【暑假预习】第05讲 有理数的乘法与除法 2026--2027学年苏科版数学七年级上册暑假衔接讲练

第05讲 有理数的乘法与除法 知识点一：有理数的乘法法则 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2.任何数同0相乘，都得0. 3.多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定， 当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 考点二：有理数的乘法运算律 1.乘法交换律：； 2.乘法结合律：； 3.乘法分配律：． 知识点三：确定积的符号 1.若a＜0，b＞0，则ab < 0； 2.若a＜0，b＜0，则ab > 0； 3.若ab＞0，则a、b同号； 4.若ab＜0，则a、b异号； 5.若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点四：有理数的除法法则 1.除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 2.两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 题型一：两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（2025秋•蓟州区校级月考）直接写得数． （1）（﹣4）+（﹣6）； （2）4×（﹣6）； （3）（﹣0.25）×4； （4）； （5）（﹣4）+4； （6）（﹣0.19）×（﹣2）； （7）﹣3.14×0； （8）（﹣0.9）+3； （9）24+（﹣6）； （10）0﹣（﹣6）． 【分析】（1）同号负数相加，结果为负，绝对值相加； （2）正数乘负数，结果为负； （3）负数乘正数，结果为负； （4）异号分数相加，通分后计算； （5）相反数相加为零； （6）负数乘负数，结果为正； （7）任何数乘零为零； （8）异号小数相加，取绝对值大的符号； （9）正数加负数，相当于减法； （10）减去负数等于加正数． 【解答】解：（1）（﹣4）+（﹣6） ＝﹣（4+6） ＝﹣10； （2）4×（﹣6） ＝﹣（4×6） ＝﹣24； （3）（﹣0.25）×4＝﹣1； （4） ； （5）（﹣4）+4＝0； （6）（﹣0.19）×（﹣2）＝0.38； （7）﹣3.14×0＝0； （8）（﹣0.9）+3＝2.1； （9）24+（﹣6）＝18； （10）0﹣（﹣6）＝6． 【变式训练1】（2025秋•重庆月考）计算： （1）（﹣0.25）×4； （2）（﹣2023）×0； （3）； （4）． 【分析】（1）根据有理数乘法计算法则求解即可； （2）根据有理数乘法计算法则求解即可； （3）根据有理数乘法计算法则求解即可； （4）根据有理数乘法计算法则求解即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣1； （2）原式＝0； （3）原式； （4）原式＝1． 【变式训练2】（2025秋•松北区期末）直接写出得数． 　1.5　 ； 0　0　 ； 　　 ； 　　 ． 【分析】要直接写出这些式子的得数，我们可以利用小数与分数的转化、分数乘除法的运算法则来计算． 【解答】解：1.5； 00； ； ． 题型二：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（2025秋•长春校级同步）计算： （1）（﹣3）（）×（）； （2）（﹣5）×6×（）． 【分析】根据有理数的乘法，可得答案． 【解答】解：（1）（﹣3）（）×（） ＝﹣3 ； （2）（﹣5）×6×（） ＝5×6 ＝6． 【变式训练1】（2025秋•榆阳区校级月考）计算：（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）． 【分析】直接根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【解答】解：原式＝6×（﹣4）＝﹣24． 【变式训练2】计算： （1）（﹣2）×3×4×（﹣1）； （2）（﹣5）×（﹣6）×3×（﹣2）； （3）（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）； （4）（﹣3）×（﹣1）×2×（﹣6）×0×（﹣2）． 【分析】（1）、（2）、（3）题是三个以上非零有理数相乘，应该先确定符号，再计算绝对值确定符号的根据是“符号法则”，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶 数个时，积为正． （4）题是六个有理数相乘，其中有一个因数是0，所以积为0． 【解答】解：（1）（﹣2）×3×4×（﹣1） ＝+（2×3×4×1） ＝24； （2）（﹣5）×（﹣6）×3×（﹣2） ＝﹣（5×6×3×2） ＝﹣180； （3）（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2） ＝+（2×2×2×2） ＝16； （4）（﹣3）×（﹣1）×2×（﹣6）×0×（﹣2）＝0． 题型三：倒数 【典例精讲】（2026•南山区校级三模）﹣5的倒数等于（　　） A． B．﹣5 C． D．5 【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案． 【解答】解：﹣5的倒数等于：． 故选：A． 【变式训练1】（2026•澄城县模拟）有理数的倒数是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用倒数的定义求解即可． 【解答】解：的倒数是． 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•滨海县月考）求下列各数的倒数： （1）﹣2； （2）； （3）﹣0.2； （4）． 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此解答各题即可． 【解答】解：（1）∵﹣2×（）＝1， ∴﹣2的倒数是； （2）∵1， ∴的倒数是； （3）∵﹣0.2，1， ∴﹣0.2的倒数是﹣5； （4）∵1， ∴的倒数是． 题型四：有理数的除法运算 【典例精讲】计算： （1）（+48）÷（+6）； （2）（﹣81）÷（﹣3）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【分析】（1）两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，由此计算即可； （2）两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，由此计算即可； （3）两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，由此计算即可； （4）先把小数、带分数变为假分数，再根据两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除计算即可； （5）先把带分数变为假分数，再根据两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除计算即可； （6）先把带分数变为假分数，再根据两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除计算即可． 【解答】解：（1）（+48）÷（+6）＝48÷6＝8； （2）（﹣81）÷（﹣3）＝81÷3＝27； （3）； （4）2； （5）2； （6）2． 【变式训练1】计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法运算转化为乘法运算． 【解答】（1）； （2 ． 14． 【变式训练2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】各个小题关键有理数的除法法则，把除法化成乘法，带分数化成假分数，再进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ＝0.16； （4）原式 ． 题型六：有理数的乘除混合运算 【典例精讲】计算下面各题． ； ； ． 【分析】根据有理数的乘除法则计算即可． 【解答】解：； ； ． 【变式训练1】计算： （1）； （2）． 【分析】根据有理数混合运算法则，按顺序进行计算，即可得到结果． 【解答】解：（1） （） ； （2） ＝9×（）×（） ． 【变式训练2】计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）先把除法运算化为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算即可； （2）先把除法运算化为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算即可； （3）先把除法运算化为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ＝1； （3） ． 题型七：有理数的乘法运算律 【典例精讲】（2025秋•延庆区期中）计算： （1）0.25×（﹣1.25）×（﹣4）×8； （2）． 【分析】（1）根据乘法交换律、结合律计算即可； （2）根据有理数乘除法则计算即可． 【解答】解：（1）0.25×（﹣1.25）×（﹣4）×8 ＝[0.25×（﹣4）]×[（﹣1.25）×8] ＝﹣1×（﹣10） ＝10； （2） ＝4． 【变式训练1】（2025秋•金山区期末）计算：（）÷（） 【分析】首先根据除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数可得（）×（﹣36），再用乘法分配律计算即可． 【解答】解：原式＝（）×（﹣36）， （﹣36）（﹣36）（﹣36）， ＝﹣8+9﹣2， ＝﹣1． 【变式训练2】计算： （1）； （2）． 【分析】（1）把原式变形为（﹣8）×125，按乘法分配律展开，即可得到结果； （2）把原式变形为（﹣10）×42，按乘法分配律展开，即可得到结果． 【解答】解：（1） ＝（﹣8）×125 ＝﹣8×125 ＝﹣1000﹣120 ＝﹣1120； （2） ＝（﹣10）×42 ＝﹣10×4242 ＝﹣420+2 ＝﹣418． 题型七：卡片问题 【典例精讲】（2025秋•鼓楼区校级月考）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我列的算式是 　（﹣8）×（﹣5）　 ，乘积的最大值为 　40　 ． （2）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　（﹣8）×（+4）×（+3）　 ，乘积的最小值为 　﹣96　 ． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　（﹣8）÷（+3）　 ，商的最小值为 　　 ． 【分析】（1）根据绝对值最大的两个有理数的乘积为最大即可得出答案； （2）根据有理数的乘法运算的法则即可得出答案； （3）根据有理数除法的运算法则即可得出答案． 【解答】解：∵﹣8＜﹣5＜0＜+3＜+4，|﹣8|＞|﹣5|＞|+4|＞|+3|＞0， （1）当抽取﹣8，﹣5两张卡片时，这两张卡片上数字的乘积最大，最大值是40， 所列的算式是：（﹣8）×（﹣5），乘积的最大值为40， 故答案为：（﹣8）×（﹣5）；40； （2）当抽取﹣8，+4，+3三张卡片时，这三张卡片上数字的乘积最小，最大值是﹣96， 所列的算式是：（﹣8）×（+4）×（+3），乘积的最小值为﹣96， 故答案为：（﹣8）×（+4）×（+3）；﹣96； （3）当抽取﹣8，+4两张卡片时，商最小，最小值是， 所列的算式是：（﹣8）÷（+3），乘积的最小值为， 故答案为：（﹣8）÷（+3）；． 【变式训练1】（2025秋•铁东区校级期中）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 　20　 ； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 　﹣2.5　 ； （3）从中取出3张卡片，使这3张卡片乘积结果为﹣24，请写出所有的情况． 【分析】（1）找出﹣5与﹣4，使其乘积最大即可； （2）找出﹣5与2，使其商最小即可； （3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，比较|﹣5|＝5和|﹣4|＝4，这两个数的绝对值相对较大， ∴选择﹣5和﹣4，乘积为（﹣5）×（﹣4）＝20． 故答案为：20； （2）根据题意可知，在这些数中，|﹣5|＝5是较大的绝对值，|+2|＝|﹣2|＝2\是较小的绝对值， ∴根据除法运算，﹣5÷2＝﹣2.5， ∴2张卡片上数字相除的商最小，最小值是﹣2.5． 故答案为：﹣2.5； （3按此规律满足3张卡片乘积结果为﹣24的等式有， （﹣2）×（﹣3）×（﹣4）＝﹣24， （﹣2）×（+3）×（+4）＝﹣24， （+2）×（﹣3）×（+4）＝﹣24， （+2）×（+3）×（﹣4）＝﹣24． 【变式训练2】（2025秋•广州期中）如图，小明有5张写着不同数字的卡片，从中一次抽取2张卡片，完成下列问题： （1）要使这2张卡片上数字的乘积最大，应该抽取哪两张卡片？积的最大值是多少？ （2）要使这2张卡片上数字相除的商最小，应该抽取哪两张卡片？商的最小值是多少？ 【分析】（1）取绝对值较大且同号的两数相乘结果最大即可； （2）取绝对值相差较大且异号的两数相除结果最小即可． 【解答】解：（1）抽取写有﹣7和﹣5的两张卡片，乘积最大，最大值是（﹣7）×（﹣5）＝35； （2）抽取写有﹣7和1的两张卡片，商最小，最小值是﹣7÷1＝﹣7． 题型八：有理数乘除法中的实际应用 【典例精讲】道州脐橙“橙红鲜美、香甜多汁”，因出产于永州市道县而得名．现有20筐道州脐橙，以每筐25千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 2 8 （1）这20筐道州脐橙中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （2）若道州脐橙每千克售价6元，则这20筐道州脐橙可卖多少元？ 【分析】（1）利用超出最多的重量减去不足最多的重量，即可解题； （2）用总质量成单价即可． 【解答】解：（1）由题知，2.5﹣（﹣3）＝5.5（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克； （2）由题知， 总质量为： 20×25+（﹣3）+4×（﹣2）+2×（﹣1.5）+0×3+2×1+8×2.5 ＝500﹣3﹣8﹣3+0+2+20 ＝500+8 ＝508（千克）， 508×6＝3048（元）， 答：这20筐砀山酥梨可卖3048元． 【变式训练1】（2025秋•天桥区期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +6 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元，再加上每送一单能获得3元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 【分析】（1）通过比较送餐量的增减值找出最多和最少的一天，并求差； （2）以每天50单为基准，加上总增减值得到总送餐量； （3）计算底薪和送餐酬劳的总和． 【解答】解：（1）根据题意可知，送餐量最多的一天为周四，实际送餐量为：50+14＝64（单）， 送餐量最少的一天为周五，实际送餐量为：50﹣8＝42（单）， ∴这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送的单数为：64﹣42＝22（单）； （2）根据题意可知，总增减值为：﹣3+4﹣5+14﹣8+6+12＝20（单）， 基准送餐量为：50×7＝350（单）， 总送餐量为：350+20＝370（单）， 答：该外卖小哥这一周一共送餐370单； （3）根据题意可知，底薪收入为：60×7＝420（元）， 送餐酬劳为：370×3＝1110（元）， 总收入为：420+1110＝1530（元）， 答：外卖小哥这一周的收入为1530元． 【变式训练2】（2025秋•营山县期末）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小江家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程（km） ﹣6 ﹣10 ﹣18 +24 +22 +30 +28 （1）这七天中，路程最多的一天比最少的一天多走多少km； （2）这七天平均每天行驶了多少km； （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油9升，汽油的价格为7元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.5元，计算小江家换新能源汽车后，这7天比汽油车节省了多少能源费？ 【分析】（1）根据正负数的含义求出最多和最少的实际路程，再计算两者的差值； （2）先算出七天中与基准路程的差值平均数，再加上基准值得到平均每天行驶的路程； （3）先计算七天总路程，再分别算出汽油车和新能源车的总费用，最后求费用差得到节省的金额． 【解答】解：（1）据表可知，行驶路程最多的一天为第6天，路程为50+30＝80km， 行驶路程最少的一天为第3天，路程为50﹣18＝32km， 则路程最多的一天比最少的一天多走80﹣32＝48km． 答：48km． （2）先算出七天中与基准路程的差值平均数，再加上基准值得到平均每天行驶的路程可知： （﹣6﹣10﹣18+24+22+30+28）÷7 ＝（﹣34+104）÷7 ＝70÷7 ＝10km， 平均每天行驶的路程为：50+10＝60km． 答：这七天平均每天行驶了60km． （3）先计算七天总路程，再分别算出汽油车和新能源车的总费用，最后求费用差得到节省的金额如下： 七天总路程：60×7＝420km， 汽油车费用：420÷100×9×7＝264.6（元）， 新能源车费用：420÷100×15×0.5＝31.5（元）， 则节省费用264.6﹣31.5＝233.1（元）， 答：这7天的能源费用比原来节省233.1元． 题型九：有理数乘除法中的新定义问题 【典例精讲】（2025秋•于都县期中）【阅读材料】 当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作f（2，x）＝x÷x； 把3个相同的有理数x的除法运算记作f（3，x）＝x÷x÷x； 把4个相同的有理数x的除法运算记作f（4，x）＝x÷x÷x÷x； … 特别地，规定f（1，x）＝x． 【解决问题】 （1）若f（n，﹣2）＝（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2），则n＝ 　4　 ； （2）求； （3）计算：． 【分析】（1）根据运算的定义即可得到答案； （2）根据运算的定义计算即可得到答案； （3）根据运算的定义和有理数的运算法则进行计算即可求解； 【解答】解：（1）∵f（n，﹣2）＝（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）， ∴n＝4， 故答案为：4； （2）， 故答案为：27； （3）原式＝（）×（）×（﹣1） ＝1×4×（﹣1） ＝﹣4． 【变式训练1】阅读材料： 德国著名数学家高斯在一次课堂上回答过这样一个问题：计算1+2+3+⋯+99+100，高斯的解答过程如下：原式＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+⋯+（50+51）＝101×50＝5050．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和． 根据上述材料，解答下列问题： （1）计算：﹣11﹣12﹣13﹣⋯﹣30； （2）计算：1+3+5+⋯+197+199． 【分析】（1）把原式化为﹣（11+12+13+…+30），再计算即可； （2）直接利用高斯公式计算即可． 【解答】解：（1）﹣11﹣12﹣13﹣⋯﹣30 ＝﹣（11+12+13+…+30） ＝﹣410； （2）1+3+5+⋯+197+199 ＝10000． 【变式训练2】“⊙”表示一种新的运算，它是这样定义的：a⊙b＝2a+3b． 例如：1⊙（﹣2）＝2×1+3×（﹣2）＝﹣4． （1）求（﹣3）⊙4的值； （2）求5⊙[4⊙（﹣3）]的值． 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式＝2×（﹣3）+3×4 ＝﹣6+12 ＝6； （2）原式＝5⊙[2×4+3×（﹣3）] ＝5⊙（﹣1） ＝2×5+3×（﹣1） ＝10﹣3 ＝7． 题型十：错解还原问题 【典例精讲】阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　二　 步，错误原因是 　没有按同级运算从左至右运算　 ； 第二处是第 　三　 步，错误原因是 　符号弄错　 ； （2）请写出正确的结果 　　 ． 【分析】根据有理数的乘除运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算． 第二处是第三步，错误原因是符号弄错． （2）原式＝﹣15÷（）×6 ＝156 ． 【变式训练1】（2025秋•袁州区校级期中）老师在黑板上写了一道计算题： 计算：． 下面是小丽的解答过程： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣5）（第二步） ＝3．（第三步） （1）小丽的解答过程从第　二　 步开始出错； （2）请你写出这道题正确的解答过程． 【分析】（1）根据题目中的解答过程可以解答； （2）先算括号内的式子，然后将除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可． 【解答】解：（1）小丽的解答过程从第二步开始是错误的，错误的原因是没有按照运算顺序计算． 故答案为：二； （2）原式 ＝9×3 ＝27． 【变式训练2】（2025秋•封开县校级期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程从第　二　 步开始出现错误，错误原因是　运算顺序不对　 ； （2）请写出正确的解答过程． 【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序可得答案； （2）先计算括号内的运算，再按照从左至右的顺序进行计算即可． 【解答】解：（1）上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对， 故答案为：二，运算顺序不对； （2）原式 ． 1．（2026•铜川二模）计算：（﹣4）×5＝（　　） A．1 B．﹣1 C．20 D．﹣20 【分析】根据有理数的乘法的运算法则进行计算． 【解答】解：（﹣4）×5＝﹣20． 故选：D． 2．（2026•天津二模）计算的结果等于（　　） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 【分析】根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解：根据有理数的乘法法则． 故选：D． 3．（2026•市南区校级模拟）的倒数是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 【分析】依据绝对值的性质、相反数的定义以及倒数的定义求解即可． 【解答】解：． 的倒数是﹣3． 故选：D． 4．（2025秋•长春月考）计算（﹣9）÷（﹣3）＝　3　 ． 【分析】根据有理数乘、除法的运算法则，进行运算即可． 【解答】解：（﹣9）÷（﹣3）＝3． 故答案为：3． 5．（2025秋•六盘水期末）某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”，结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是 　﹣4　 ． 【分析】求出a的正确取值，代入﹣16÷a即可． 【解答】解：计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”结果得﹣12， 即：﹣16+a＝﹣12， 解得：a＝4． ∴﹣16÷a＝﹣16÷4＝﹣4． 故答案为：﹣4． 6．（2025秋•七里河区校级期中）计算：|﹣24|÷|﹣3|×|﹣2|＝　16　 ． 【分析】原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：原式＝24÷3×2 ＝8×2 ＝16． 故答案为：16． 7．（2025秋•碑林区校级期末）已知a，b为有理数，若定义一种新的运算“※”，规定a※b＝2ab，则3※（﹣4）＝ 　﹣24　 ． 【分析】根据新运算的定义和有理数的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：∵a※b＝2ab， ∴3※（﹣4）＝2×3×（﹣4）＝﹣24． 故答案为：﹣24． 8．（1）﹣1的倒数等于 　　 ． （2）计算的结果是 　18　 ． 【分析】（1）根据倒数的定义进行解题即可； （2）根据有理数的除法法则进行解题即可． 【解答】解：（1）∵﹣1， ∴﹣1的倒数等于． 故答案为：； （2）原式＝618． 故答案为：18． 9．（2026•让胡路区校级模拟）如表是n与2n（其中n为自然数）的部分对应值表： n 5 10 15 20 25 30 35 2n 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算1024×32768的结果为 　33554432　 ． 【分析】根据表格得出210＝1024，215＝32768，再根据同底数幂的乘法得出结果． 【解答】解：由表格得：210＝1024，215＝32768， ∴1024×32768 ＝210×215 ＝225 ＝33554432， 故答案为：33554432． 10．（2026•左权县模拟）下列说法：①若a+b＝0，则；②若a+b＜0，且，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则．其中正确的有 　②③④　 ．（填序号） 【分析】针对每一选项逐一判断． 【解答】解：对于①： 当a＝b＝0时，无意义， 故①错误，不符合题意； 对于②： ∵， ∴ab同号， ∵a+b＜0， ∴a＜0，b＜0， ∴a+3b＜0， ∴|a+3b|＝﹣a﹣3b， 故②正确，符合题意； 对于③： 若|a|＞|b|， 则有四种情况， 1°如数轴所示， 此时a＞b＞0， ∴a+b＞0，a﹣b＞0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 2°如数轴所示， 此时﹣a＜b＜0＜a， ∴a+b＞0，a﹣b＞0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 3°如数轴所示， 此时a＜b＜0， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 4°如数轴所示， 此时a＜0＜b＜﹣a， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 综上，若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵a+b+c＜0， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵ab＞0， ∴ab同号， ∵c＞0， ∴a和b均为负数， ∴1+（﹣1）+1＝﹣1， 故④正确，符合题意； 综上，正确的有②③④； 故答案为：②③④． 11．（2026春•长沙期中）在一次数学活动课上，老师将写有1～10共十个整数的不透明卡片（每张卡片仅写一个数字，且数字不重复）背面朝上洗匀后，随机发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人恰好两张卡片．五位同学观察自己卡片后，在黑板上写下各自卡片数字之和： 甲：17，乙：4，丙：12，丁：9，戊：13． 根据以上信息，甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，则这两个数字的乘积是　72　 ． 【分析】先确定乙的两张卡片上的数字为1，3，根据甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，得到甲同学手里两张卡片上的数字组合只能是8，9或10，7，分两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人恰好两张卡片．五位同学观察自己卡片后，在黑板上写下各自卡片数字之和：为：甲：17，乙：4，丙：12，丁：9，戊：13． 在1～10中，两个不同的正整数的和为4的只有1+3， 故乙手中的两张卡片数字为1和3， ∵17＝8+9＝10+7， ∴甲手中的两张卡片上的数字只有8和9或10和7两种情况， 当甲手中的两张卡片上的数字为8和9时，则剩余三人手中的卡片数字只有2，4，5，6，7，10， 其中和为13的只有6和7，故戊手中的两张卡片上的数字为6和7； 和为12的为10和2，和为9的为4和5，即丙手中的两张卡片上的数字为10和2，丁手中的两张卡片上的数字为4和5，符合题意； 故甲同学手里两张卡片上的数字的乘积为8×9＝72； 当甲手中的两张卡片上的数字为10和7时，则剩余三人手中的卡片数字只有2，4，5，6，8，9， 其中和为12的只有4和8，和为9的只有4和5，数字4只有一张，不符合题意； 综上：甲同学手里两张卡片上的数字的乘积为72． 故答案为：72． 12．（2024秋•同步）求下列各数的倒数． ． 【分析】根据倒数的定义求解即可． 【解答】解：（1）的倒数是； （2），故的倒数是； （3）﹣1.25＝﹣1，故﹣1.25的倒数是； （4）5的倒数是． 13．计算： （1）（）÷（）； （2）（）÷（5）； （3）2÷（）； （4）（﹣1）÷（）； （5）（）÷6； （6）（﹣8）÷（）； （7）（﹣0.75）； （8）（﹣4.2）÷（+6）． 【分析】（1）按有理数除法运算法则，变成乘法后约分即可； （2）按有理数除法运算法则，变成乘法后约分即可； （3）按有理数除法运算法则进行运算即可得到结果； （4）按有理数除法运算法则进行运算即可得到结果； （5）按有理数除法运算法则，变成乘法后约分即可； （6）按有理数除法运算法则，变成乘法后约分即可； （7）把小数化为分数后，按有理数除法运算法则，变成乘法后约分即可； （8）按有理数除法运算法则运算即可． 【解答】解：（1）（）÷（）3； （2）（）÷（5）； （3）2÷（）＝2×（﹣2）＝﹣4； （4）（﹣1）÷（）＝﹣1×（﹣3）＝3； （5）（）÷6； （6）（﹣8）÷（）＝﹣8×（）； （7）（﹣0.75）； （8）（﹣4.2）÷（+6）＝﹣0.7． 14. （2025秋•德州月考）计算： （1）； （2）0.1÷（﹣0.001）÷（﹣1）； （3）； （4）（﹣7）×（﹣56）×0÷（﹣13）． 【分析】（1）根据有理数乘法的交换律和结合律，进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则，进行计算即可； （3）根据有理数乘除混合运算法则，进行计算即可； （4）根据任何数与0相乘都得0，0除以任何数都得0，进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝﹣100÷（﹣1）＝100； （3）原式 ； （4）原式＝0÷（﹣13）＝0． 15．（2025秋•虹口区校级期中）．（此题简便计算） 【分析】观察分式，可以将拆成，然后运用乘法分配律，分别相乘，算出结果． 【解答】解： ＝﹣720+2 ＝﹣718 16．（2025秋•南召县月考）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） 第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第　二　 步，错误原因　没有按同级运算从左至右运算　 ； 第二处是第　三　 步，错误原因是　符号错误　 ； （2）请写出正确的解题过程． 【分析】（1）根据有理数的乘除运算法则即可进行判断； （2）根据有理数的乘除运算法则写出解答过程即可． 【解答】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算， 第二处是第三步，错误原因是符号弄错， 故答案为：二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号错误； （2）． ． 17．（2025秋•竹溪县期中）我们知道，，显然a÷b与b÷a的结果互为倒数关系．小明利用这一思想方法计算的过程如下：因为20+3﹣5+12＝﹣10． 故原式． 请你仿照这种方法计算：． 【分析】先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【解答】解：因为 ＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14； 所以． 18．（2025秋•铁东区校级期中）已知|a|＝2，|b|＝4， ①若，求a﹣b的值； ②若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求ab的值． 【分析】①根据绝对值的定义求出a、b的值，再根据得出a、b异号，进一步确定a、b的值，再分别代入计算即可； ②根据绝对值的定义求出a、b的值，再根据|a﹣b|＝﹣（a﹣b）得出a﹣b≤0，进一步确定a、b的值，再分别代入计算即可． 【解答】解：①∵|a|＝2，|b|＝4， ∴a＝±2，b＝±4， ∵， ∴a、b异号， ∴a＝2，b＝﹣4或a＝﹣2，b＝4， 当a＝2，b＝﹣4时，a﹣b＝2﹣（﹣4）＝2+4＝6； 当a＝﹣2，b＝4时，a﹣b＝﹣2﹣4＝﹣2+（﹣4）＝﹣6； 综上，a﹣b的值是6或﹣6； ②∵|a|＝2，|b|＝4， ∴a＝±2，b＝±4， ∵|a﹣b|＝﹣（a﹣b）， ∴a﹣b≤0， ∴a≤b， ∴a＝2，b＝4或a＝﹣2，b＝4， 当a＝2，b＝4时，ab＝2×4＝8； 当a＝﹣2，b＝4时，ab＝﹣2×4＝﹣8； 综上，ab的值是8或﹣8． 19．（2025秋•和平区校级月考）（1）若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|． ①求a+b和的值； ②填空：a　＞　 0；c﹣a　＜　 0；c﹣b　＜　 0；﹣2b　＞　 0； （2）若|a﹣2|与|5+b|互为相反数，求3a+b的值． 【分析】（1）①根据点在数轴上的位置结合绝对值的意义，得到a，b互为相反数，即可得出结果； ②根据点在数轴上的位置，判断式子的符号即可； （2）根据互为相反数的两数之和为0，结合绝对值的非负性，求出a，b的值，再进行计算即可． 【解答】解：（1）①由数轴可知，a，b在原点的两侧， ∵|a|＝|b|， ∴a，b互为相反数， ∴； ②由数轴可知：c＜b＜0＜a， ∴﹣2b＞0，c﹣a＜0，c﹣b＜0， 故答案为：＞，＜，＜，＞； （2）由题意，|a﹣2|+|5+b|＝0， ∴b+5＝0，a﹣2＝0， ∴b＝﹣5，a＝2， ∴3a+b＝3×2﹣5＝1． 20．（2025秋•伊犁州期中）现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）． （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为　﹣9　 ； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，则差的最大值为　11　 ； （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为　6　 ； （4）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为　90　 ． 【分析】（1）取最小的两个数是﹣3和﹣6，和则最小，计算即可； （2）取最大的数是5减去最小的数是﹣6，差最大，计算即可； （3）取被除数﹣6，除数﹣1，商最大，计算即可； （4）取﹣6、﹣3、5，则乘积的最大，计算即可． 【解答】解：（1）∵最小的两个数是﹣3和﹣6， ∴这2张卡片上数字的和最小，和的最小值为：（﹣3）+（﹣6）＝﹣9； （2）∵最小的数是﹣6，最大的数是5， ∴这2 张卡片上数字的差最大，差的最大值为：5﹣（﹣6）＝11； （3）要想商最大，分子和分母是同号，并且被除数绝对值最大，除数绝对值最小， ∴取出﹣6和﹣1商最大，商的最大值为：（﹣6）÷（﹣1）＝6； （4）要想乘积最大，结果是正数， ∴取﹣6、﹣3、5，则乘积的最大，乘积的最大值为：（﹣6）×（﹣3）×5＝90． 21．（2025秋•东莞市校级期末）我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题． （1）　1　 ，　﹣1　 ． （2）　1或﹣1　 （a≠0）． （3）若ab≠0，试求的所有可能的值． 【分析】（1）先计算绝对值，再计算除法； （2）分类讨论求解即可； （3）分三种情况讨论，即a＞0，b＞0；a＜0，b＜0；a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，然后化简绝对值求解即可． 【解答】解：（1）， ． 故答案为：1；﹣1； （2）当a＞0时，原式1， 当a＜0时，原式1． 故答案为：1或﹣1； （3）当a＞0，b＞0时，， 当a＜0，b＜0时，， 当a＞0，b＜0或a＜0，b＞0时，， 综上所述，的为2或0或﹣2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数的乘法与除法 知识点一：有理数的乘法法则 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2.任何数同0相乘，都得0. 3.多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定， 当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 考点二：有理数的乘法运算律 1.乘法交换律：； 2.乘法结合律：； 3.乘法分配律：． 知识点三：确定积的符号 1.若a＜0，b＞0，则ab < 0； 2.若a＜0，b＜0，则ab > 0； 3.若ab＞0，则a、b同号； 4.若ab＜0，则a、b异号； 5.若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点四：有理数的除法法则 1.除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 2.两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 题型一：两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（2025秋•蓟州区校级月考）直接写得数． （1）（﹣4）+（﹣6）； （2）4×（﹣6）； （3）（﹣0.25）×4； （4）； （5）（﹣4）+4； （6）（﹣0.19）×（﹣2）； （7）﹣3.14×0； （8）（﹣0.9）+3； （9）24+（﹣6）； （10）0﹣（﹣6）． 【变式训练1】（2025秋•重庆月考）计算： （1）（﹣0.25）×4； （2）（﹣2023）×0； （3）； （4）． 【变式训练2】（2025秋•松北区期末）直接写出得数． 　 　 ； 0　 　 ； 　 　 ； 　 　 ． 题型二：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（2025秋•长春校级同步）计算： （1）（﹣3）（）×（）； （2）（﹣5）×6×（）． 【变式训练1】（2025秋•榆阳区校级月考）计算：（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）． 【变式训练2】计算： （1）（﹣2）×3×4×（﹣1）； （2）（﹣5）×（﹣6）×3×（﹣2）； （3）（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）； （4）（﹣3）×（﹣1）×2×（﹣6）×0×（﹣2）． 题型三：倒数 【典例精讲】（2026•南山区校级三模）﹣5的倒数等于（　　） A． B．﹣5 C． D．5 【变式训练1】（2026•澄城县模拟）有理数的倒数是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025秋•滨海县月考）求下列各数的倒数： （1）﹣2； （2）； （3）﹣0.2； （4）． 题型四：有理数的除法运算 【典例精讲】计算： （1）（+48）÷（+6）； （2）（﹣81）÷（﹣3）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式训练1】计算： （1）； （2）； （3）． 【变式训练2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型六：有理数的乘除混合运算 【典例精讲】计算下面各题． ； ； ． 【变式训练1】计算： （1）； （2）． 【变式训练2】计算： （1）； （2）； （3）． 题型七：有理数的乘法运算律 【典例精讲】（2025秋•延庆区期中）计算： （1）0.25×（﹣1.25）×（﹣4）×8； （2）． 【变式训练1】（2025秋•金山区期末）计算：（）÷（） 【变式训练2】计算： （1）； （2）． 题型七：卡片问题 【典例精讲】（2025秋•鼓楼区校级月考）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我列的算式是　 　，乘积的最大值为 　 　． （2）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　 ，乘积的最小值为 　 　 ． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　 ，商的最小值为 　 　． 【变式训练1】（2025秋•铁东区校级期中）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 　 　 ； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 　 　 ； （3）从中取出3张卡片，使这3张卡片乘积结果为﹣24，请写出所有的情况． 【变式训练2】（2025秋•广州期中）如图，小明有5张写着不同数字的卡片，从中一次抽取2张卡片，完成下列问题： （1）要使这2张卡片上数字的乘积最大，应该抽取哪两张卡片？积的最大值是多少？ （2）要使这2张卡片上数字相除的商最小，应该抽取哪两张卡片？商的最小值是多少？ 题型八：有理数乘除法中的实际应用 【典例精讲】道州脐橙“橙红鲜美、香甜多汁”，因出产于永州市道县而得名．现有20筐道州脐橙，以每筐25千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 2 8 （1）这20筐道州脐橙中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （2）若道州脐橙每千克售价6元，则这20筐道州脐橙可卖多少元？ 【变式训练1】（2025秋•天桥区期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +6 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元，再加上每送一单能获得3元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 【变式训练2】（2025秋•营山县期末）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小江家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程（km） ﹣6 ﹣10 ﹣18 +24 +22 +30 +28 （1）这七天中，路程最多的一天比最少的一天多走多少km； （2）这七天平均每天行驶了多少km； （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油9升，汽油的价格为7元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.5元，计算小江家换新能源汽车后，这7天比汽油车节省了多少能源费？ 题型九：有理数乘除法中的新定义问题 【典例精讲】（2025秋•于都县期中）【阅读材料】 当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作f（2，x）＝x÷x； 把3个相同的有理数x的除法运算记作f（3，x）＝x÷x÷x； 把4个相同的有理数x的除法运算记作f（4，x）＝x÷x÷x÷x； … 特别地，规定f（1，x）＝x． 【解决问题】 （1）若f（n，﹣2）＝（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2），则n＝　 　 ； （2）求； （3）计算：． 【变式训练1】阅读材料： 德国著名数学家高斯在一次课堂上回答过这样一个问题：计算1+2+3+⋯+99+100，高斯的解答过程如下：原式＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+⋯+（50+51）＝101×50＝5050．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和． 根据上述材料，解答下列问题： （1）计算：﹣11﹣12﹣13﹣⋯﹣30； （2）计算：1+3+5+⋯+197+199． 【变式训练2】“⊙”表示一种新的运算，它是这样定义的：a⊙b＝2a+3b． 例如：1⊙（﹣2）＝2×1+3×（﹣2）＝﹣4． （1）求（﹣3）⊙4的值； （2）求5⊙[4⊙（﹣3）]的值． 题型十：错解还原问题 【典例精讲】阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　 　 步，错误原因是 　 　 ； 第二处是第 　 　 步，错误原因是 　 　 ； （2）请写出正确的结果 　 　． 【分析】根据有理数的乘除运算法则即可求出答案． 【变式训练1】（2025秋•袁州区校级期中）老师在黑板上写了一道计算题： 计算：． 下面是小丽的解答过程： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣5）（第二步） ＝3．（第三步） （1）小丽的解答过程从第　 　 步开始出错； （2）请你写出这道题正确的解答过程． 【变式训练2】（2025秋•封开县校级期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程从第　 　 步开始出现错误，错误原因是　 　 ； （2）请写出正确的解答过程． 1．（2026•铜川二模）计算：（﹣4）×5＝（　　） A．1 B．﹣1 C．20 D．﹣20 2．（2026•天津二模）计算的结果等于（　　） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 3．（2026•市南区校级模拟）的倒数是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 4．（2025秋•长春月考）计算（﹣9）÷（﹣3）＝　 　 ． 5．（2025秋•六盘水期末）某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”，结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是 　 　． 6．（2025秋•七里河区校级期中）计算：|﹣24|÷|﹣3|×|﹣2|＝　 　 ． 7．（2025秋•碑林区校级期末）已知a，b为有理数，若定义一种新的运算“※”，规定a※b＝2ab，则3※（﹣4）＝　 　 ． 8．（1）﹣1的倒数等于　 　 ． （2）计算的结果是 　 　 ． 9．（2026•让胡路区校级模拟）如表是n与2n（其中n为自然数）的部分对应值表： n 5 10 15 20 25 30 35 2n 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算1024×32768的结果为 　 　 ． 10．（2026•左权县模拟）下列说法：①若a+b＝0，则；②若a+b＜0，且，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则．其中正确的有 　 　 ．（填序号） 11．（2026春•长沙期中）在一次数学活动课上，老师将写有1～10共十个整数的不透明卡片（每张卡片仅写一个数字，且数字不重复）背面朝上洗匀后，随机发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人恰好两张卡片．五位同学观察自己卡片后，在黑板上写下各自卡片数字之和： 甲：17，乙：4，丙：12，丁：9，戊：13． 根据以上信息，甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，则这两个数字的乘积是　 　 ． 12．（2024秋•同步）求下列各数的倒数． ． 13．计算： （1）（）÷（）； （2）（）÷（5）； （3）2÷（）； （4）（﹣1）÷（）； （5）（）÷6； （6）（﹣8）÷（）； （7）（﹣0.75）； （8）（﹣4.2）÷（+6）． 14. （2025秋•德州月考）计算： （1）； （2）0.1÷（﹣0.001）÷（﹣1）； （3）； （4）（﹣7）×（﹣56）×0÷（﹣13）． 15．（2025秋•虹口区校级期中）．（此题简便计算） 16．（2025秋•南召县月考）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） 第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第　 　 步，错误原因　　 　 ； 第二处是第　 　 步，错误原因是　 　 ； （2）请写出正确的解题过程． 17．（2025秋•竹溪县期中）我们知道，，显然a÷b与b÷a的结果互为倒数关系．小明利用这一思想方法计算的过程如下：因为20+3﹣5+12＝﹣10． 故原式． 请你仿照这种方法计算：． 18．（2025秋•铁东区校级期中）已知|a|＝2，|b|＝4， ①若，求a﹣b的值； ②若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求ab的值． 19．（2025秋•和平区校级月考）（1）若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|． ①求a+b和的值； ②填空：a　 　 0；c﹣a　 　 0；c﹣b　 　 0；﹣2b　 　 0； （2）若|a﹣2|与|5+b|互为相反数，求3a+b的值． 20．（2025秋•伊犁州期中）现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）． （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为　 　 ； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，则差的最大值为　 　 ； （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为　 　 ； （4）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为　 　 ． 21．（2025秋•东莞市校级期末）我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题． （1）　 　 ，　 　 ． （2）　 　 （a≠0）． （3）若ab≠0，试求的所有可能的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $