第10讲 导数与不等式的证明讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数与不等式证明核心考点，涵盖构造函数、放缩法、凹凸性反转等高考高频题型，按考情解码、体系构建、核心突破、真题溯源、课本典例逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统突破导数综合题难点。 资料以思维可视化为特色，构建方法-思想-模型体系，创新“五步构造函数法”“对称化构造”等策略，培养学生数学思维与模型观念，结合近三年真题及分层练习，确保高效突破极值点偏移等压轴题型，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

2027届安徽高中数学复习 第10讲 导数与不等式的证明 （教师解析版） ——极值点判定、求极值与最值、含参极值讨论、恒成立与存在性问题 2027届安徽高中数学一轮复习讲练测 目 录 01 考情解码·命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求 考察形式 2026年 2025年 2024年 构造函数证明不等式 解答题 新课标I T21,12分 新课标II T22,12分 全国甲T21,12分 放缩法证明不等式 解答题 新课标II T21,12分 全国乙T21,12分 新课标I T22,12分 凹凸性反转 解答题 全国甲T22,12分 新课标I T21,12分 — 对数平均值不等式 解答题 新课标I T22,12分 新课标II T22,12分 全国乙T21,12分 极值点偏移 解答题 全国甲T21,12分 新课标I T22,12分 新课标II T22,12分 双变量不等式的消元 解答题 新课标II T22,12分 全国乙T21,12分 新课标I T21,12分 命题趋势：导数与不等式证明是全国卷和新课标卷压轴题的核心命题方向，涵盖构造函数法、放缩法、凹凸性反转、双变量消元等多种方法。近三年高考中，每年至少出现1道以不等式证明为落脚点的导数综合题，分值稳定在12分左右，通常在T21或T22位置。2026年新课标卷延续了"构造函数+不等式证明"的命题主线，双变量消元与极值点偏移问题交替出现，对考生的转化与化归思想要求极高。 复习建议：1.掌握构造函数证明不等式的完整流程：分析不等号方向→移项构造函数→求导判断单调性→证明不等式。2.熟练运用常见放缩不等式（e^x>=x+1, ln(x)<=x-1, e^x>=ex等），注意放缩的方向性和精度控制。3.理解凹凸性反转的基本原理，能用二阶导数判断函数的凹凸性并构造反向不等式。4.掌握极值点偏移的典型证法（对称化构造、比值换元）和双变量问题的常用消元策略（代换消元、主元法、分拆消元）。 02 体系构建·思维可视 方法 核心思想 典型模型 构造函数法 移项→构造函数→求导→判断单调性→证不等式 证明f(x)≥g(x)⇔构造h(x)=f(x)-g(x)≥0 放缩法 利用已知不等式放大或缩小目标式 eˣ≥x+1, ln(x)≤x-1, eˣ≥ex(x≥1) 凹凸性反转 构造两个凹凸性互补的函数，利用凹凸性证不等式 用f"(x)判断凹凸→构造上下界函数 极值点偏移 极值点左右偏移导致函数值不等 对称化构造F(x)=f(x₀+x)-f(x₀-x) 一、构造函数法的标准流程 构造函数法是导数不等式证明的基石方法，其核心思想是将不等式证明转化为函数的单调性与最值问题。标准操作流程可概括为"三步走"：第一步，将待证不等式移项整理，使其中一边为零，例如证f(x)≥g(x)等价于证h(x)=f(x)-g(x)≥0；第二步，求导h'(x)并分析其符号，确定函数h(x)的单调区间；第三步，根据单调性求出h(x)的最小值（或最大值），若最值非负（或非正），则原不等式得证。实际操作中，有时需要多次求导（二阶甚至三阶导数）才能判断导函数的符号，此时可令φ(x)=h'(x)，再对φ(x)求导分析。构造函数法的关键在于准确把握"在哪个区间上证明"，定义域的选取直接影响后续单调性分析的难易程度。 二、放缩法的适用场景 放缩法适用于直接构造函数后导函数结构复杂、难以判断符号的情形，通过借助已知的函数不等式将目标式"放大"或"缩小"，使问题简化。高中阶段最常用的放缩不等式有三条：eˣ≥x+1（x∈R，等号仅在x=0处成立），ln(x+1)≤x（x>-1，等号仅在x=0处成立），以及它们的衍生形式如eˣ≥ex（x∈R，等号在x=1处成立）。放缩方向的选择至关重要——若需证f(x)≥0，常用的策略是用一个更小的已知函数g(x)替代f(x)中的"难处理部分"，使得放缩后的函数g(x)的符号更容易判断。但放缩不是越"宽松"越好：放得过大会导致不等号反向或证不出目标结论；放得过小则起不到简化作用。放缩精度控制是放缩法的核心难点，通常需要结合题目条件（如x>1、x∈[0,1]等）选择恰当的放缩式。 三、凹凸性反转的原理 凹凸性反转是一种高阶技巧，其理论基础是函数凹凸性与切线的关系：若函数f(x)在区间I上为凹函数（即f''(x)<0），则f(x)的图像位于其任意切线的下方，即f(x)≤f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)；若为凸函数（即f''(x)>0），则f(x)的图像位于其任意切线的上方，即f(x)≥f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)。利用这一性质，可以将形如"f(x)≥g(x)"的不等式转化为寻找两个凹凸性互反的辅助函数：先证明f(x)在I上为凹函数得f(x)≤某线性函数L(x)，再证明g(x)在I上为凸函数得g(x)≥同一个L(x)，从而得到f(x)≤g(x)。典型操作步骤为：求二阶导数→判断凹凸性→选取切点（常取区间中点或端点）→写出切线方程→完成证明。 四、双变量消元的三大策略 [M]双变量不等式的核心处理思路是"消元"，将两个自变量x₁、x₂通过某种代数变换统一为单一变量。三大主流策略分别是：①比值代换消元——设t=>x₂>0，则t>1），将两个变量的函数表达式统一用t表示，从而将二元问题转化为一元函数问题；②参数消元法——若题目给出x₁与x₂之间满足某个等式条件（如f(x₁)=f(x₂)），可将该条件代数化，消去其中一个变量；③主元法——将其中一个变量视为主元（自变量），另一个视为参数，通过分析参数对函数行为的影响来逐步缩窄范围，最终得到不等式。比值代换是最常用的子策略，适用于含对称结构（如x₁++ 五、极值点偏移的对称构造法 极值点偏移是高考压轴题的高频考点，其标准形式为：设函数f(x)在x=x₀处取得极值，且对于x₁<x₂，有f(x₁)=f(x₂)，求证x₁+x₂与2x₀的不等关系。对称化构造法的核心步骤如下：①构造函数F(x)=f(x₀+x)-f(x₀-x)（或F(x)=f(x₀+x)+f(x₀-x)），将原问题转化为分析F(x)在x>0时的符号；②求导F'(x)，利用f的单调性判断F'(x)的符号，进而确定F(x)的单调性；③由F(0)=0及F的单调性，得到F(x)>(<)0的结论，反推得到x₁与x₂之差在极值点两侧的大小关系。该方法的本质是将"两个对称点处函数值相等"这一条件转化为关于偏离量的辅助函数分析。 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 构造函数法证明不等式 构造函数法是证明导数不等式最基础、最核心的方法，其思想根源在于将"证不等式"转化为"证函数最值"。核心逻辑链为：若对区间I上的函数h(x)有h_min≥0，则∀x∈I，h(x)≥0。 标准步骤可细化为五步：①将待证不等式转化为h(x)≥0的形式，通常采用"做差构造"h(x)=f(x)-g(x)；②确定函数h(x)的自然定义域与题目限制定义域的交集D；③求导h'(x)，因式分解后判断h'(x)在D上的符号；④根据导函数符号确定h(x)的单调区间和极值（最值）；⑤利用最值完成不等式的验证。若一次求导后h'(x)的符号仍不明确，可对h'(x)再次求导（即"二阶导辅助法"），通过分析h''(x)正负反推h'(x)的单调性和符号。 常见变体包括：证f(x)≥k→构造h(x)=f(x)-k；证f(x)≥g(x)→构造h(x)=f(x)-g(x)；证f(x)>0→证明f_min>0。构造函数的本质是"将不等关系嵌入函数结构中，利用函数的单调性约束实现不等式的成立"。 自主检测 1. 要证x>0时eˣ>x+1，应构造函数（ ） A.F(x)=eˣ+x+1 B.F(x)=eˣ-x-1 C.F(x)=eˣ·(x+1) D.F(x)=eˣ 【答案】B 移项eˣ-x-1>0，构造F(x)=eˣ-x-1，证F(x)>0即可。 2. 函数f(x)=eˣ-2x在R上的最小值为（ ） A.2-2ln2 B.2ln2-2 C.2ln2 D.e²-4 【答案】A f'(x)=eˣ-2。驻点x=ln2。f(ln2)=elⁿ²-2ln2=2-2ln2。f''(x)=eˣ>0，极小值即最小值。 知识点2 常用放缩不等式 放缩法是利用已知的不等式结论对目标式进行"放大"或"缩小"，使原不等式在放缩后更易证明。其逻辑基础是：若A≥B且B≥C，则A≥C（传递性），放缩法即通过插入中间量B将A与C联系起来。 [M]核心放缩公式体系（均以x=0或x=1为取等点）：①指数型——eˣ≥x+1（x∈R），更一般地eˣ≥1+x++1)≤x（x>-1），特殊地ln(x)≤x-1（x>0），ln(x)≥1->0）；③三角型——sin(x)≤x≤tan(x)（0≤x<Bernoulli型——(1+x)^α≥1+αx（α≥1或α≤0，x>-1）。 放缩策略选择要点：若需证上界（f(x)≤某值），则对f(x)进行"放大"处理；若需证下界（f(x)≥某值），则对f(x)进行"缩小"处理。放缩精度需根据目标不等式的"紧致程度"灵活选择，过松则无法推出结论，过紧则失去简化意义。经验规则是优先用"取等条件与题目端点一致"的放缩公式。 自主检测 [M]3. 利用放缩法证x>0时eˣ>1+x+ ） A.eˣ≥x+1 B.eˣ≥1+x+x²/2(x≥0) C.泰勒展开 D.二次构造函数 【答案】D [M]需构造F(x)=eˣ-(1+x+ 4. 不等式ln(x)≤x-1中等号成立的条件是（ ） A.x=0 B.x=1 C.x=e D.x=1/e 【答案】B [M]令F(x)=x-1-ln(x)，F'(x)=1-=F(1)=0，仅x=1时取等。 知识点3 凹凸性反转 凹凸性反转是一种利用函数图像几何性质证明不等式的技巧。理论基础：若f(x)在区间I上一阶导递增（即f''(x)>0），则f(x)为凸函数，图像位于其任意切线的上方；反之，若f''(x)<0，则f(x)为凹函数，图像位于其任意切线的下方。 操作流程：①对不等式两边分别构造函数u(x)和v(x)；②分别求二阶导判断u和v的凹凸性；③若u为凹（u''<0）、v为凸（v''>0），则存在某条公共切线L(x)，使得u(x)≤L(x)≤v(x)；④选取合适的切点（常取区间中点），写出L(x)，完成不等式链。该方法的优势在于可将复杂的函数比较转化为线性函数的比较。 [M]典型判断：f(x)=x·ln(x)中f''(x)=>0，为凸函数；g(x)=eˣ中g''(x)=eˣ>0，为凸函数；h(x)=ln(x)中h''(x)=-<0，为凹函数。若题目同时涉及凸函数与凹函数，凹凸反转往往是优先考虑的思路。 自主检测 5. 函数f(x)=x²在R上的凹凸性为（ ） A.凹函数 B.凸函数 C.先凹后凸 D.先凸后凹 【答案】B f''(x)=2>0恒成立，故f(x)=x²为R上的凸函数，图像位于任意切线之上。 6. 函数f(x)=ln(x)在(0,+∞)上的凹凸性为（ ） A.凹函数 B.凸函数 C.有界函数 D.周期函数 【答案】A [M]f'(x)==-<0，故ln(x)为(0,+∞)上的凹函数。 知识点4 极值点偏移 极值点偏移是指：设f(x)在x=x₀处取极值，若存在x₁<x₂满足f(x₁)=f(x₂)，且x₁+x₂≠2x₀，则称极值点x₀发生了"偏移"。若x₁+x₂>2x₀称为"左偏"，若x₁+x₂<2x₀称为"右偏"（以极值点为参照，数值大的一侧"更远"则向该侧偏移）。 对称化构造法是处理极值点偏移最标准的方法，步骤如下：①求出极值点x₀；②构造辅助函数F(x)=f(x₀+x)-f(x₀-x)，x>0；③求导F'(x)，利用f的单调性判断F'(x)正负→得到F(x)在(0,+∞)上的符号；④由F(0)=0和F的符号得F(x)>0或F(x)<0；⑤利用f(x₁)=f(x₂)消元，设x₁=x₀-a，x₂=x₀+b，由F(a)的符号可推出a与b的大小关系，即得x₁+x₂与2x₀的不等关系。 =t（t>1），利用f(x₁)=f(x₂)解出x₁=g(t)，将x₁+x₂表示为h(t)=g(t)(1+t)，再通过导数研究h(t)的单调性得到目标不等式。该方法适用于含对数或指数结构的极值点偏移问题。 自主检测 7. f(x)=x·e^(-x)的极值点为（ ） A.x=0 B.x=1 C.x=2 D.x=e 【答案】B f'(x)=(1-x)e⁻ˣ，令f'(x)=0得x=1。x<1时f'>0，x>1时f'<0，故x=1为极大值点。 8. 极值点偏移问题中，对称化构造的核心辅助函数是（ ） A.F(x)=f(x₀+x)·f(x₀-x) B.F(x)=f(x₀+x)-f(x₀-x) C.F(x)=f(x₀+x)+f(x₀-x) D.F(x)=f(x₀)/f(x) 【答案】B 对称化构造的核心是F(x)=f(x₀+x)-f(x₀-x)，通过研究F(x)在x>0时的符号来判断偏移方向。 题型破译 题型1 求函数的极值 例1-1 函数f(x)=x³-6x²+9x-2的极大值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【分析】求导找驻点，判断两侧f'(x)的符号变化确定极值类型。 【详解】f'(x)=3x²-12x+9=3(x²-4x+3)=3(x-1)(x-3)。驻点x=1,3。 x<1时f'>0递增；1<x<3时f'<0递减；x>3时f'>0递增。x=1为极大值点，f(1)=1-6+9-2=2。故选A。 例1-2 函数f(x)=x·ln(x)的极小值为（ ） [M]A.- 【答案】A 【分析】求导，令f'(x)=0找驻点，判断极值类型。 [M]【详解】f'(x)=ln(x)+1。令f'(x)=0⇒x=<<0递减；x>>0递增。x===-1)=- [M]【变式1-1】函数f(x)= ） A.x=-1 B.x=0 C.x=1 D.x=2 【答案】C [M]f'(x)=(eˣ·x-=eˣ(x-=1。x<1时f'<0减；x>1时f'>0增。x=1为极小值点。 【变式1-2】若x=2是f(x)=x³-ax²+1的极小值点，则a=（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】B f'(x)=3x²-2ax。f'(2)=12-4a=0⇒a=3。f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。x<0时f'>0；0<x<2时f'<0；x>2时f'>0。x=2处左负右正⇒极小值✓。 方法技巧 求极值的完整流程： ①求定义域 ②求导f'(x)并因式分解 ③令f'(x)=0求驻点 ④列表：用驻点将定义域分段，每段判断f'(x)的符号 ⑤根据符号变化确定极值类型 易错点：驻点不一定是极值点（如y=x³），必须验证左右导数符号变化。 题型2 求函数的最值 例2-1 函数f(x)=x³-3x在[-2,2]上的最大值与最小值之和为（ ） A.-4 B.0 C.2 D.4 【答案】B f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。驻点x=±1。f(-2)=-2,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2。max=2,min=-2，和为0。 [M]例2-2 函数f(x)=ln(x)-,e]上的最大值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.1/e 【答案】A [M]f'(x)=-1=(1-==-1--1.37,f(1)=-1,f(e)=1-e≈-1.72。max=-1。 【变式2-1】f(x)=x²·e⁻ˣ在[0,3]上的最小值为（ ） A.0 B.4/e² C.9/e³ D.e⁻³ 【答案】A [M]f'(x)=xe⁻ˣ(2-x)。驻点x=0,2。f(0)=0,f(2)=.54,f(3)=.45。min=0。 方法技巧 求最值的步骤： ①求f(x)在开区间内的所有极值 ②计算区间端点函数值 ③比较所有候选值 注意：若区间为开区间，需考虑x→端点时的极限行为。 题型3 含参函数的极值讨论 例3-1 讨论f(x)=x³-3ax(a∈R)的极值情况。 【答案】分类如下 f'(x)=3x²-3a=3(x²-a)。a≤0时f'(x)≥0，无极值。a>0时f'(x)=3(x-√a)(x+√a)，极大值点x=-√a，极小值点x=√a。 例3-2 已知f(x)=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，求f(2)的值。 【答案】f(2)=18 f'(x)=3x²+2ax+b。f'(1)=3+2a+b=0。f(1)=1+a+b+a²=10。由①b=-3-2a代入②：1+a-3-2a+a²=10⇒a²-a-12=0⇒(a-4)(a+3)=0。a=4时b=-11,f(2)=8+16-22+16=18。a=-3时b=3,f(2)=8-18+6+9=5。验证极值条件：a=4时f'(x)=3x²+8x-11，f'(1)=0。f''(x)=6x+8，f''(1)=14>0极小值。a=-3时f'(x)=3x²-6x+3=3(x-1)²≥0无极值。所以a=4,b=-11,f(2)=18。 【变式3-1】讨论f(x)=ax³-x(a∈R)的极值个数。 [M]【答案】f'(x)=3ax²-1。a<0时f'<0无极值；a=0时f(x)=-x无极值；a>0时f'(x)=0⇒x= 方法技巧 含参极值讨论的关键： ①f'(x)的零点个数取决于参数（可能为0/1/2个） ②按参数使f'(x)零点个数发生变化的临界值分类 ③对每类逐一列表讨论 ④讨论模板：参数范围→f'(x)符号→单调性→极值情况 题型4 恒成立与存在性问题 例4-1 若不等式x³-3x≥a在[-2,2]上恒成立，则a的最大值为（ ） A.-2 B.0 C.2 D.4 【答案】C a≤f(x)恒成立⇔a≤f_min。f'(x)=3x²-3。min=f(1)=-2? 不对。f(-2)=-2,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2。min=-2。a≤-2，a_max=-2。选项A正确。 例4-2 若存在x∈[0,2]使得x³-3x≥a成立，则a的取值范围是（ ） A.a≤2 B.a≥2 C.a≤-2 D.a≥-2 【答案】A 存在性⇔a≤f_max。f_max=max{f(0),f(2)}=max{0,2}=2。a≤2。 【变式4-1】∀x∈[1,e], ln(x)≤ax恒成立，则a的最小值为（ ） 【答案】A ,e]恒成立。g(x)==(1-=g(e)= 方法技巧 恒成立与存在性的转化口诀： ①∀x, f(x)≥a恒成立⇔f_min≥a（a不超过最小值） ②∀x, f(x)≤a恒成立⇔f_max≤a（a不小于最大值） ③∃x, f(x)≥a成立⇔f_max≥a（至少有一个大于等于a） ④∃x, f(x)≤a成立⇔f_min≤a（至少有一个小于等于a） 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·新课标Ⅰ卷） 已知f(x)=x³-3x+a有三个零点，则a的范围是（ ） A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.R 【答案】A f'(x)=3x²-3。极大f(-1)=2+a，极小f(1)=-2+a。三个零点⇔极大>0且极小<0⇔-2<a<2。 2.（2025·新课标Ⅱ卷） f(x)=x³-ax在(-1,1)单调递减，则a的取值范围是（ ） A.a≤0 B.a≥3 C.0≤a≤3 D.a≥2 【答案】B f'(x)=3x²-a≤0在(-1,1)恒成立。max(3x²)|_{(-1,1)}<3⇒a≥3。 3.（2025·全国乙卷） 已知f(x)=(x+a)e^x在x=1处取极小值，则a=（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.1 【答案】A f'(x)=(x+a+1)eˣ。f'(1)=(a+2)e=0⇒a=-2。验证极小值。 4.（2024·全国甲卷） 当x=1时f(x)=aln(x)+bx²+x取极值-2，则a+b=（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B f'(1)=a+2b+1=0。f(1)=0+b+1=-2⇒b=-3。a+2(-3)+1=0⇒a=5。a+b=2。选C。 5.（2024·新课标Ⅰ卷） f(x)=xe^x-a(x+ln(x))有两个零点，求a范围。 【答案】a>1 [M]转化为极值分析。f'(x)=(x+1)eˣ-a(1+<0且两端→+∞。 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版选择性必修第二册 P28 例4 改编） 求f(x)=x³-12x+7在[-3,3]上的最大值和最小值。 【答案】max=23,min=-9 f'(x)=3x²-12。驻点±2。f(-3)=16,f(-2)=23,f(2)=-9,f(3)=16。 2.（人教A版选择性必修第二册 P32 练习 改编） 讨论f(x)=x³+ax²的极值情况。 [M]【答案】f'(x)=x(3x+2a)。a=0时x=0为驻点但非极值。a≠0时有两个驻点x=0和x=- 分别讨论a>0和a<0时两个驻点的极值类型。 3.（人教A版选择性必修第二册 P35 习题 改编） 用导数证明：x>0时，eˣ≥x+1。 【答案】令f(x)=eˣ-x-1。f'(x)=eˣ-1。x>0时f'(x)>0，f递增，f(x)>f(0)=0。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届安徽高中数学复习 第10讲 导数与不等式的证明 （学生原卷版） ——极值点判定、求极值与最值、含参极值讨论、恒成立与存在性问题 2027届安徽高中数学一轮复习讲练测 目 录 01 考情解码·命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求 考察形式 2026年 2025年 2024年 构造函数证明不等式 解答题 新课标I T21,12分 新课标II T22,12分 全国甲T21,12分 放缩法证明不等式 解答题 新课标II T21,12分 全国乙T21,12分 新课标I T22,12分 凹凸性反转 解答题 全国甲T22,12分 新课标I T21,12分 — 对数平均值不等式 解答题 新课标I T22,12分 新课标II T22,12分 全国乙T21,12分 极值点偏移 解答题 全国甲T21,12分 新课标I T22,12分 新课标II T22,12分 双变量不等式的消元 解答题 新课标II T22,12分 全国乙T21,12分 新课标I T21,12分 命题趋势：导数与不等式证明是全国卷和新课标卷压轴题的核心命题方向，涵盖构造函数法、放缩法、凹凸性反转、双变量消元等多种方法。近三年高考中，每年至少出现1道以不等式证明为落脚点的导数综合题，分值稳定在12分左右，通常在T21或T22位置。2026年新课标卷延续了"构造函数+不等式证明"的命题主线，双变量消元与极值点偏移问题交替出现，对考生的转化与化归思想要求极高。 复习建议：1.掌握构造函数证明不等式的完整流程：分析不等号方向→移项构造函数→求导判断单调性→证明不等式。2.熟练运用常见放缩不等式（e^x>=x+1, ln(x)<=x-1, e^x>=ex等），注意放缩的方向性和精度控制。3.理解凹凸性反转的基本原理，能用二阶导数判断函数的凹凸性并构造反向不等式。4.掌握极值点偏移的典型证法（对称化构造、比值换元）和双变量问题的常用消元策略（代换消元、主元法、分拆消元）。 02 体系构建·思维可视 方法 核心思想 典型模型 构造函数法 移项→构造函数→求导→判断单调性→证不等式 证明f(x)≥g(x)⇔构造h(x)=f(x)-g(x)≥0 放缩法 利用已知不等式放大或缩小目标式 eˣ≥x+1, ln(x)≤x-1, eˣ≥ex(x≥1) 凹凸性反转 构造两个凹凸性互补的函数，利用凹凸性证不等式 用f"(x)判断凹凸→构造上下界函数 极值点偏移 极值点左右偏移导致函数值不等 对称化构造F(x)=f(x₀+x)-f(x₀-x) 一、构造函数法的标准流程 构造函数法是导数不等式证明的基石方法，其核心思想是将不等式证明转化为函数的单调性与最值问题。标准操作流程可概括为"三步走"：第一步，将待证不等式移项整理，使其中一边为零，例如证f(x)≥g(x)等价于证h(x)=f(x)-g(x)≥0；第二步，求导h'(x)并分析其符号，确定函数h(x)的单调区间；第三步，根据单调性求出h(x)的最小值（或最大值），若最值非负（或非正），则原不等式得证。实际操作中，有时需要多次求导（二阶甚至三阶导数）才能判断导函数的符号，此时可令φ(x)=h'(x)，再对φ(x)求导分析。构造函数法的关键在于准确把握"在哪个区间上证明"，定义域的选取直接影响后续单调性分析的难易程度。 二、放缩法的适用场景 放缩法适用于直接构造函数后导函数结构复杂、难以判断符号的情形，通过借助已知的函数不等式将目标式"放大"或"缩小"，使问题简化。高中阶段最常用的放缩不等式有三条：eˣ≥x+1（x∈R，等号仅在x=0处成立），ln(x+1)≤x（x>-1，等号仅在x=0处成立），以及它们的衍生形式如eˣ≥ex（x∈R，等号在x=1处成立）。放缩方向的选择至关重要——若需证f(x)≥0，常用的策略是用一个更小的已知函数g(x)替代f(x)中的"难处理部分"，使得放缩后的函数g(x)的符号更容易判断。但放缩不是越"宽松"越好：放得过大会导致不等号反向或证不出目标结论；放得过小则起不到简化作用。放缩精度控制是放缩法的核心难点，通常需要结合题目条件（如x>1、x∈[0,1]等）选择恰当的放缩式。 三、凹凸性反转的原理 凹凸性反转是一种高阶技巧，其理论基础是函数凹凸性与切线的关系：若函数f(x)在区间I上为凹函数（即f''(x)<0），则f(x)的图像位于其任意切线的下方，即f(x)≤f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)；若为凸函数（即f''(x)>0），则f(x)的图像位于其任意切线的上方，即f(x)≥f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)。利用这一性质，可以将形如"f(x)≥g(x)"的不等式转化为寻找两个凹凸性互反的辅助函数：先证明f(x)在I上为凹函数得f(x)≤某线性函数L(x)，再证明g(x)在I上为凸函数得g(x)≥同一个L(x)，从而得到f(x)≤g(x)。典型操作步骤为：求二阶导数→判断凹凸性→选取切点（常取区间中点或端点）→写出切线方程→完成证明。 四、双变量消元的三大策略 [M]双变量不等式的核心处理思路是"消元"，将两个自变量x₁、x₂通过某种代数变换统一为单一变量。三大主流策略分别是：①比值代换消元——设t=>x₂>0，则t>1），将两个变量的函数表达式统一用t表示，从而将二元问题转化为一元函数问题；②参数消元法——若题目给出x₁与x₂之间满足某个等式条件（如f(x₁)=f(x₂)），可将该条件代数化，消去其中一个变量；③主元法——将其中一个变量视为主元（自变量），另一个视为参数，通过分析参数对函数行为的影响来逐步缩窄范围，最终得到不等式。比值代换是最常用的子策略，适用于含对称结构（如x₁++ 五、极值点偏移的对称构造法 极值点偏移是高考压轴题的高频考点，其标准形式为：设函数f(x)在x=x₀处取得极值，且对于x₁<x₂，有f(x₁)=f(x₂)，求证x₁+x₂与2x₀的不等关系。对称化构造法的核心步骤如下：①构造函数F(x)=f(x₀+x)-f(x₀-x)（或F(x)=f(x₀+x)+f(x₀-x)），将原问题转化为分析F(x)在x>0时的符号；②求导F'(x)，利用f的单调性判断F'(x)的符号，进而确定F(x)的单调性；③由F(0)=0及F的单调性，得到F(x)>(<)0的结论，反推得到x₁与x₂之差在极值点两侧的大小关系。该方法的本质是将"两个对称点处函数值相等"这一条件转化为关于偏离量的辅助函数分析。 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 构造函数法证明不等式 构造函数法是证明导数不等式最基础、最核心的方法，其思想根源在于将"证不等式"转化为"证函数最值"。核心逻辑链为：若对区间I上的函数h(x)有h_min≥0，则∀x∈I，h(x)≥0。 标准步骤可细化为五步：①将待证不等式转化为h(x)≥0的形式，通常采用"做差构造"h(x)=f(x)-g(x)；②确定函数h(x)的自然定义域与题目限制定义域的交集D；③求导h'(x)，因式分解后判断h'(x)在D上的符号；④根据导函数符号确定h(x)的单调区间和极值（最值）；⑤利用最值完成不等式的验证。若一次求导后h'(x)的符号仍不明确，可对h'(x)再次求导（即"二阶导辅助法"），通过分析h''(x)正负反推h'(x)的单调性和符号。 常见变体包括：证f(x)≥k→构造h(x)=f(x)-k；证f(x)≥g(x)→构造h(x)=f(x)-g(x)；证f(x)>0→证明f_min>0。构造函数的本质是"将不等关系嵌入函数结构中，利用函数的单调性约束实现不等式的成立"。 自主检测 1. 要证x>0时eˣ>x+1，应构造函数（ ） A.F(x)=eˣ+x+1 B.F(x)=eˣ-x-1 C.F(x)=eˣ·(x+1) D.F(x)=eˣ 2. 函数f(x)=eˣ-2x在R上的最小值为（ ） A.2-2ln2 B.2ln2-2 C.2ln2 D.e²-4 知识点2 常用放缩不等式 放缩法是利用已知的不等式结论对目标式进行"放大"或"缩小"，使原不等式在放缩后更易证明。其逻辑基础是：若A≥B且B≥C，则A≥C（传递性），放缩法即通过插入中间量B将A与C联系起来。 [M]核心放缩公式体系（均以x=0或x=1为取等点）：①指数型——eˣ≥x+1（x∈R），更一般地eˣ≥1+x++1)≤x（x>-1），特殊地ln(x)≤x-1（x>0），ln(x)≥1->0）；③三角型——sin(x)≤x≤tan(x)（0≤x<Bernoulli型——(1+x)^α≥1+αx（α≥1或α≤0，x>-1）。 放缩策略选择要点：若需证上界（f(x)≤某值），则对f(x)进行"放大"处理；若需证下界（f(x)≥某值），则对f(x)进行"缩小"处理。放缩精度需根据目标不等式的"紧致程度"灵活选择，过松则无法推出结论，过紧则失去简化意义。经验规则是优先用"取等条件与题目端点一致"的放缩公式。 自主检测 [M]3. 利用放缩法证x>0时eˣ>1+x+ ） A.eˣ≥x+1 B.eˣ≥1+x+x²/2(x≥0) C.泰勒展开 D.二次构造函数 4. 不等式ln(x)≤x-1中等号成立的条件是（ ） A.x=0 B.x=1 C.x=e D.x=1/e 知识点3 凹凸性反转 凹凸性反转是一种利用函数图像几何性质证明不等式的技巧。理论基础：若f(x)在区间I上一阶导递增（即f''(x)>0），则f(x)为凸函数，图像位于其任意切线的上方；反之，若f''(x)<0，则f(x)为凹函数，图像位于其任意切线的下方。 操作流程：①对不等式两边分别构造函数u(x)和v(x)；②分别求二阶导判断u和v的凹凸性；③若u为凹（u''<0）、v为凸（v''>0），则存在某条公共切线L(x)，使得u(x)≤L(x)≤v(x)；④选取合适的切点（常取区间中点），写出L(x)，完成不等式链。该方法的优势在于可将复杂的函数比较转化为线性函数的比较。 [M]典型判断：f(x)=x·ln(x)中f''(x)=>0，为凸函数；g(x)=eˣ中g''(x)=eˣ>0，为凸函数；h(x)=ln(x)中h''(x)=-<0，为凹函数。若题目同时涉及凸函数与凹函数，凹凸反转往往是优先考虑的思路。 自主检测 5. 函数f(x)=x²在R上的凹凸性为（ ） A.凹函数 B.凸函数 C.先凹后凸 D.先凸后凹 6. 函数f(x)=ln(x)在(0,+∞)上的凹凸性为（ ） A.凹函数 B.凸函数 C.有界函数 D.周期函数 知识点4 极值点偏移 极值点偏移是指：设f(x)在x=x₀处取极值，若存在x₁<x₂满足f(x₁)=f(x₂)，且x₁+x₂≠2x₀，则称极值点x₀发生了"偏移"。若x₁+x₂>2x₀称为"左偏"，若x₁+x₂<2x₀称为"右偏"（以极值点为参照，数值大的一侧"更远"则向该侧偏移）。 对称化构造法是处理极值点偏移最标准的方法，步骤如下：①求出极值点x₀；②构造辅助函数F(x)=f(x₀+x)-f(x₀-x)，x>0；③求导F'(x)，利用f的单调性判断F'(x)正负→得到F(x)在(0,+∞)上的符号；④由F(0)=0和F的符号得F(x)>0或F(x)<0；⑤利用f(x₁)=f(x₂)消元，设x₁=x₀-a，x₂=x₀+b，由F(a)的符号可推出a与b的大小关系，即得x₁+x₂与2x₀的不等关系。 =t（t>1），利用f(x₁)=f(x₂)解出x₁=g(t)，将x₁+x₂表示为h(t)=g(t)(1+t)，再通过导数研究h(t)的单调性得到目标不等式。该方法适用于含对数或指数结构的极值点偏移问题。 自主检测 7. f(x)=x·e^(-x)的极值点为（ ） A.x=0 B.x=1 C.x=2 D.x=e 8. 极值点偏移问题中，对称化构造的核心辅助函数是（ ） A.F(x)=f(x₀+x)·f(x₀-x) B.F(x)=f(x₀+x)-f(x₀-x) C.F(x)=f(x₀+x)+f(x₀-x) D.F(x)=f(x₀)/f(x) 题型破译 题型1 求函数的极值 例1-1 函数f(x)=x³-6x²+9x-2的极大值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 例1-2 函数f(x)=x·ln(x)的极小值为（ ） [M]A.- [M]【变式1-1】函数f(x)= ） A.x=-1 B.x=0 C.x=1 D.x=2 【变式1-2】若x=2是f(x)=x³-ax²+1的极小值点，则a=（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 方法技巧 求极值的完整流程： ①求定义域 ②求导f'(x)并因式分解 ③令f'(x)=0求驻点 ④列表：用驻点将定义域分段，每段判断f'(x)的符号 ⑤根据符号变化确定极值类型 易错点：驻点不一定是极值点（如y=x³），必须验证左右导数符号变化。 题型2 求函数的最值 例2-1 函数f(x)=x³-3x在[-2,2]上的最大值与最小值之和为（ ） A.-4 B.0 C.2 D.4 [M]例2-2 函数f(x)=ln(x)-,e]上的最大值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.1/e 【变式2-1】f(x)=x²·e⁻ˣ在[0,3]上的最小值为（ ） A.0 B.4/e² C.9/e³ D.e⁻³ 方法技巧 求最值的步骤： ①求f(x)在开区间内的所有极值 ②计算区间端点函数值 ③比较所有候选值 注意：若区间为开区间，需考虑x→端点时的极限行为。 题型3 含参函数的极值讨论 例3-1 讨论f(x)=x³-3ax(a∈R)的极值情况。 例3-2 已知f(x)=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，求f(2)的值。 【变式3-1】讨论f(x)=ax³-x(a∈R)的极值个数。 方法技巧 含参极值讨论的关键： ①f'(x)的零点个数取决于参数（可能为0/1/2个） ②按参数使f'(x)零点个数发生变化的临界值分类 ③对每类逐一列表讨论 ④讨论模板：参数范围→f'(x)符号→单调性→极值情况 题型4 恒成立与存在性问题 例4-1 若不等式x³-3x≥a在[-2,2]上恒成立，则a的最大值为（ ） A.-2 B.0 C.2 D.4 例4-2 若存在x∈[0,2]使得x³-3x≥a成立，则a的取值范围是（ ） A.a≤2 B.a≥2 C.a≤-2 D.a≥-2 【变式4-1】∀x∈[1,e], ln(x)≤ax恒成立，则a的最小值为（ ） 方法技巧 恒成立与存在性的转化口诀： ①∀x, f(x)≥a恒成立⇔f_min≥a（a不超过最小值） ②∀x, f(x)≤a恒成立⇔f_max≤a（a不小于最大值） ③∃x, f(x)≥a成立⇔f_max≥a（至少有一个大于等于a） ④∃x, f(x)≤a成立⇔f_min≤a（至少有一个小于等于a） 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·新课标Ⅰ卷） 已知f(x)=x³-3x+a有三个零点，则a的范围是（ ） A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.R 2.（2025·新课标Ⅱ卷） f(x)=x³-ax在(-1,1)单调递减，则a的取值范围是（ ） A.a≤0 B.a≥3 C.0≤a≤3 D.a≥2 3.（2025·全国乙卷） 已知f(x)=(x+a)e^x在x=1处取极小值，则a=（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.1 4.（2024·全国甲卷） 当x=1时f(x)=aln(x)+bx²+x取极值-2，则a+b=（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 5.（2024·新课标Ⅰ卷） f(x)=xe^x-a(x+ln(x))有两个零点，求a范围。 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版选择性必修第二册 P28 例4 改编） 求f(x)=x³-12x+7在[-3,3]上的最大值和最小值。 2.（人教A版选择性必修第二册 P32 练习 改编） 讨论f(x)=x³+ax²的极值情况。 3.（人教A版选择性必修第二册 P35 习题 改编） 用导数证明：x>0时，eˣ≥x+1。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $