⑤⑥比⑦⑧轻；第三次①③⑤与②④⑧一样重。那么，两个轻球的编号是( )和( )。 11．有8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称( )次才能保证找到次品；天平左、右两边各放( )个，有可能一次就找出次品。 12．有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用( )的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放( )包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是( )；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称( )次。 13．一箱橙子有15袋，其中有14袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，至少称（    ）次能保证找出这袋橙子来。（质量不足的这袋为次品）（请补全图表示称的过程） 14．寻找假珍珠。 盒子里有18颗外表完全相同的珍珠，已知里面有一颗是假的，比真的轻一些。请你用没有砝码的天平找出假珍珠，至少需要称几次？下面是小乐和小芸设计的两种方案，但都不完整，请你补充完整。 (1)小乐的方案： ①将18颗珍珠平均分为2份（18＝9＋9）。天平两边各放1份，( )的一边有假珍珠。 ②再将有假珍珠的1份平均分为( )份，称( )次就可以找到有假珍珠的1份，判断过程是_______________________________________________________。 ③_______________________________________________________。 ④共称了( )次。 (2)小芸的方案 ①将18颗珍珠平均分3份（18＝6＋6＋6）。任取2份放在天平上，若两边平衡，则( )的1份有假珍珠；若不平衡，则( )的1份有假珍珠。 ②_________________________________________________________________________。 ③_______________________________________________________。 ④共称了( )次。 三、解答题 15．盒子里有18颗外表完全相同的珍珠，已知里面有一颗是假的，比真的轻一些，请你用没有砝码的天平找出假珍珠，至少要称几次？ 下面是乐乐和芸芸设计的两种方案，但都不完整，请你将它补充完整。 乐乐的方案 芸芸的方案 1.将18颗珍珠分为2份（18＝9＋9）。 天平两边各放1份，（    ）的一边有假。 2.再将有假的1份分为（    ）份，称（    ）次就可找到有假珍珠的1份，判断过程是 _______________________________________ _______________________________________ 3._______________________________________ ________________________________________ 4.共称了（    ）次。 1.将18颗珍珠分为3份（18＝6＋6＋6）任取2份放在天平上，若两边平衡，则（    ）的一份有假；若不平衡，则（    ）的1份有假。 2.________________________________ __________________________________ __________________________________ 3._______________________________ 4.共称了（    ）次。 若是在26颗珍珠中有1颗是假的，至少要称几次才能找到假珍珠呢？请说说你的想法。 16．桌面上有一架天平和12个大小相同的金属球，其中有11个是铁球，1个是铅球，铅球比铁球重一些。 （1）如果小丽把12个金属球平均分成3份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ （2）如果小丽把12个金属球平均分成4份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ （3）如果小丽把12个金属球平均分成2份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ 17．某工厂生产的18个羽毛球中有一个重一些，这样的球会影响运动员的比赛水平。用天平称，至少称几次能保证找出这个羽毛球？ 18．有8个球，其中1个轻一点，把这些球放在天平上称几次，能找出轻的球？写出方法。 19．有9袋白糖，其中有8袋都是千克，另一袋也近似于千克，你能利用一架没有砝码的天平找出这袋白糖吗？能判断出它比千克多还是少吗？请说明你的办法。 20．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有几个？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D B C D C C A 1．D 天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小。所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。 把8瓶钙片分成三份，分别是：3瓶、3瓶、2瓶；先把两份3瓶的分别放在天平的两边，如果平衡，就把剩下的两瓶分别放在天平的两边，即可找出轻一些的那瓶来。如果不平衡，看哪边轻，把稍轻的那边的3瓶，取2瓶分别放在天平的两边，若平衡就是没往天平上放的那一瓶，若不平衡，哪边轻哪边就是那瓶轻的，所以至少要称2次，才能保证找出那瓶轻一些的钙片。 故答案为：D 本题考查了找次品，找次品时，第一次分组尽量将样品分成数量相等或数量相近的3份。 2．B 天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。 把26个零件分成三份，分别是：9个、9个、8个。 先把两份9个的分别放在天平的两边， ①如果平衡，就把剩下的8个分成三份分别是：3个、3个、2个，先把两份3个的分别放在天平的两边，如果平衡，则较轻的在剩余的一堆，将其放在天平的两边，即可找出较轻的一个；如果不平衡，则较轻的在上扬的一份，将其分成3份，取其中两份放在天平的两边，即可找出较轻的一个； ②如果不平衡，看哪边轻，把稍轻的那边的9个，平均分成3份，取其中两份，放在天平的两边，如果平衡，则较轻的在剩余的一份，将其分成3份，取其中两份放在天平的两边，即可找出较轻的一个；如果不平衡，则较轻的在上扬的一堆，将其分成3份，取其中两份放在天平的两边，即可找出较轻的一袋。 故答案为：B 该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。 3．C 因为7个同样的可乐瓶中有1个较轻，用天平称重时，如果天平不平衡，天平上升的那端就会有较轻的可乐瓶；如果天平平衡，较轻的可乐瓶就在剩下的可乐瓶中。 A．天平两边各放2瓶可乐瓶，天平平衡，较轻的可乐瓶在剩下的3瓶中，称一次，找不出较轻的可乐瓶，不符合题意； B．天平两边各放2瓶可乐瓶，天平不平衡，较轻的可乐瓶在天平上升的那2瓶中，称一次，找不出较轻的可乐瓶，不符合题意； C．天平两边各放3瓶可乐瓶，天平平衡，较轻的可乐瓶就是剩下的那1瓶，称一次就刚好找出较轻的可乐瓶，符合题意； D．天平两边各放3瓶可乐瓶，天平不平衡，较轻的可乐瓶在天平上升的那3瓶中，称一次，找不出较轻的可乐瓶，不符合题意。 故答案为：C 本题考查找次品问题，根据天平称重的情况进行分析。 4．D 要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 将28包分成3份：9，9，10；第一次称重，在天平两边各放9包，手里留10包； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的10包分为3，3，4，在天平两边各放3包，手里留4包， a.如果天平平衡，则次品在手里4包中，接下来，将手里的4包分为1，1，2，在天平两边各放1包，手里留2包， ①如果天平平衡，则次品在手里的2包，将这2包分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的一边； b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3包中， 接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的9包中，将这9包分成三份：3，3，3，在天平两边各放3包，手里留3包， a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3包中， 接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。 b.如果天平平衡，则次品在手中的3包中。 接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。 综上可得：至少称4次能就能保证可以找出这一包。 故答案为：D 考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 5．C 找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 王阿姨：将14个分成（5、5、4），称（5、5），只考虑最不利的情况，不平衡，次品在5 个中；将5个分成（2、2、1），称（2、2），不平衡，次品在2个中；将2分成（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。 李叔叔：将27个分成（9、9、9），称（9、9），无论平衡不平衡，都可确定次品在9个中；将9个分成（3、3、3），称（3、3），无论平衡不平衡都可确定次品在3个中；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。 王阿姨和李叔叔都需要称3次，用的次数一样多。 故答案为：C 在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 6．C 根据前两次的结果，可知①、②、⑤、⑥中至少有两个是轻的。根据第三次结果，①③⑤与②④⑧一样重，那么前后应各有一个轻点的球，对比第一次和第二次的结果，可以推断出②和⑤是轻的。 根据第一次称得的结果可知：①和②中至少有一个是轻的； 根据第二次称得的结果可知：⑤和⑥中至少有一个是轻的； 根据第三次称得的结果可知：①、②、⑤中只能是⑤和②较轻，天平才平衡。 所以，两个轻球编号分别是②和⑤。 故答案为：C 本题考查了找次品，有一定逻辑推理能力，掌握天平找次品的方法是解题的关键。 7．A 用天平一次称两个，不用砝码，一边托盘放一个，看天平是否平衡，如果平衡，可以知道两个一样重，余下的那一个就是次品，但还不知道次品是轻还是重，需要用一个合格品和次品比较得出次品的轻重；如果第一次称不平衡，可知其中一个是次品，我们可以用重的一个再和余下的那一个比较，判断次品的轻重。 ①次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重。找次品方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1；用天平秤其中相等的2份，若平衡，次品在余下的一份中，若不平衡，次品在稍高或稍低的1份中，这样一次就能排除掉的物品，是最快捷的方法，所以选项说法正确。 ②想极端情况： 第1步，任意拿1把钥匙开锁，尝试3次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需3次； 第2步，再任意拿1把钥匙开锁，尝试2次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需2次； 第3步，再任意拿1把钥匙开锁，尝试1次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需1次； 最后1把钥匙与最后的锁肯定配对不用试。 所以最多要试3＋2＋1＝6（次）；所以选项说法正确。 ③需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间；但是不成倍数关系，所以选项说法错误。 ④把3个零件中的两个放在天平的两端，如果天平平衡，则次品就是余下的那一个，天平上的两个都是合格品，把一个合格品取下，换上次品，看次品那边是上升还是下降，上升就是比合格品轻，下降就是比合格品重，天平称两次可得结果；如果把3个零件中的两个放在天平的两端，如果天平不平衡，则其中有一个是合格品，一个是次品，但不知道哪一个是次品，把重的那一个取下，换上余下的那一个，如果重的依然还重，则重的那个就是次品，如果换上后，天平平衡，则轻的那个就是次品，还是称两次就能判断出次品是轻还是重。所以用天平至少称2次就能判断出次品比合格品轻还是重，选项说法错误。 故答案为：A 本题主要考查找次品方法，本题也可以用特值法验证。 8．3 称第一次：把15个分成（5，5，5），天平两边各放5个，出现两种情况：平衡，轻一点的粽子在未称的5个里面；不平衡，轻一些的粽子在天平翘的高的那一端； 称第二次：把5个分成（2，2，1），天平两边各放2个，出现的情况：平衡，轻一些的粽子就是未称的粽子；不平衡，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端； 称第三次：把2个分成（1，1）天平两边各放一个，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端。 由分析可知：端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称3次才能保证找到这个轻一些的粽子。 9． 3 3、3、2 2 找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 因为本题中有8颗珍珠，尽可能的平均分成3组（3、3、2），称一次可以找出次品所在的组，再称一次就能找出这个次品，1＋1＝2（次），至少称2次能保证找出次品来。 所以8颗珍珠中有一颗质量较轻，把较轻的珍珠找出来，可以把8颗珍珠分成3份，每份个数分别是3、3、2颗，这样至少称2次就能保证找出次品来。 10． ④ ⑤ 一共有2个轻球，根据“第一次①②比③④重；第二次⑤⑥比⑦⑧轻”，则③和④中至少有一个轻球；⑤和⑥中至少有一个轻球；据此可知：①②⑦⑧都是标准球。 第三次称球，①③⑤与②④⑧一样重，剩下的⑥和⑦不可能同时是轻球，即两边各有一个轻球。只能是左边的⑤和右边的④同时是轻球。据此解答即可。 分析第一次，轻的球是③和④中的一个。 分析第二次，轻的球是⑤和⑥中的一个。 分析第三次，剩下的⑥和⑦不可能同时是轻的，两侧各有1个轻的。 如果左侧⑤是轻的，则右侧④是轻的，假设成立。 故，两个轻球的编号是④和⑤。 考查如何找次品及逻辑推理能力。 11． 2 1 把这8个乒乓球分成3个、3个、2个三组，先在天平两边各放3个： （1）如果天平平衡，说明次品在没称的2个里面，再把这2个乒乓球分别放在天平秤两端，天平秤较高的那端乒乓球，即为次品； （2）若天平秤不平衡，从天平秤较高端的一侧任意取出2个，放在天平两边，如果平衡，没称的那个就是次品；如果不平衡，较轻的一个就是次品； 若左右各放1个球：若天平不平衡，轻的一侧即为次品，一次即可找到；若平衡，次品在剩下的6个中，但题目仅要求“有可能”一次找到（即次品恰好在被称量的两球中时），因此左右各放1个符合条件。据此解答即可。 由分析可知： 有8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称2次才能保证找到次品；天平左、右两边各放1个，有可能一次就找出次品。 12． 天平称 2 轻的那包 2 找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 有5包奶糖，其中有一包是次品，比其它略轻。 第一次称重：先分成（2，2，1），天平两边各放2包，①若天平平衡，则次品就是剩下的1包；②若天平不平衡，次品就在较轻的那2包中； 第二次称重：把2包分成（1，1），天平两边各放1包，次品就是较轻的那1包。 有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用天平称的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放2包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是轻的那包；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称2次。 13．见详解 先将 15 袋平均分成 3 份，每份 5 袋，在天平两端各放 5 袋， 若天平平衡，则次品在“没上称”的那 5 袋中；若不平衡，则次品在“较轻”的那 5 袋中。 再将这 5 袋分成 2、2、1 三份，在天平两端各放 2 袋，若天平平衡，则次品就是“剩下”的那 1 袋；若不平衡，则次品在“较轻”的那 2 袋中。 最后把这 2 袋中的 1 袋对 1 袋称，若天平不平衡，轻的一方就是次品；若天平平衡，未上称的那一袋就是次品。 一箱橙子有15袋，其中有14袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，至少称3次能保证找出这袋橙子来。 14．(1) 轻 3 1 见详解 见详解 3 (2) 没称 轻 见详解 见详解 3 已知18颗珍珠中有一颗是假的，比真的轻一些，根据小乐和小芸的方案，用没有砝码的天平找出假珍珠，把两人的方案补充完整。 （1）小乐的方案： ①将18颗珍珠平均分为2份（18＝9＋9）。天平两边各放1份，（轻）的一边有假珍珠。 ②再将有假珍珠的1份平均分为（3）份，称（1）次就可以找到有假珍珠的1份，判断过程是称其中任意2份，若天平平衡，则没称的1份中有假珍珠；若不平衡，则轻的1份中有假珍珠。 ③与第二步相同，将有假珍珠的1份再平均分为3份，每份1个，称一次便可知道哪颗是假珍珠。 ④共称了（3）次。 （2）小芸的方案 ①将18颗珍珠平均分3份（18＝6＋6＋6）。任取2份放在天平上，若两边平衡，则（没称）的1份有假珍珠；若不平衡，则（轻）的1份有假珍珠。 ②将有假珍珠的1份平均分成3份（2，2，2），称其中任意2份，若天平平衡，则没称的1份有假珍珠；若不平衡，则轻的1份有假珍珠。 ③将有假珍珠的1份中的2颗珍珠分别放在天平两边称一次，轻的一颗为假珍珠。 ④共称了（3）次。 15．填表见详解；3次；想法见详解 根据乐乐和芸芸设计的两种方案，把表格补充完整。 根据找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此写出自己的想法。 乐乐的方案 芸芸的方案 1.将18颗珍珠分为2份（18＝9＋9）。 天平两边各放1份，（轻）的一边有假。 2.再将有假的1份分为（3）份，称（1）次就可找到有假珍珠的1份，判断过程是称其中任意两份，天平平衡，则没称的1份有假；不平衡，则轻的1份有假。 3.将有假的1份再平均分成3份，每份1个，称一次便可知哪颗是假珍珠。 4.共称了（3）次。 1.将18颗珍珠分为3份（18＝6＋6＋6）任取2份放在天平上，若两边平衡，则（没称）的一份有假；若不平衡，则（轻）的1份有假。 2.将有假的1份平均分成3份（6＝2＋2＋2），称其中任意两份，天平平衡则没称的1份有假；不平衡则轻的1份有假。 3.有天平称有假的1份中的两个，轻的一个是假的。 4.共称了（3）次。 若是在26颗珍珠中有1颗是假的，至少要称几次才能找到假珍珠呢？请说说你的想法。 将26颗珍珠分成3份（26＝9＋9＋8），第一次称，天平两边各放9颗，如果天平不平衡，假珍珠就在较轻的9颗中；如果天平平衡，则假珍珠在剩下的8颗中；考虑最不利原则，假珍珠在数量多的里面，把有假珍珠的9颗平均分成3份（9＝3＋3＋3），第二次称，天平两边各放3颗，如果天平不平衡，假珍珠就在较轻的3颗中；如果天平平衡，假珍珠在剩下的3颗中；最后把有假珍珠的3颗平均分成3份（1，1，1），第三次称，天平两边各放1颗，如果天平不平衡，假珍珠就是较轻的那一颗；如果天平平衡，假珍珠是剩下的那一颗。所以至少要称3次保证才能找出找到假珍珠。 答：至少要称3次保证才能找出找到假珍珠。 16．（1）3次 （2）3次 （3）3次 （1）先把12个球平均分成3份，每份是4个，任取两份进行称量，可以确定铅球在较重的那一份中；再把重的这份分成（2，2）进行称量，此时可以确定铅球在哪一份中；最后把重的那2个球分成（1，1），进行称量，最终找出铅球； （2）先把12个球平均分成4份，每份是3个，任取两份进行称量，要称两次，从而确定铅球在哪一份（3个）中；再把这份的3个球分成（1，1，1）进行称量，称量一次，最终找出铅球； （3）先把12个球平均分成2份，称量一次，找出铅球在哪一份；再把这6个球平均分成（3，3），称量一次，找出铅球在哪一份；最后把3个球分成（1，1，1），称量一次，最终找出铅球，据此解答。 （1）如果小丽把12个金属球平均分成3份，先取两份放在天平两边称，若平衡，则将另外一份平分成2份放在天平两边称，称出较重的一份，再将其分成两份，放在天平两边称，重的就是铅球；若不平衡，则将较重的一份平均分成2份放在天平两边，称出较重的一份，再将其分成两份，放在天平两边称，重的就是铅球，故至少称3次。 （2）如果小丽把12个金属球平均分成4份，先在天平两边各放一份，看天平是否平衡，再把另两份放在天平两边，看天平是否平衡，则较重的一份含有铅球，此时取两个金属球放在天平两端，如果平衡，则剩余的一个是铅球，如果不平衡，较重的一个是铅球，故至少称3次。 （3）如果小丽把12个金属球平均分成2份，先在天平两边各放一份，称出较重的一份，将较重的一份分成两份放在天平两边，再称出较重的一份，此时取两个金属球放在天平两端，如果平衡，则剩余的一个是铅球，如果不平衡，较重的一个是铅球，故至少称3次。 17．3次 找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。 18分成（6，6，6），把任意两组的放在天平上称，考虑最不利原则，可找出有次品的一组；再把有次品的一组6分成（2，2，2）放在天平上称，可找出有次品的一组；再把2分成（1，1），放在天平上称，可找出次品；共需3次。 答：至少称3次能保证找出这人羽毛球。 18．2次 找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。 将8个球分成3、3、2三组，在天平两边分别各放3个称量，会出现两种情况： （1）一种是如果天平平衡，轻的球就在剩下2个当中，再把这2个球分别放在天平两边进行第二次称量，轻的就在上翘的那边； （2）另一种是如果天平不平衡，轻的球就在上翘的那边，再把3个当中的任意2个放在天平两边进行第二次称量，如果平衡剩下的那个就是轻的球；如果不平衡，轻的球就在上翘的那边。 所以2次就能找出轻的那个球。 答：把这些球放在天平上称2次，就能找出轻的球。 19．能找出这袋白糖；能判断出它比千克多还是少 找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 有9袋白糖，其中有一袋是次品，比其它略轻或略重。 第一次称重：先分成（3，3，3），天平两边各放3袋， 情况一：若天平平衡，则次品就在剩下的3袋中； 第二次称重：把3袋分成（1，1，1），天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就在这两袋中； 第三次称重：任意拿出这2袋中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋； 情况二：若天平不平衡，次品就在这6袋中，分别把重的3袋表示为A、B、C，轻的3袋表示为D、E、F； 第二次称重：把A、D、E放到天平一端，F和2袋不是次品的放到天平另一端；①若天平平衡，则次品在B、C中； 第三次称重：任意拿出B、C中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋； 第二次称重：把A、D、E放到天平一端，F和2袋不是次品的放到天平另一端；②若天平不平衡，分为两种情况：（1）放A的那端重；（2）放F的那端重； （1）放A的那端重，则次品在A和F之间； 第三次称重：任意拿出A、F中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋； （2）放F的那端重，则次品在D和E之间； 第三次称重：任意拿出D、E中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋。 最后把找出的次品和1袋标准的白糖放在天平两端，即可确定次品比标准轻还是重。 答：有9袋白糖，其中有8袋都是千克，另一袋也近似于千克，能利用一架没有砝码的天平找出这袋白糖，至少需要称3次，能判断出它比千克多还是少。 20．27个 （1）如果有3个玻璃球，称1次能够找出次品：把3分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要2次才能找出次品； （2）如果有3×3＝9个玻璃球，最少需要2次能够找出次品：把9分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要3次才能找出次品； （3）如果有3×3×3＝27个玻璃球，最少需要3次能够找出次品：把27分成三组（9，9，9），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要4次才能找出次品；据此解答。 当玻璃球个数为9个时，至少需要称2次找出次品，当玻璃球个数为10个时，至少需要称3次找出次品，当玻璃球个数为27个时，至少需要称3次找出次品，如果至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球，这堆玻璃球可能有10~27个。 答：这堆玻璃球最多有27个。 掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $