5.2 简单的轴对称图形 课件 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦角平分线性质、线段垂直平分线判定及等腰三角形性质，通过生活实例提问“角是否轴对称”和动手折叠操作导入，引导学生从直观感知到抽象归纳，构建“轴对称图形-角平分线-线段垂直平分线-等腰三角形”的知识支架。 其亮点是以探究活动为主线，通过折叠、尺规作图培养几何直观（数学眼光），利用全等推理证明性质发展推理意识（数学思维），规范应用格式强化数学语言表达。如“练一练”用角平分线性质求距离，“跟踪训练”线段垂直平分线应用实例，助学生深化理解，教师可直接用于课堂互动提升效率。

5.2简单的轴对称图形 第五章 图形的轴对称 北师大版(2024) 02 能应用角平分线的有关性质解决相关问题； 01 掌握角平分线的有关性质； 素养目标 03 会用尺规作出已知角的平分线. 新知导入 角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴. A O B 在一张纸上任意画一个角，沿角的两边将角剪下，并将这个角对折，使角的两边重合，再打开纸片。 折痕与这个角有什么关系? 折痕是这个角的平分线。 角是轴对称图形吗? 它的对称轴是什么? 角是轴对称图形。 角平分线所在的直线是它的对称轴。 角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴。 探究新知 如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上任意一点。在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD和CD'。 思考 （1）线段CD和CD'之间有什么关系? 说说你的理由。 CD = CD'。 因为OP是∠AOB的平分线， 所以∠POA=∠POB。 在△COD和△COD'中， DO= D'O， ∠POA=∠POB ，CO=CO。 所以△CED≌△CED'(SAS) 所以CD=CD'。 理由如下： 归纳总结 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 应用格式： D P E A O B C 所以PD=PE. 因为OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， 注意：推理的理由有三个，不能少了任何一个. 角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴. 练一练 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，若CD=4，则点D到AB的距离是多少？ 解：如图，作DH⊥AB于H． 因为∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D， 所以CD=DH （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， 因为CD=4， 所以DH=4，即点D到AB的距离是4． H 例题练习 已知一个等腰三角形的底角是顶角的 2 倍，求它的各个内角的度数. 解：设这个等腰三角形顶角的度数为x°，则底角的度数为2x°. 根据“三角形三个内角的和等于180°”，得 解得 . 所以，这个三角形的三个内角分别是 36°，72°，72°. 探究新知 如图，△ABC是一个等腰三角形，直线l是它的对称轴.请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形？ A C B l 相等的线段：AB与AC、BD与CD 相等的角：∠B与∠C、∠BAD与∠CAD、∠ADB与∠ADC 形状、大小完全相同的图形：△ABD≌△ACD 对应点：点B、点C 对应线段：AB、AC 对应角：∠B、∠C · · D 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 线段垂直平分线的判定: M A B N 2.如图，己知AB是线段CD上的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED的长是多少? 解：ED的长是7cm。 跟踪训练1　(1)如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，若EC=7 cm，则ED的长为 A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 解析　因为线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 所以ED=EC=7 cm. √ (2)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线于点E，连接AE，如果∠B=50°，∠BAC=21°，求∠CAE的度数. 解　因为AC的垂直平分线交AC于点D，所以EA=EC， 所以∠CAE=∠ECA. 因为∠B=50°，∠BAC=21°，∠BCA=180°-∠B-∠BAC=109°， 所以∠CAE=∠ECA=180°-∠BCA=71°. C A A B 1.如图，在Rt△ABC 中，BE 平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，AC=3cm，那么 AE + DE 的值为（ ） A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm B 课堂练习 2.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE 垂直于点 E，S△ABC = 7，DE = 2，AB = 4，则 AC 长是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 A 解：因为 AB = AC，BD = BC = AD， 所以 ∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD. 设∠A = x°，即∠A =∠ABD = x°. 因为∠A +∠ABD +∠ADB = 180°， ∠BDC +∠ADB = 180°，所以∠BDC = 2x°. 因为∠ABC =∠C =∠BDC = 2x°， 所以 x + 2x + 2x = 180.（三角形内角和等于180°） 解得 x = 36. 所以∠A = 36°，∠C = 72°. 例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上， 且 BD = BC = AD，求∠A 和∠C 的度数. C D B A 方程 外角定理 如图，在△ABC 中，AB = AD = DC，∠BAD = 26°，求∠B 和∠C 的度数. 解：因为 AB = AD = DC， 所以∠B =∠ADB，∠C =∠DAC. 设∠C = x°，则∠DAC = x°， ∠ADB +∠ADC = 180°，∠C +∠DAC +∠ADC = 180°. 所以∠B =∠ADB =∠C +∠DAC = 2x°. 在△ABC 中， 根据三角形的内角和定理，得 2x + x + 26 + x = 180，解得 x = 38.5. 所以 ∠C = x° = 38.5°， ∠B = 2x° = 77°. 针对训练： 3.如图，在△ABC中，∠BAD=∠CAD，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接AF，已知∠B=50°，则∠CAF的度数为　　　.  50° 解析　因为AD的垂直平分线交BC的延长线于点F， 所以AF=DF，所以∠FAD=∠FDA， 因为∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=180°-∠ADB=∠B+∠BAD， ∠BAD=∠CAD， 所以∠FAC=∠B=50°. 课堂练习 4.如图，村庄A，B分别在笔直公路l的两侧，一辆汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A，B两村庄的距离相等？请指出该位置. 解　如图所示，作AB的垂直平分线m，直线m与l相交于点P，点P即为所求. 当在点P时，汽车到A，B两村庄的距离相等， 理由：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 课堂练习 练习1 如图,在 中,按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心,以大于 的长为半径作弧,两弧相交于点M和N；②作直线 交 于点D,连接 .若 , ,则 的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析：由作图可知,MN是线段BC的垂直平分线, ∴ ,故选：C. 练习2 如图，在 中， ， ， ， 的垂直平分线交 于点D，连接 ，则 的周长是( ) A.7 B.8 C.9 D.10 解析：∵ 的垂直平分线交 于D，∴ ， ∵ ， ∴ 的周长为： . 故选A. 练习3 如图1所示是我们生活中常见的晾衣架,其形状可以近似的看成等腰三角形 (如图2),若 ,则 的度数为( ) A. B. C. D. 解析：∵其形状可以近似的看成等腰三角形 (如图2), ∴ ,∴ , 故选：A. 练习4 如图,在 中 , , ,则 的度数是( ) A. B. C. D. 解析： , , , , ,故选：B. $