2025-2026学年七年级数学人教版下学期期末模拟卷

**基本信息** 七年级下学期数学期末模拟卷，覆盖相交线与平行线等六章内容，以明代《算法统宗》问题、机器人采购等真实情境设计试题，融合抽象能力、推理意识与数据意识，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、坐标系、对顶角、抽样调查|第5题以传统数学典籍考方程组建模，体现文化传承| |填空题|6/18|补角、立方根、坐标特征、不等式性质|第15题通过解集反推系数范围，考查推理意识| |解答题|8/72|几何证明、平移变换、机器人采购应用、数据统计、动态几何|24题动态探究∠PCB+∠PDB定值，培养空间观念；21题家务劳动统计分析，发展数据意识|

2025-2026学年七年级下学期数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式与不等式组、数据的收集与整理。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列说法正确的是（     ） A．4的算术平方根是2 B．-9的算术平方根是3 C．0.8的立方根是0.2 D．是的一个平方根 2．在平面直角坐标系中，下列位于第三象限的点的坐标是（   ） A．（-1，2） B．（1，-2） C．（1，2） D．（-1，-2） 3．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 4．下列说法中，正确的是（   ） A．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 B．要了解某小区居民垃圾分类情况，对小区的老年人进行调查 C．要了解某校学生的身高，从该校学生中随机抽取名学生进行调查，此次抽取的样本容量为名 D．要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，从全校所有班级中各随机选取名学生进行调查 5．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．已知m＞2，下列不等式正确的是（   ） A． B．2m＜4 C．m-1＞3 D．m+3＞5 7．估计的值在哪两个整数之间（     ） A．75和77 B．6和7 C．7和8 D．8和9 8．点E（，b）在第二象限，它到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则有（    ） A．，b=4 B．， C．，b=3 D．，b=-3 9．如图，由下列条件：①∠B +∠BAD＝180°； ②∠B＝∠5； ③∠D＝∠5； ④∠3＝∠4；⑤∠1 ＝∠2，能判定AD∥BC的条件为（     ） A．①②③④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①②③ 10．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前2天完成任务，以后几天平均每天至少完成的土方数为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若∠ABC=41°20′，则∠ABC的补角的度数为____。 12．计算：． 13．在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则m的值为__________． 14．若x - 2y = 2，则代数式5 - x + 2y的值为____． 15．已知关于x的不等式(a-2)x＞1的解集为x＜，则a的取值范围____________. 16．一组数共有80个，最大值是136，最小值是52，用频数分布直方图描述这一数据，取组距为10，则可以分成______组． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4． (1)直接写出a，b，m的值； (2)求的平方根． 18．（8分）如图，AB与CD相交于点O，OC⊥OE，∠BOD=30°，OA平分∠FOC。 (1)求∠EOB的度数； (2)求钝角∠FOE的度数。 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（3，-1），B（2，-3）,C（4，-5）．将△ABC先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到△DEF，其中点D，E，F分别为点A，B，C的对应点． (1)在图中画出△DEF，并写出点D、E、F的坐标； (2)若△ABC内一点P经过上述平移后的对应点为Q（m，n），直接写出点P的坐标（用含m，n的式子表示）． 20．（8分）近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 21．（8分）为培养学生的劳动习惯与能力，某校在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动．开学后随机抽取了90名学生，对他们平均每天的家务劳动时长（分钟）进行了调查，并对数据进行收集、整理和描述，下列是其中一部分信息： 信息一：90名学生平均每天的家务劳动时长（分钟）的频数分布表： 分组 合计 频数 9 12 a 24 b 9 90 信息二：90名学生平均每天的家务劳动时长（分钟）的频数分布直方图： (1)频数分布表中的组距是 ；b= ； (2)求a的值，并补全频数分布直方图； (3)该校决定将平均每天的家务劳动时长达到45分钟及以上的学生评为“家务小能手”．若该校有1800名学生，能获得该称号的学生大约有多少人？ 22．（10分）阅读下列材料，然后解答问题： 我们知道解二元一次方程组的方法是消元法，即将它化为一元一次方程来解，可求得方程组有唯一解． 我们也知道二元一次方程的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．下面是求二元一次方程的正整数解的过程： 由，得． ∵，均为正整数，∴，． ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数． 又∵，∴． 将代入，得， ∴的正整数解为． (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，花费元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为元，钢笔的单价为元，则有哪几种购买方案？ (3)试求方程组的正整数解； (4)若关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 23．（10分）已知关于的方程满足方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 24．（12分）如图，∠A=60°，AM∥BN，P为射线AM上一动点，连接BP，作BC平分∠PBA，交AM于点C，BD平分∠PBN，交AM于点D。 (1)如图1，当BP⊥AM时，求∠ABC的度数。 (2)如图2，当BC⊥AM时，求∠PBD的度数。 (3)请说明在点P的运动过程中，∠PCB+∠PDB的值是否为定值。若是定值，请求出∠PCB+∠PDB的度数；若不是定值，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式与不等式组、数据的收集与整理。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列说法正确的是（     ） A．4的算术平方根是2 B．-9的算术平方根是3 C．0.8的立方根是0.2 D．是的一个平方根 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根的性质.平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根为0；③负数没有平方根.算术平方根的性质：①正数的算术平方根是正数；②0的算术平方根为0；③负数没有算术平方根.根据算术平方根、立方根和平方根的定义逐一判断各选项的正误. 【详解】解：A. 4的算术平方根是2，故A正确； B.负数没有平方根，故B错误； C.0.2是0.008的立方根，故C错误； D. 是的一个平方根，故D错误. 故选A. 2．在平面直角坐标系中，下列位于第三象限的点的坐标是（   ） A．（-1，2） B．（1，-2） C．（1，2） D．（-1，-2） 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标特征．根据平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征：横坐标小于零，纵坐标小于零，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：第三象限的点的坐标的横坐标小于零，纵坐标小于零， 观察四个选项，唯有（-1，-2）符合题意， 故选：D 3．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，判断即可． 【详解】解：A.∠1和∠2有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角； B.∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角； C.∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角； D.∠1和∠2有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角； 故选：D 4．下列说法中，正确的是（   ） A．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 B．要了解某小区居民垃圾分类情况，对小区的老年人进行调查 C．要了解某校学生的身高，从该校学生中随机抽取名学生进行调查，此次抽取的样本容量为名 D．要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，从全校所有班级中各随机选取名学生进行调查 【答案】D 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，样本及样本容量，根据抽样调查和全面调查的特点、样本的特点及样本容量定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解题的关键是是掌握样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的． 【详解】解：、旅客上飞机前的安检，应对每一个旅客进行全面调查，该选项说法错误，不合题意； 、要了解某小区居民垃圾分类情况，对小区的老年人进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法错误，不合题意； 、要了解某校学生的身高，从该校学生中随机抽取名学生进行调查，此次抽取的样本容量为，选项说法错误，不合题意； 、要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，从全校所有班级中各随机选取名学生进行调查，样本具有代表性和广泛性，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 5．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竿长尺，绳索长尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设竿长尺，绳索长尺， 根据题意得，， 故选：． 6．已知m＞2，下列不等式正确的是（   ） A． B．2m＜4 C．m-1＞3 D．m+3＞5 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式两边加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式两边乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．由此逐项判断即可． 【详解】解：已知m＞2， 不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，故A选项错误； 不等式两边同时乘以2，不等号方向不变，得2m＞4，故B选项错误； 不等式两边同时减1，不等号方向不变，得m-1＞1，m-1＞3不一定正确，例如当时，m-1=1.5，不满足m-1＞3，故C选项错误； 不等式两边同时加3，不等号方向不变，得m+3＞5，故D选项正确； 故选：D． 7．估计的值在哪两个整数之间（     ） A．75和77 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【答案】D 【详解】解：∵64＜76＜81 ∴ ∴8＜＜9 故选D 8．点E（，b）在第二象限，它到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则有（    ） A．，b=4 B．， C．，b=3 D．，b=-3 【答案】B 【分析】根据各个象限内点的坐标的符号特点，点到坐标轴的距离求解即可． 【详解】∵点E（，b）在第二象限， ∴，b＞0， ∵点E（，b）到x轴的距离是4，到y轴距离是3， ∴，， ∴， ． 故选：B． 9．如图，由下列条件：①∠B +∠BAD＝180°； ②∠B＝∠5； ③∠D＝∠5； ④∠3＝∠4；⑤∠1 ＝∠2，能判定AD∥BC的条件为（     ） A．①②③④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理逐个分析排除即可求解． 【详解】解：①∵∠B +∠BAD＝180°； ∴AD∥BC ②∵∠B＝∠5； ∴AB∥CD ③∵∠D＝∠5； ∴AD∥BC ④∵∠3＝∠4； ∴AB∥CD ⑤∵∠1 ＝∠2， ∴AD∥BC 故符合题意的为①③⑤ 故选C 10．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前2天完成任务，以后几天平均每天至少完成的土方数为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】D 【分析】设以后几天平均每天至少完成的土方数为x方，根据题意，得，解不等式即可． 本题考查了不等式的应用。熟练掌握列不等式，解不等式是解题的关键． 【详解】解：设以后几天平均每天至少完成的土方数为x方， 根据题意，得， 解得． 故选：D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若∠ABC=41°20′，则∠ABC的补角的度数为____。 【答案】138°40′ 【分析】本题考查求一个角的补角，角度的运算。根据互补的两角之和为180°求解即可。 【详解】解：∵∠ABC=41°20′， ∴∠ABC的补角为180°-41°20′=179°60′-41°20′=138°40′。 故答案为：138°40′。 12．计算：． 【答案】5 【分析】本题考查实数的混合运算，分别计算立方根、平方、平方根和乘法，然后进行加减运算． 【详解】解：原式=3+1-2+4-1=5． 13．在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则m的值为__________． 【答案】7 【分析】、 本题考查了坐标轴点的坐标特征，理解相关知识是解答关键. 根据x轴上点的纵坐标为0，列出方程求解． 【详解】解：∵点p在x轴上， ∴纵坐标， 解得m=7． 故答案为：7. 14．若x - 2y = 2，则代数式5 - x + 2y的值为____． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算。 先把5 - x + 2y变形为5-(x - 2y)，然后把x - 2y = 2整体代入进行计算即可。 【详解】解：∵x - 2y = 2， ∴5 - x + 2y = 5-(x - 2y)=5 - 2 = 3。 故答案为：3。 15．已知关于x的不等式(a-2)x＞1的解集为x＜，则a的取值范围____________. 【答案】a＜2 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式（a-2）x＞1的解集为x＜，可得：a-2＜0，据此求出a的取值范围即可． 【详解】∵不等式(a-2)x＞1的解集为x＜， ∴a-2＜0， ∴a的取值范围为：a＜2． 故答案为a＜2． 16．一组数共有80个，最大值是136，最小值是52，用频数分布直方图描述这一数据，取组距为10，则可以分成______组． 【答案】9 【分析】求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数． 【详解】解：136-52=84， 84÷10=8.4， 所以应该分成9组， 故答案为：9． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4． (1)直接写出a，b，m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a=0，b=2，m=3； (2)±3 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的概念是解题的关键． （1）根据平方根的性质求出a的值，根据立方根的定义求出b的值，根据算术平方根的定义求出的值即可； （2）把a、b、 m值代入求值，然后根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵a的平方根是它本身， ∴a=0， ∵的立方根是3， ∴=27， ∴b=2， ∵的算术平方根是4， ∴， ∴m=3； （2）解：∵a=0，b=2，m=3， ∴=0+3×2+3=9 ∴的平方根． 18．（8分）如图，AB与CD相交于点O，OC⊥OE，∠BOD=30°，OA平分∠FOC。 (1)求∠EOB的度数； (2)求钝角∠FOE的度数。 【答案】(1)60°；(2)150° 【分析】本题考查角度求解，解题的关键是掌握对顶角的性质、垂直的性质，以及角平分线的性质。 (1)根据OC⊥OE得出∠EOD=90°，即可求出∠EOB的度数； (2)先根据对顶角相等求出∠AOC=∠BOD=30°的度数，再由角平分线的性质得到∠FOC=2∠AOC=60°，即可求出∠EOF的度数。 【详解】(1)解：∵OC⊥OE， ∴∠DOE=∠COE=90°， ∵∠BOD=30°， ∴∠EOB=90°-∠BOD=90°-30°=60°； (2)解：∵直线AB与CD相交于点O， ∴∠AOC=∠BOD=30°， ∵OA平分∠FOC， ∴∠FOC=2∠AOC=60°， 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（3，-1），B（2，-3）,C（4，-5）．将△ABC先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到△DEF，其中点D，E，F分别为点A，B，C的对应点． (1)在图中画出△DEF，并写出点D、E、F的坐标； (2)若△ABC内一点P经过上述平移后的对应点为Q（m，n），直接写出点P的坐标（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)作图见解析，点D、E、F的坐标分别为(-2,3)、(-3,1)、(-1,-1)； (2)P(m+5,n-4) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平移作图，根据平移方式，求点的坐标，解题的关键是熟练掌握平移规律。 （1）先坐标平移后点A、B、C的对应点D,E,F，然后顺次连接即可； （2）根据平移规律，得出点P的坐标即可。 【详解】(1)解：如图，△DEF为所求作的三角形。点D、E、F的坐标分别为(-2,3)、(-3,1)、(-1,-1)。 (2)解：∵将△ABC先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到△DEF， ∴将△DEF先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到△ABC， ∴Q(m,n)先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点P， ∴点P的坐标为P(m+5,n-4)。 20．（8分）近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元 (2)最多可以采购B种机器人20个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据题意列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个， 根据题意得， 解得， ∵为整数， ∴最大为20． 答：最多可以采购种机器人20个． 21．（8分）为培养学生的劳动习惯与能力，某校在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动．开学后随机抽取了90名学生，对他们平均每天的家务劳动时长（分钟）进行了调查，并对数据进行收集、整理和描述，下列是其中一部分信息： 信息一：90名学生平均每天的家务劳动时长（分钟）的频数分布表： 分组 合计 频数 9 12 a 24 b 9 90 信息二：90名学生平均每天的家务劳动时长（分钟）的频数分布直方图： (1)频数分布表中的组距是 ；b= ； (2)求a的值，并补全频数分布直方图； (3)该校决定将平均每天的家务劳动时长达到45分钟及以上的学生评为“家务小能手”．若该校有1800名学生，能获得该称号的学生大约有多少人？ 【答案】(1)5.21 (2)见详解 (3)180人 【分析】本题主要考查了频数分布表和频数分布直方图，用样本估计总体，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）根据组中值的定义和频数分布直方图的数据求解即可； （2）用90减去其他组的频数即可求出的值，进而补全频数分布直方图即可； （3）用1800乘以样本中每日平均家务劳动时长达到45分钟及以上的学生人数占比，即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意，频数分布表中的组距是25-20=5， 结合频数分布表以及频数分布直方图，得出在40≤x＜45的人数b=21， 故答案为：5.21； （2）解：依题意，90-9-12-24-21-9=15， 即在30≤x＜35的人数为， 补全频数分布直方图，如图所示： （3）解：∵该校决定将平均每天的家务劳动时长达到45分钟及以上的学生评为“家务小能手”．且该校有1800名学生， ∴（人）， ∴能获得该称号的学生大约有180人． 22．（10分）阅读下列材料，然后解答问题： 我们知道解二元一次方程组的方法是消元法，即将它化为一元一次方程来解，可求得方程组有唯一解． 我们也知道二元一次方程的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．下面是求二元一次方程的正整数解的过程： 由，得． ∵，均为正整数，∴，． ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数． 又∵，∴． 将代入，得， ∴的正整数解为． (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，花费元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为元，钢笔的单价为元，则有哪几种购买方案？ (3)试求方程组的正整数解； (4)若关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1)； (2)有两种购买方案：方案一：购买笔记本本，钢笔支；方案二：购买笔记本本，钢笔支； (3)； (4)，，． 【分析】此题主要考查了解二元一次方程，一元一次不等式组，二元一次方程的整数解，正确利用已知正整数解这一条件是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）购买了笔记本本，钢笔支，则，得，然后仿照题例即可求解； （）由，则得，，然后仿照题例即可求解； （）由，则得，，所以，把代入得，，然后求出的值并检验即可． 【详解】（1）解：由，得， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∵为正整数，即为正整数， ∴， 将代入，得， ∴的正整数解为， 故答案为：； （2）解：购买了笔记本本，钢笔支， ∴，得， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数， 又∵， ∴或， ∴或， ∴有两种购买方案：方案一：购买笔记本本，钢笔支；方案二：购买笔记本本，钢笔支； （3）解：， 得，， 同理得或， 代入①中，得（舍去）或， ∴方程组的正整数解为； （4）解：， 得，， ∴， 把代入得，， ∵解是正整数， ∴或或或， 解得：（舍去）或或或， ∴整数的值为，，． 23．（10分）已知关于的方程满足方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】（1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①②得， ∵， ∴， 解得； （2）解：， 解得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 24．（12分）如图，∠A=60°，AM∥BN，P为射线AM上一动点，连接BP，作BC平分∠PBA，交AM于点C，BD平分∠PBN，交AM于点D。 (1)如图1，当BP⊥AM时，求∠ABC的度数。 (2)如图2，当BC⊥AM时，求∠PBD的度数。 (3)请说明在点P的运动过程中，∠PCB+∠PDB的值是否为定值。若是定值，请求出∠PCB+∠PDB的度数；若不是定值，请说明理由。 【答案】(1)15° (2)30° (3)是定值，∠PCB+∠PDB=120° 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的性质、角度的计算，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质是解题的关键。 (1)由于BP⊥AM可得∠APB=90°，根据平行线的性质可得∠A+∠ABN=180°、∠PBN=∠APB=90°，进而推出∠ABP=30°，再利用角平分线的性质得到∠ABC=15°。 (2)由于BP⊥AM可得∠APB=90°，根据平行线的性质可得∠ACB=∠CBN=90°、∠A+∠ABN=180°、∠ABC=30°，再利用角平分线的性质得到∠PBA=2∠ABC=2×30°=60°，根据平行线的性质可得∠A+∠ABN=180°，可推出∠ABN=120°、∠PBN=60°，再由BD平分∠PBN，得∠PBD=1/2∠PBN=1/2×60°=30°。 (3)由平行线的性质得到∠A+∠ABN=180°，从而得到∠ABN=180°−∠A=120°，再由角平分线的性质得到∠PBA=2∠PBC，∠PBN=2∠PBD，从而得到2∠PBC+2∠PBD=120°，即可以得∠CBD=60°。由于∠PCB+∠PDB+∠CBD=180°，∠PCB+∠PDB=180°−∠CBD=180°−60°=120°，∠PCB+∠PDB的值为定值。 【详解】(1)解：∵BP⊥AM， ∴∠APB=90°。 ∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN=180°，∠PBN=∠APB=90°。 ∵∠A=60°， ∴∠ABN=∠ABP+∠PBN=120°， ∴∠ABP=30°。 ∵BC平分∠PBA， ∴∠ABC=∠PBA=×30°=15°。 (2)解：∵BC⊥AM， ∴∠ACB=90°。 ∵AM∥BN， ∴∠ACB=∠CBN=90°，∠A+∠ABN=180°， ∴∠ABC=180°−∠CBN−∠A=180°−90°−60°=30°。 ∵BC平分∠PBA， ∴∠PBA=2∠ABC=2×30°=60°。 ∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN=180°， ∴∠ABN=180°−∠A=180°−60°=120°， ∴∠PBN=∠ABN−∠PBA=120°−60°=60°。 ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBD=∠PBN=×60°=30°。 (3)解：∠PCB+∠PDB的值是定值， ∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN=180°， ∴∠ABN=180°−∠A=180°−60°=120°。 ∵BC平分∠PBA，BD平分∠PBN， ∴∠PBA=2∠PBC，∠PBN=2∠PBD。 ∵∠ABN=∠PBA+∠PBN， ∴2∠PBC+2∠PBD=120°， ∴∠PBC+∠PBD=60°，即∠CBD=60°。 易证∠PCB+∠PDB+∠CBD=180°， ∴∠PCB+∠PDB=180°−∠CBD=180°−60°=120°， ∴∠PCB+∠PDB是定值，∠PCB+∠PDB=120°。 学科网（北京）股份有限公司 $