5 问题解决策略_转化-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“图形的轴对称”中的转化策略，通过等腰三角形垂直平分线、正方形面积计算、将军饮马等例题导入，搭建从轴对称性质到实际应用的学习支架，帮助学生衔接基础与提升知识点。 其亮点是以转化思想为主线，结合几何直观（数学眼光）和逻辑推理（数学思维），通过将军饮马对称转化、面积等量代换等实例，培养学生用数学语言表达转化过程的能力。学生能提升问题解决能力，教师可利用分层例题优化教学效率。

第五章　图形的轴对称 ☆　问题解决策略_转化 初中数学培优课堂  　问题解决策略:转化 1.【学科特色·转化思想】(2025山东济南商河期末)如图,在△ ABC中,AB=AC,△ABC的面积为16,BC=4,分别以点A,B为圆心, 以大于 AB的长为半径作弧,两弧分别交于E,F,作直线EF,D 为BC的中点,M为直线EF上任意一点.则BM+MD的最小值为 ( ) A.6　　    B.8　　    C.10　　    D.12     B     初中数学培优课堂        初中数学培优课堂 解析　连接AM.由作图知EF是AB的垂直平分线, 所以AM=BM.所以BM+MD=AM+MD≥AD. 如图,当A,M,D三点共线时,BM+MD取得最小值,为AD的长. 因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC. 因为△ABC的面积为16,BC=4, 所以AD=8,即BM+MD的最小值为8,故选B. 初中数学培优课堂 2.【学科特色·教材变式P137T1】如图,正方形ABCD的边长为 4,分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆,则阴影部 分的面积之和是____________. 　    8 　     初中数学培优课堂 解析　如图,连接AC,BD.易知图中阴影部分的面积为正方形 面积的一半,即 =8.   初中数学培优课堂   3.【学科特色·转化思想】(2025山东青岛李沧期末,★★☆)如 图,四边形ABCD是边长为2的正方形,以点B为圆心,AB的长为 半径的圆与正方形ABCD交于A,C两点,以点C为圆心,BC的长 为半径的圆与正方形ABCD交于B,D两点,两个阴影部分的面 积分别记为S1和S2,则S2-S1=______________(结果保留π). 　    2π-4　     初中数学培优课堂 解析　正方形ABCD中,将左右两个空白部分的面积分别记为 S3和S4,易得S3=S4. 所以S2-S1=S2+S4-(S1+S3). 因为四边形ABCD是边长为2的正方形,所以AB=2,∠ABC=90°. 所以S2+S4= ×π×22=π. 因为正方形ABCD的面积=2×2=4, 所以S3+S1=正方形ABCD的面积-扇形BCA的面积=4-π.所以S2- S1=π-(4-π)=2π-4. 初中数学培优课堂 4.(2025山东德州乐陵期末,★★☆)综合与实践. 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白 日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学 问题——将军饮马.如图1,将军从山脚下的点A出发,到达河岸 l上的点C饮马后再回到点B宿营,他时常想,怎么走,才能使他 每天走的路程之和最短呢? 【分析问题】小亮:作B关于直线l的对称点B',连接AB'与直线l 交于点C,点C就是使路程之和最短的饮马的地方,此时所走的 路程就是最短的.(如图2) 初中数学培优课堂 小慧:你能详细解释为什么吗? 小亮:如图3,在直线l上另取任一点C',连接AC',BC',B'C',我只要 说明AC+CB<AC'+C'B即可. 因为直线l是点B,B'的对称轴,点C,C'在l上,所以CB=_______, C'B=_______, 请补充完整小亮的说明过程. 【解决问题】如图4,将军牵马从军营P处出发,到河流OA饮 马,再到草地OB吃草,最后回到P处,试分别在边OA和OB上各 找一点E,F,使得走过的路程最短.(尺规作图,不写作法,但要保 初中数学培优课堂 留画图痕迹,最短路径用实线表示) 初中数学培优课堂 解析　【分析问题】CB';C'B'. 剩余说明过程如下:所以AC+BC=AC+B'C=AB',在△AB'C'中, AC'+B'C'>AB',所以AC'+C'B>AC+CB,即AC+CB<AC'+C'B. 【解决问题】如图所示.   初中数学培优课堂 详解:分别作点P关于OA,OB的对称点M,N,连接MN分别交OA, OB于E,F,则点E,F即为所求. 初中数学培优课堂 $