【暑假预习】第06讲 有理数的乘方 2026--2027学年苏科版数学七年级上册暑假衔接讲练

第06讲 有理数的乘方 知识点一：有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 考点二：有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点三：科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 题型一：幂的概念的理解 【典例精讲】（2026•河北模拟）可以记作（　　） A．（﹣3）8 B．﹣38 C．（﹣8）3 D．﹣83 【分析】根据有理数的乘方，正数和负数，有理数的乘法的运算法则进行计算． 【解答】解：根据题意可知，原式表示有8个（﹣3）相乘，故记作（﹣3）8． 故选：A． 【变式训练1】（2026•许昌一模）代数式a9可以表示为（　　） A．a6+a3 B．a•a•…•a（9个a相乘） C．a+a+…+a（9个a相加） D．a18÷a2 【分析】根据乘方的定义、合并同类项、同底数幂相除，逐一分析各选项即可得出正确结果． 【解答】解：A、a6和a3不是同类项，无法合并，故a6+a3≠a9，故错误，不符合题意； B、根据乘方的定义，9个a相乘的结果记作a9，故正确，符合题意； C、9个a相加的结果是9a，不等于a9，故错误，不符合题意； D、a18÷a2＝a18﹣2＝a16≠a9，故错误，不符合题意． 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•榆次区期末）的4次幂应记为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据乘方中底数与指数的对应关系即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知，应记为． 故选：C． 题型二：有理数的乘方运算 【典例精讲】（2025秋•绵阳期末）计算（﹣1）2025的结果是（　　） A．﹣2025 B．2025 C．﹣1 D．1 【分析】根据有理数的乘方法则计算即可． 【解答】解：（﹣1）2025＝﹣1， 故选：C． 【变式训练1】计算： （1）（﹣5）4； （2）﹣54； （3）； （4）； （5）（﹣1）2021； （6）（﹣1）4． 【分析】根据乘方的定义，逐一进行计算，即可得到结果． 【解答】解：（1）（﹣5）4 ＝（﹣5）×（﹣5）×（﹣5）×（﹣5） ＝625； （2）﹣54 ＝﹣5×5×5×5 ＝﹣625； （3） ＝（）×（）×（） ； （4）； （5）（﹣1）2021＝﹣1； （6）（﹣1）4 ＝（）4 ＝（）×（）×（）×（） ． 【变式训练2】计算： （1）（﹣3）3； （2）（﹣5）4； （3）（﹣1.7）2； （4）（）3； （5）﹣（﹣2）3； （6）（﹣2）2×（﹣3）2． 【分析】（1）根据乘方的意义计算即可； （2）根据乘方的意义计算即可； （3）根据乘方的意义计算即可； （4）根据乘方的意义计算即可； （5）先算乘方，再求相反数即可； （6）先算乘方，再算乘法． 【解答】解：（1）（﹣3）3 ＝﹣3×（﹣3）×（﹣3） ＝﹣27； （2）（﹣5）4 ＝﹣5×（﹣5）×（﹣5）×（﹣5） ＝625； （3）（﹣1.7）2 ＝﹣1.7×（﹣1.7） ＝2.89； （4）（）3 （）×（） ； （5）﹣（﹣2）3 ＝﹣（﹣8） ＝8； （6）（﹣2）2×（﹣3）2 ＝4×9 ＝36． 题型三：结果是否相等 【典例精讲】（2025秋•绍兴期末）下列各组数中，计算结果相等的是（　　） A．﹣（﹣2）与﹣|﹣2| B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣23与（﹣2）3 D．与 【分析】根据相反数、绝对值、有理数乘方的运算法则，分别计算各选项中两个数的值，再比较是否相等即可． 【解答】解：A．﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣2）＝2，﹣2≠2，选项计算错误，不符合题意； B．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，﹣9≠9，选项计算错误，不符合题意； C．﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，﹣8＝﹣8，选项计算正确，符合题意； D．，，，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•天台县期末）下列各组数中，计算结果相等的是（　　） A．（﹣1）2与（﹣1）3 B．﹣23与（﹣2）3 C．﹣23与﹣6 D．﹣22与（﹣2）2 【分析】运用乘方知识对各选项进行计算、辨别． 【解答】解：∵＝（﹣1）2＝1，（﹣1）3＝﹣1， ∴选项A不符合题意； ∵﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8， ∴选项B符合题意； ∵﹣23＝﹣8≠﹣6， ∴选项C不符合题意； ∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 【变式训练2】（2026春•九龙坡区校级月考）下列各组算式中，计算结果相等的是（　　） A．32与23 B．﹣23与（﹣2）3 C．﹣32与（﹣3）2 D．[﹣2×（﹣3）]2与2×（﹣3）2 【分析】直接利用有理数的乘方运算法则进而得出答案． 【解答】解：A．32＝9，23＝8，两数不相等，选项错误，不符合题意； B．﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，两数相等，选项正确，符合题意； C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，两数不相等，选项错误，不符合题意； D．[﹣2×（﹣3）]2＝36，2×（﹣3）2＝18，两数不相等，选项错误，不符合题意． 故选：B． 题型四：偶次方的非负性 【典例精讲】（2025•巴东县模拟）若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则（a+b）2024的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2024 D．无法计算 【分析】“两个非负数相加得0，则这两个数都等于0”，据此得到a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，代入即可求解． 【解答】解：由题意得：a+3＝0，b﹣2＝0， 解得a＝﹣3，b＝2， 所以（a+b）2024＝（﹣3+2）2024＝（﹣1）2024＝1． 故选：A． 【变式训练1】若|a+1|+（b﹣2021）2＝0，则ab的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．无法计算 【分析】直接利用绝对值和偶次方的非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵|a+1|+（b﹣2021）2＝0，而|a+1|≥0，（b﹣2021）2≥0， ∴a+1＝0，b﹣2021＝0， 解得a＝﹣1，b＝2021， ∴ab＝（﹣1）2021＝﹣1． 故选：A． 【变式训练2】已知|x+2|+（2y﹣2）2＝0，计算x2+（﹣y）3的值为 　3　 ． 【分析】先根据非负数的性质取出x、y的值，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵|x+2|+（2y﹣2）2＝0， ∴x+2＝0，2y﹣2＝0， 解得x＝﹣2，y＝1， ∴x2+（﹣y）3＝（﹣2）2+（﹣1）3＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 题型五：科学记数法 【典例精讲】（2026•厦门模拟）2026年是“十五五”开局之年，中国经济交出一份成色十足的首季成绩单，发展韧性和活力进一步彰显．初步核算，一季度国内生产总值334193亿元，按不变价格计算，同比增长5.0%．数据334193用科学记数法表示为（　　） A．3.34193×105 B．33.4193×104 C．334.193×103 D．3.34193×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：334193＝3.34193×105． 故选：A． 【变式训练1】（2026•鞍山二模）“神威•太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，全系统合计约有10650000计算核心，将10650000用科学记数法表示为（　　） A．1.065×103 B．1.065×106 C．1.065×107 D．0.1065×108 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：10650000＝1.065×107． 故选：C． 【变式训练2】（2026•郑州二模）河南省政府新闻办2026年1月21日通报，根据地区生产总值统一核算结果，2025年河南省省地区生产总值（GDP）达6.66万亿元，按不变价格计算，同比增长5.6%．其中数据“6.66万亿”用科学记数法表示为（　　） A．0.66×1013 B．6.66×1012 C．6.66×1013 D．6.66×1014 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：6.66万亿＝6660000000000＝6.66×1012． 故选：B． 题型六：乘方的应用 【典例精讲】（2026•丛台区校级模拟）一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： （1）一粒大米重约多少克？ （2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） （3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元/千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） （4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 【分析】根据题意，按照要求，列式计算：（1）一粒大米重量×粒数＝总量；（2）每人每餐节约的质量×天数＝总量；（3）单价×数量＝总价；（4）人数＝总价÷每人每年的学费． 【解答】解：（1）10÷500≈0.02（克）， 答：一粒大米重约0.02克； （2）0.02×1×3×365×1400000000÷1000＝306600000（千克）＝3.066×107（千克）， 答：一年大约能节约大米3.066×107千克； （3）2×3.066×107＝6.132×107（元）， 答：可卖6.132×107元； （4）6.132×107÷500＝122640（名）， 答：可供122640名失学儿童上一年学． 【变式训练1】（2025秋•东台市期末）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） （1）经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来，大约有多高？ （2）一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 【分析】（1）先算出10亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可； （2）用10亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算． 【解答】解：（1）10亿＝1 000 000 000＝109， ∴10亿元的总张数为109÷100＝107张， 107÷100×0.9＝9×104（厘米）； （2）107÷（5×8×104）， ＝（1÷40）×（107÷104）， ＝0.025×103 ＝25＝2.5×10（天）． 【变式训练2】综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： （1）一粒大米约重多少克？ （2）按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） （3）假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 【分析】（1）用500粒大米的总重量除以500，即可求解； （2）根据题意，列出算式求解即可； （3）根据题意，列出算式求解即可． 【解答】解：（1）一粒大米约重10÷500＝0.02（克）， 答：一粒大米约重0.02克； （2）我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米， 一年大约能节约0.02×1×365×1400000000÷1000＝1.022×107（千克）， 答：一年大约能节约大米1.022×107千克； （3）5×1.022×107＝5.11×107（元）， 答：卖得人民币5.11×107元． 题型七：有理数乘方中的新定义问题 【典例精讲】（2026春•无锡月考）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：若对于正整数a，b，有an＝b，那么称b为n的劳格数，记为n＝L（a，b）（a，b为正整数）．例如：32＝9，则2＝L（3，9）． 根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空：L（2，16）＝　4　 ，L（4，64）＝　3　 ； （2）计算：L（3，27）+L（6，36）＝　5　 ； （3）若L（2，m）＝2，L（n，16）＝2，求L（m，n）的值． 【分析】（1）根据定义即可求得答案； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义求得m，n的值，然后求得L（m，n）的值即可． 【解答】解：（1）∵43＝64，24＝16， ∴L（4，64）＝3；L（2，16）＝4， 故答案为：4，3； （2）∵33＝27，62＝36， ∴L（3，27）＝3，L（6，36）＝2， ∴L（3，27）+L（6，36）＝3+2＝5， 故答案为：5； （3）∵L（2，m）＝2， ∴m＝22＝4， ∵L（n，16）＝2， ∴n2＝16， ∴n＝±4， ∵n为正整数， ∴n＝4， ∴L（m，n）＝L（4，4）＝1． 故答案为：1． 【变式训练1】（2025秋•武进区校级月考）小宇是一个聪明而文富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念，于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小明把5÷5÷5记作f（3，5），则，又如（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2），记作f（4，﹣2），则． （1）直接写出计算结果，f（2，3）＝　1；　 ，f（4，﹣2）＝　②　 ； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是　﹣1　 ；（填序号） ①f（6，3）＝f（3，6）；②；③f（2，a）＝﹣1（a≠0）． （3）计算：． 【分析】（1）根据除方法则进行计算即可； （2）根据除方法则，逐一进行判断即可； （3）根据除方法则，除方变乘方，进行计算即可． 【解答】解：（1）若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．则： f（2，3）＝3÷3＝1；． 故答案为：1；； （2）∵， ∴f（6，3）≠f（3，6），故①错误； ，故②正确； ∵f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故③错误； 故答案为：②； （3）∵，，，， ∴． 【变式训练2】（2025春•四川校级期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷⋯÷a（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，　﹣2　 ． 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）试一试：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是　　 ． （3）算一算：． 【分析】（1）根据除方的计算方法即可求解； （2）把一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的（n﹣2）次方，写成字母表述的形式； （3）根据圈a的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：． （2）一个非零有理数a的圈n次方； 故答案为：； （3） ＝36÷23×（﹣3）﹣（﹣5）2÷（﹣52） ＝﹣12.5． 题型八：错解复原问题 【典例精讲】（2025秋•铁西区期末）方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ＝﹣16÷（﹣8）×（）① ② ＝﹣16÷1③ ＝﹣16④ 圆圆： ＝（﹣8）÷（﹣6）×（）① ② ＝﹣6③ （1）以上计算过程中，方方开始出错的是第 　②　 步，圆圆开始出错的是第 　①　 步（填序号）； （2）写出你的计算过程． 【分析】（1）由有理数乘方的运算法则，同级运算法则，即可判断； （2）由有理数混合运算的运算法则，即可计算． 【解答】解：（1）方方开始出错的是第②步，圆圆开始出错的是第①步， 故答案为：②，①； （2） ＝﹣16÷（﹣8）×（） ＝2×（） ． 【变式训练1】（2025秋•永康市期末）小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） ＝16×（﹣8）×（﹣8）（第二步） ＝1024（第三步） 小红： 原式＝﹣16÷（）×（﹣8）（第一步） ＝﹣16÷[（）×（﹣8）]（第二步） ＝﹣16÷1（第三步） ＝﹣16（第四步） （1）小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤； （2）请写出正确的解答过程． 【分析】（1）根据有理数乘法的计算方法进行判断即可； （2）按照有理数乘法的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）小明在第一步就出现错误，小红在第二步出现错误， （2）原式＝﹣16÷（）×（﹣8） ＝﹣16×（﹣8）×（﹣8） ＝﹣1024． 【变式训练2】（2025秋•虹口区期中）以下是小杰同学计算的过程： 解：原式① ② ＝﹣16÷（﹣1）…③ ＝16…④ （1）以上解题过程中，最开始出现错误的是第　②　 步（填序号）； （2）写出正确的解答过程． 【分析】（1）根据同级运算，从左到右运算判断即可； （2）先算乘方，再算乘除即可． 【解答】解：（1）以上解题过程中，最开始出现错误的是第②步， 故答案为：②； （2） ＝﹣16÷9 ＝﹣16 ． 题型九：数的分类 【典例精讲】（2025秋•卢龙县期末）把下列各数分别填入相应的大括号里． ﹣1，，|﹣4|，﹣3.14，，0，﹣23，2.5，﹣（﹣3）． 正整数：{　|﹣4|，﹣（﹣3）　 …}； 负数：{　﹣1，﹣3.14，，﹣23 …}； 负分数：{　﹣3.14，　 …}． 【分析】根据求一个数的绝对值，有理数的乘方运算，相反数先进行化简，然后再根据有理数的分类解答即可． 【解答】解：∵|﹣4|＝4，﹣23＝﹣8，﹣（﹣3）＝3， ∴正整数：{|﹣4|，﹣（﹣3）…}； 负数：{﹣1，﹣3.14，，﹣23…}； 负分数：{﹣3.14，}． 【变式训练1】（2025秋•靖江市校级月考）把下列各数相应的序号填入相应的横线内： ①﹣22，②，③0，④，⑤300%，⑥，⑦，⑧﹣|﹣3.14|． （1）负数集合：{ 　①②⑧　 …}； （2）分数集合：{ 　②④⑥⑦⑧　 …}； （3）自然数集合：{ 　③⑤　 …}． 【分析】根据分数、负数、自然数的定义即可求解． 【解答】解：根据题意可知，①﹣22＝﹣4，⑤300%＝3，⑥，⑧﹣|﹣3.14|＝﹣3.14， （1）负数集合：{①②⑧…}； （2）分数集合：{②④⑥⑦⑧…}； （3）自然数集合：{③⑤…}． 【变式训练2】（2025秋•肥城市期中）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ①，②0.2，③，④﹣20%，⑤﹣|﹣3|，⑥﹣（+0.75），⑦0，⑧﹣32，⑨，⑩﹣（﹣35）． 正有理数集合：{　②，③，⑩　 …}； 非负数集合：{　②，③，⑦，⑨，⑩　 …}； 非正整数集合：{　⑤，⑦，⑧　 …}； 分数集合：{　①，②，③，④，⑥　 …}． 【分析】正有理数就是大于0的有理数；非负数就是正数和0；非正整数包括负整数和0；分数包括正分数和负分数． 【解答】解：根据题意可知，正有理数包括：②0.2，③，⑩﹣（﹣35）＝35， ∴正有理数集合：{②，③，⑩…}； ∵非负数包括：②0.2，③，⑦0，⑨，⑩﹣（﹣35）＝35， ∴非负数集合：{②，③，⑦，⑨，⑩…}； ∵非正整数包括：⑤﹣|﹣3|＝﹣3，⑦0，⑧﹣32＝﹣9， ∴非正整数集合：{⑤，⑦，⑧…}； ∵分数包括：①，②0.2，③，④﹣20%，⑥﹣（+0.75）＝﹣0.75， ∴分数集合：{①，②，③，④，⑥…}． 一、选择题 1．（2026•雁塔区校级模拟）2026年，清华大学翟荟教授团队在全自主开发的技术平台上，首次在实验中成功捕获了10064个原子，在量子计算发展进程中首次突破了万量级比特资源．这一里程碑式的成果标志着我国在量子计算硬件层面迈出了关键一步，也印证了“人工智能+量子科技”融合发展的巨大潜力，数据10064用科学记数法表示为（　　） A．10.064×103 B．1.0064×104 C．1.0064×108 D．1.0064×105 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：10064＝1.0064×104． 故选：B． 2．（2025秋•福州期末）下列式子可以表示成34的是（　　） A．4×4×4 B．3×3×3×3 C．3+3+3+3 D．4+4+4 【分析】根据乘方的定义运算即可． 【解答】解：34＝3×3×3×3． 故选：B． 3．（2025秋•任泽区期末）下列各式：①﹣（﹣2）；②﹣|﹣2|；③﹣22；④﹣（﹣2）2，计算结果为负数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：﹣（﹣2）＝2＞0，是正数； ﹣|﹣2|＝﹣2＜0，是负数； ﹣22＝﹣4＜0，是负数； ﹣（﹣2）2＝﹣4＜0，是负数； ∴负数有﹣|﹣2|，﹣22，﹣（﹣2）2，共3个． 故选：B． 4．（2025秋•河间市期中）已知﹣32和（﹣3）2，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（　　） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【分析】根据有理数的乘方运算解答即可． 【解答】解：∵﹣32的底数是3，（﹣3）2的底数是﹣3， ∴甲的说法正确； ∵﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，﹣9不等于9， ∴二者的计算结果不相同，乙的说法错误． 故选：A． 5．（2026•芜湖二模）下列计算正确的是（　　） A．﹣（﹣2）＝﹣2 B．﹣|﹣2|＝2 C．（﹣2）2＝4 D．（﹣2）3＝﹣6 【分析】利用有理数的乘方法则，相反数及绝对值的定义进行判断即可． 【解答】解：﹣（﹣2）＝2，则A不符合题意， ﹣|﹣2|＝﹣2，则B不符合题意， （﹣2）2＝4，则C符合题意， （﹣2）3＝﹣8，则D不符合题意， 故选：C． 6．（2025秋•遂川县期末）下列计算正确的是（　　） A．34＝3×4 B．﹣52＝﹣10 C． D． 【分析】通过计算每个选项的左右两边值，判断是否相等即可． 【解答】解：A、34＝81，3×4＝12，81≠12，选项计算错误，不符合题意； B、﹣52＝﹣25，﹣25≠﹣10，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算正确，符合题意； D、，，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 7．（2026•云岩区模拟）计算：32＝ 　9　 ． 【分析】根据有理数的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：32＝3×3＝9． 故答案为：9． 8．（2025秋•鼓楼区校级期末）计算：23×45×（）7＝　　 ． 【分析】先对原式变形，再计算即可． 【解答】解：原式＝23×210 ＝213×（）13×（）8 ＝（）8 ． 故答案为：． 9．（2025秋•越秀区校级月考）有下列算式：①﹣（﹣2）2＝4，②，③，④，⑤﹣33＝﹣27，其中计算错误的是 　①②③④　 ．（填序号） 【分析】根据有理数的乘方、乘法和除法分别计算即可． 【解答】解：﹣（﹣2）2＝﹣4， ∴①计算错误； ﹣55 ＝﹣25×5 ＝﹣125， ∴②计算错误； ， ∴③计算错误； （﹣3）2×（） ＝9×（） ＝﹣3， ∴④计算错误； ﹣33＝﹣27， ∴⑤计算正确． 综上，①②③④计算错误． 故答案为：①②③④． 10．（2026春•仓山区期中）常用的十进制是“逢十进一”，计算机用的二进制是“逢二进一”，类似的，三进制只需要0，1，2三个数字，“逢三进一”．如三进制中的，表示十进制中的19．那么三进制中的（1210）3表示十进制中的　48　 ． 【分析】根据十进制中的数与三进制中的数的相互转化的方法进行计算，即可解答． 【解答】解：． 故答案为：48． 三、解答题 11．计算： （1）； （2）； （3）（﹣1.5）3； （4）（﹣1）2004． 【分析】运用有理数的乘法法则进行逐一计算、求解． 【解答】解：（1）； （2）； （3）（﹣1.5）3＝﹣3.375； （4）（﹣1）2004＝1． 12．用科学记数法表示下列各数； （1）100000； （2）﹣112000； 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：（1）100000＝105； （3）﹣112000＝﹣1.12×105． 13．（2024秋•泸西县期末）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） ＝16÷1（第三步） ＝16（第四步） （1）小明与小红在计算中均出现了错误： 小明出错的步骤是第　一　 步、小红出错的步骤是第　二　 步； （2）写出正确的解答过程． 【分析】（1）小明的第一步计算（﹣2）3出现错误，小红的第二步运算顺序出现错误； （2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【解答】解：（1）小明第一步计算（﹣2）3出现错误，小红的第二步运算顺序出现错误； 故答案为：一、二． （2） ． 14．（2025秋•靖江市校级月考）已知|a+2|与（b﹣3）2互为相反数，求ab﹣a+b的值． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+2|和（b﹣3）2互为相反数， ∴|a+2|+（b﹣3）2＝0， ∴a+2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝﹣2，b＝3， ∴ab﹣a+b＝（﹣2）3﹣（﹣2）+3＝﹣3． 15．（2025秋•桐城市期中）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105． （1）猜想106×104＝　1010 ，10m×10n＝　10m+n ．（m，n均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子： ①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：（1）106×104＝1010，10m×10n＝10m+n； 故答案为：1010；10m+n； （2）①（1.5×104）×（1.2×105）＝（1.5×1.2）×（104×105）＝1.8×109； ②（﹣6.4×103）×（2×106）＝（﹣6.4×2）×（103×106）＝﹣12.8×109＝﹣1.28×1010． 16．（2024秋•保定校级期末）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作；aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2②＝　1　 ，（﹣3）③＝　　 ； （2）关于除方，下列说法错误的是C ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈n次方都等于1： C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝　　 ； （4）计算：． 【分析】（1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：（1）2②＝2÷2＝1， ； （2）A、∵a②＝a÷a＝1（a≠0），所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B、∵多少个1相除都等于1，对于任何正整数，1的圈n次方都等于1；正确； C、，故3④≠4③，错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．正确； 故选：C； （3）， 故答案为：； （4）原式 ＝﹣4+16 ＝12． 17．（2025秋•昭通月考）小强是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方，小强把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）． （1）直接写出计算结果　2　 ，f（4，3）＝　　 ． （2）计算：． 【分析】（1）根据有理数的除方运算法则求解即可； （2）根据有理数的除方运算法则求出的结果，再根据有理数的四则混合运算法则求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，； ； 故答案为：2；； （2）， ， ， ， 原式 ． 18．（2025秋•市南区校级月考）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等． 类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：（）④＝　4　 ，﹣5⑤＝　　 ． （2）关于除方，下列说法错误的是 B ． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，（﹣1）ⓝ＝1 C．2⑤＝8③ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：（﹣7）⑨＝　（）7 ． （4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式；aⓝ＝　（）n﹣2 ． （5）算一算：． 【分析】（1）根据除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，验证每个选项，做出正确的判断； （3）一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的（n﹣2）次方，按此规律得到结果； （4）把一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的（n﹣2）次方，写成字母表述的形式； （5）根据圈a的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果． 【解答】解：（1）：（）④＝（）÷（）÷（）÷（）＝4； ﹣5⑤＝﹣（5÷5÷5÷5÷5）， 故答案为：4，； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1， 故A是正确的； B．对于任何正整数n，（﹣1）⑨＝﹣1， 故B是不正确的； C、2⑤＝8③.，2⑤，8③， 故C是正确的； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数， 故D是正确的； 故答案为：B； （3）（﹣7）⑨＝（）7； 故答案为：（）7； （4）aⓝ ＝a•• ＝（）n﹣2； 故答案为：（）n﹣2； （5） ＝（）2﹣（﹣3）3÷62+（）×（）2 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 有理数的乘方 知识点一：有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 考点二：有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点三：科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 题型一：幂的概念的理解 【典例精讲】（2026•河北模拟）可以记作（　　） A．（﹣3）8 B．﹣38 C．（﹣8）3 D．﹣83 【变式训练1】（2026•许昌一模）代数式a9可以表示为（　　） A．a6+a3 B．a•a•…•a（9个a相乘） C．a+a+…+a（9个a相加） D．a18÷a2 【变式训练2】（2025秋•榆次区期末）的4次幂应记为（　　） A． B． C． D． 题型二：有理数的乘方运算 【典例精讲】（2025秋•绵阳期末）计算（﹣1）2025的结果是（　　） A．﹣2025 B．2025 C．﹣1 D．1 【变式训练1】计算： （1）（﹣5）4； （2）﹣54； （3）； （4）； （5）（﹣1）2021； （6）（﹣1）4． 【变式训练2】计算： （1）（﹣3）3； （2）（﹣5）4； （3）（﹣1.7）2； （4）（）3； （5）﹣（﹣2）3； （6）（﹣2）2×（﹣3）2． 题型三：结果是否相等 【典例精讲】（2025秋•绍兴期末）下列各组数中，计算结果相等的是（　　） A．﹣（﹣2）与﹣|﹣2| B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣23与（﹣2）3 D．与 【变式训练1】（2025秋•天台县期末）下列各组数中，计算结果相等的是（　　） A．（﹣1）2与（﹣1）3 B．﹣23与（﹣2）3 C．﹣23与﹣6 D．﹣22与（﹣2）2 【变式训练2】（2026春•九龙坡区校级月考）下列各组算式中，计算结果相等的是（　　） A．32与23 B．﹣23与（﹣2）3 C．﹣32与（﹣3）2 D．[﹣2×（﹣3）]2与2×（﹣3）2 题型四：偶次方的非负性 【典例精讲】（2025•巴东县模拟）若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则（a+b）2024的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2024 D．无法计算 【变式训练1】若|a+1|+（b﹣2021）2＝0，则ab的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．无法计算 【变式训练2】已知|x+2|+（2y﹣2）2＝0，计算x2+（﹣y）3的值为 　　 ． 题型五：科学记数法 【典例精讲】（2026•厦门模拟）2026年是“十五五”开局之年，中国经济交出一份成色十足的首季成绩单，发展韧性和活力进一步彰显．初步核算，一季度国内生产总值334193亿元，按不变价格计算，同比增长5.0%．数据334193用科学记数法表示为（　　） A．3.34193×105 B．33.4193×104 C．334.193×103 D．3.34193×106 【变式训练1】（2026•鞍山二模）“神威•太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，全系统合计约有10650000计算核心，将10650000用科学记数法表示为（　　） A．1.065×103 B．1.065×106 C．1.065×107 D．0.1065×108 【变式训练2】（2026•郑州二模）河南省政府新闻办2026年1月21日通报，根据地区生产总值统一核算结果，2025年河南省省地区生产总值（GDP）达6.66万亿元，按不变价格计算，同比增长5.6%．其中数据“6.66万亿”用科学记数法表示为（　　） A．0.66×1013 B．6.66×1012 C．6.66×1013 D．6.66×1014 题型六：乘方的应用 【典例精讲】（2026•丛台区校级模拟）一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： （1）一粒大米重约多少克？ （2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） （3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元/千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） （4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 【变式训练1】（2025秋•东台市期末）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） （1）经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来，大约有多高？ （2）一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 【变式训练2】综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： （1）一粒大米约重多少克？ （2）按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） （3）假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 题型七：有理数乘方中的新定义问题 【典例精讲】（2026春•无锡月考）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：若对于正整数a，b，有an＝b，那么称b为n的劳格数，记为n＝L（a，b）（a，b为正整数）．例如：32＝9，则2＝L（3，9）． 根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空：L（2，16）＝　　 ，L（4，64）＝　　 ； （2）计算：L（3，27）+L（6，36）＝　　 ； （3）若L（2，m）＝2，L（n，16）＝2，求L（m，n）的值． 【变式训练1】（2025秋•武进区校级月考）小宇是一个聪明而文富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念，于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小明把5÷5÷5记作f（3，5），则，又如（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2），记作f（4，﹣2），则． （1）直接写出计算结果，f（2，3）＝　 ，f（4，﹣2）＝　　 ； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是　　 ；（填序号） ①f（6，3）＝f（3，6）；②；③f（2，a）＝﹣1（a≠0）． （3）计算：． 【变式训练2】（2025春•四川校级期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷⋯÷a（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，　　 ． 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）试一试：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是　　 ． （3）算一算：． 题型八：错解复原问题 【典例精讲】（2025秋•铁西区期末）方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ＝﹣16÷（﹣8）×（）① ② ＝﹣16÷1③ ＝﹣16④ 圆圆： ＝（﹣8）÷（﹣6）×（）① ② ＝﹣6③ （1）以上计算过程中，方方开始出错的是第 　　 步，圆圆开始出错的是第 　　 步（填序号）； （2）写出你的计算过程． 【变式训练1】（2025秋•永康市期末）小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） ＝16×（﹣8）×（﹣8）（第二步） ＝1024（第三步） 小红： 原式＝﹣16÷（）×（﹣8）（第一步） ＝﹣16÷[（）×（﹣8）]（第二步） ＝﹣16÷1（第三步） ＝﹣16（第四步） （1）小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤； （2）请写出正确的解答过程． 【变式训练2】（2025秋•虹口区期中）以下是小杰同学计算的过程： 解：原式① ② ＝﹣16÷（﹣1）…③ ＝16…④ （1）以上解题过程中，最开始出现错误的是第　　 步（填序号）； （2）写出正确的解答过程． 题型九：数的分类 【典例精讲】（2025秋•卢龙县期末）把下列各数分别填入相应的大括号里． ﹣1，，|﹣4|，﹣3.14，，0，﹣23，2.5，﹣（﹣3）． 正整数：{ …}； 负数：{ …}； 负分数：{ …}． 【变式训练1】（2025秋•靖江市校级月考）把下列各数相应的序号填入相应的横线内： ①﹣22，②，③0，④，⑤300%，⑥，⑦，⑧﹣|﹣3.14|． （1）负数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）自然数集合：{ …}． 【变式训练2】（2025秋•肥城市期中）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ①，②0.2，③，④﹣20%，⑤﹣|﹣3|，⑥﹣（+0.75），⑦0，⑧﹣32，⑨，⑩﹣（﹣35）． 正有理数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}； 非正整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}． 一、选择题 1．（2026•雁塔区校级模拟）2026年，清华大学翟荟教授团队在全自主开发的技术平台上，首次在实验中成功捕获了10064个原子，在量子计算发展进程中首次突破了万量级比特资源．这一里程碑式的成果标志着我国在量子计算硬件层面迈出了关键一步，也印证了“人工智能+量子科技”融合发展的巨大潜力，数据10064用科学记数法表示为（　　） A．10.064×103 B．1.0064×104 C．1.0064×108 D．1.0064×105 2．（2025秋•福州期末）下列式子可以表示成34的是（　　） A．4×4×4 B．3×3×3×3 C．3+3+3+3 D．4+4+4 3．（2025秋•任泽区期末）下列各式：①﹣（﹣2）；②﹣|﹣2|；③﹣22；④﹣（﹣2）2，计算结果为负数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2025秋•河间市期中）已知﹣32和（﹣3）2，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（　　） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 5．（2026•芜湖二模）下列计算正确的是（　　） A．﹣（﹣2）＝﹣2 B．﹣|﹣2|＝2 C．（﹣2）2＝4 D．（﹣2）3＝﹣6 6．（2025秋•遂川县期末）下列计算正确的是（　　） A．34＝3×4 B．﹣52＝﹣10 C． D． 二、填空题 7．（2026•云岩区模拟）计算：32＝ 　　 ． 8．（2025秋•鼓楼区校级期末）计算：23×45×（）7＝　　 ． 9．（2025秋•越秀区校级月考）有下列算式：①﹣（﹣2）2＝4，②，③，④，⑤﹣33＝﹣27，其中计算错误的是 　　 ．（填序号） 10．（2026春•仓山区期中）常用的十进制是“逢十进一”，计算机用的二进制是“逢二进一”，类似的，三进制只需要0，1，2三个数字，“逢三进一”．如三进制中的，表示十进制中的19．那么三进制中的（1210）3表示十进制中的　　 ． 三、解答题 11．计算： （1）； （2）； （3）（﹣1.5）3； （4）（﹣1）2004． 12．用科学记数法表示下列各数； （1）100000； （2）﹣112000； 13．（2024秋•泸西县期末）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） ＝16÷1（第三步） ＝16（第四步） （1）小明与小红在计算中均出现了错误： 小明出错的步骤是第　　 步、小红出错的步骤是第　　 步； （2）写出正确的解答过程． 14．（2025秋•靖江市校级月考）已知|a+2|与（b﹣3）2互为相反数，求ab﹣a+b的值． 15．（2025秋•桐城市期中）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105． （1）猜想106×104＝　 ，10m×10n＝　 ．（m，n均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子： ①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）． 16．（2024秋•保定校级期末）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作；aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2②＝　 ，（﹣3）③＝　 ； （2）关于除方，下列说法错误的是　 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈n次方都等于1： C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝　 ； （4）计算：． 17．（2025秋•昭通月考）小强是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方，小强把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）． （1）直接写出计算结果　 ，f（4，3）＝　 ． （2）计算：． 18．（2025秋•市南区校级月考）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等． 类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：（）④＝　 ，﹣5⑤＝　 ． （2）关于除方，下列说法错误的是 　 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，（﹣1）ⓝ＝1 C．2⑤＝8③ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：（﹣7）⑨＝　 ． （4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式；aⓝ＝　 ． （5）算一算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $