湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期第三次月考数学试卷

高二数学 时量：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知命题：，都有，则该命题的否定是（ ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 3．已知实数，，．满足，则下列不等关系一定正确的是（ ） A． B． C． D． 4．二项式（）的展开式中项的系数为15，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知直线：与圆：，则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C．1 D．3 6．记为数列的前项和，已知，，则下列正确的是（ ） A． B．取最小值时 C．不是等差数列 D． 7．函数及其导函数的定义域均为，和都是奇函数，则（ ） A．的周期为4 B．的图象关于点对称 C． D． 8．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的（）值为（ ） A．11 B．10 C．9 D．8 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数，满足等式，则下列可能成立的关系式为（ ） A． B． C． D． 10．已知是各项均为正数的等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D．若，则 11．对于函数，下列说法正确的有（ ） A．在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减 B． C．设有3个不同的零点，则 D．设，若对，，使成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．关于的不等式的解集为，则________． 13．地面上现有标号为1-8号的一个游戏方格，某人投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则他连续向前走2格，若反面朝上，则他连续向前走3格，他从起始位置开始出发，若他超过8号位置，则游戏结束，那么他在6号位置停留的条件下恰好已经投掷了三次硬币的概率是________． 14．已知函数．若函数（）（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有6道题目，随机抽取2道让学生回答．已知某同学只能答对其中的3道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差． 16．如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．已知函数． （1）证明：函数的图象关于对称； （2）解不等式； （3）关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 18．设，为椭圆：（）的左，右焦点，已知点在椭圆上，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为2． （1）求椭圆的方程； （2）过作斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求的面积． （3）黄金分割的比例被认为是最能引起美感的比例，在艺术和设计中广泛应用．若椭圆上一动点到其焦点距离的最小值与最大值之比为黄金分割比的平方，即，则称此椭圆为“完美椭圆”．现有一簇椭圆：（）均是“完美椭圆”，其中便是（1）中的椭圆．另一方面，若在椭圆：上任取一点，以为切点作椭圆的切线与直线：（且）交于点，以为直径作圆，设此圆恒过椭圆的右顶点，求证：．（附：椭圆（）在处的切线方程为．） 19．已知函数为的导数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）对，都有，求的取值范围； （3）设，若在上有零点，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $