精品解析：2026年山东菏泽市鄄城县九年级第三次阶段测试数学试题

2025-2026学年度第三次质量监测 九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 纳米科技是新兴科技，1纳米米，则5纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是【 】 A. B. C. D. 5. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“跳远”与“米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交于点M，交于点N，②分别以点M，N为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 10. 我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的3分函数为． 若是二次函数关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中 ①当时，的最小值为； ②当时，若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上； ③当时，若时，的最大值是5，最小值是，则的最大值为．描述中正确的是（） A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 12. 已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 13. 是关于x的一元二次方程的解，则.__________． 14. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于点和点，则关于x的不等式的解集是_____． 16. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_______． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组：，并写出它所有的整数解； 18. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，连接，，，且．求证：． 19. 已知：及其一边上的两点A，．求作：以为底的等腰，使点在的内部，且． 20. 每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 21. 为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚长为4米，从点看棚顶顶点的仰角为，靠墙端离地高为5米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 22. 如图，为的直径，C、E为上的两点，过点E的直线交的延长线于点D，且，． （1）求证：是的切线； （2）若半径为，，求的长． 23. 如图，点和点在反比例函数的图象上，且点在点的右侧，作轴，垂足为点，连接，． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，若的面积为6，求直线的表达式； （3）在轴上存在一点，当是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点坐标． 24. 在数学综合实践活动中，同学们以特殊三角形为载体，探究动点背景下的几何问题．研究发现：通过构造全等三角形或相似三角形，可实现线段与角的转化．如图，在中，，点M，N分别为，上的动点（不含端点）． （1）如图1，若，将绕点顺时针旋转得到，判断和的数量关系并说明理由； （2）如图2，在第（1）问的条件下，作于点E，交于点F，连接．试猜想四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，若，连接，求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第三次质量监测 九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：A．该图形是既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 纳米科技是新兴科技，1纳米米，则5纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：5纳米米， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 3. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 4. 下列运算正确的是【 】 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算法则逐一计算作出判断： A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确． 故选D． 5. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法求概率即可． 【详解】解：四张卡片分别记为：文、明、自、由，从四张中随机抽取张， 所有等可能的组合为：（文，明）、（文，自）、（文，由）、（明，自）、（明，由）、（自，由）， 一共种等可能结果， 其中恰好能组成“文明”的结果只有种， 根据概率公式：． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算括号内部分，再将除法转化为乘法，约去公因式即可得到结果． 【详解】解： ． 7. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“跳远”与“米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．画出树状图，根据树状图即可求． 【详解】解：设“跳高”“跳远”“100米”“200米”四个项目分别用、、、表示，画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等结果，其中他选择“跳远”与“100米”两个项目的结果有2种， 他选择“跳远”与“100米”两个项目的概率为， 故选：C． 8. 如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为，得，，运用圆周角定理得，，则，，，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则， 故选：D． 9. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交于点M，交于点N，②分别以点M，N为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据尺规作图的步骤可知平分，再根据矩形的性质得，然后说明是等边三角形，可得，以及，进而得出，接下来设，则，并表示出，，最后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：根据尺规作图的步骤可知平分， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 设，则，根据勾股定理，得， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 10. 我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的3分函数为． 若是二次函数关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中 ①当时，的最小值为； ②当时，若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上； ③当时，若时，的最大值是5，最小值是，则的最大值为．描述中正确的是（） A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①当时，得出，根据二次函数的性质可判断①错误；②分两种情况可判断②正确；③分两种情况求出x的值可判断③正确． 【详解】解：①当时，，图象开口向下，无最小值，故①错误； ②当时，，则， 此时，将代入，得 ， ∴点也在函数的图象上； 当时，，则， 此时，将代入，得 ， ∴点也在函数的图象上； ∴②正确； ③当时，， 令，解得，（舍去）， 令，解得，（舍去）； 当时，， 令，解得， 令，解得，（舍去）； ∴满足的最大值是5，最小值是，则的最大值为，故③正确． 综上可知，描述中正确的是②③． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，得到阴影区域面积是关键．根据几何概率的求解方法，求得阴影区域的面积与总面积的比值即可求解． 【详解】解：由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积，则小球停留在阴影区域的概率是， 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】由数轴可得，且，则，，再求出，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴，， ∴， ∴这个方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 13. 是关于x的一元二次方程的解，则.__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：把代入方程得：，所以， 所以 故答案为 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 14. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于点和点，则关于x的不等式的解集是_____． 【答案】-6＜x＜0或x＞2； 【解析】 【分析】观察一次函数和反比例函数图象，一次函数比反比例函数高的部分就是所求. 【详解】解：本题初中阶段只能用数形结合，由图知-6＜x＜0或x＞2； 点睛：利用一次函数图象和反比例函数图象性质数形结合解不等式： 形如式不等式，构造函数，=，如果,找出比,高的部分对应的x的值,,找出比,低的部分对应的x的值. 16. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：∵ 去分母得： 解得： 因为方程的解为正数， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴m的取值范围为：且 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数，解题的关键是掌握分式方程的解法，并且注意分式方程增根的问题． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组：，并写出它所有的整数解； 【答案】不等式组的解集为，整数解为，，0，1，2 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： 不等式组的解集为 整数解为，，0，1，2 18. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，连接，，，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形为菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由菱形的性质可知，，再结合题意可证，即得出，最后由等边对等角即得出． 【详解】略 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质．熟练掌握菱形的性质和三角形全等的判定定理是解题关键． 19. 已知：及其一边上的两点A，．求作：以为底的等腰，使点在的内部，且． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质等知识点，掌握基本的尺规作图方法是解题的关键． 先运用尺规作图过A作，然后再作线段的垂直平分线，垂直平分线与边的交点为点C，最后顺次连接点A、B、C即可解答． 【详解】解：如图：即为所求． 20. 每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用树状图和列表法求概率，利用树状图和列表法求出所有可能出现的结果，再求出符合条件的个数，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下， 一 二 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 一共有12种等可能的结果，其中甲和乙在一起的有2种情况， 因此（选中甲乙）． 21. 为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚长为4米，从点看棚顶顶点的仰角为，靠墙端离地高为5米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】0.7米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于，过点作于，先在中，求出，，即可得到，，再在中求出，最后根据求解即可． 【详解】解：过点作于，过点作于， ，， 由题意，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ，， ， ， ，， 在中，， ， ， ， 答：凉荫处的长为0.7米． 22. 如图，为的直径，C、E为上的两点，过点E的直线交的延长线于点D，且，． （1）求证：是的切线； （2）若半径为，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形的外角性质结合等边对等角求得，可得，再利用切线的判定定理即可得证； （2）连接，根据切线性质，可得，进而得出，结合已知即可求出的长，在中用勾股定理即可求得． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ，即：， ，， ， ， ． 在中，． 23. 如图，点和点在反比例函数的图象上，且点在点的右侧，作轴，垂足为点，连接，． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，若的面积为6，求直线的表达式； （3）在轴上存在一点，当是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点坐标． 【答案】（1） （2） （3）点坐标为，， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设，得到，点A到的距离为，推导出，得到，再根据待定系数法求出直线的表达式为，即可解答； （3）设，得到，分类讨论：①若，，②若，，③若，，逐项分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ， ， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：设， 轴，垂足为点， ，点A到的距离为， 的面积为6， ， 解得， ， 设直线的表达式为，将，分别代入，得 ， 解得 ∴直线的表达式为． 【小问3详解】 解：设， ，点在点的右侧， ， 当是等腰直角三角形时，分以下3种情况： ①若，，作轴于点，交于点，如图， 则， 又轴，垂足为点， ∴四边形为矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ②若，，作轴于点，于点，如图 则，， ， 在和中， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去） ， ， ③若，，作轴于点，作轴于点，如图 则，， ， 在和中， ， ， ，， ， 解得或（不符合题意，舍去） ， ， ∴当是等腰直角三角形时，所有满足条件的点坐标为，，． 24. 在数学综合实践活动中，同学们以特殊三角形为载体，探究动点背景下的几何问题．研究发现：通过构造全等三角形或相似三角形，可实现线段与角的转化．如图，在中，，点M，N分别为，上的动点（不含端点）． （1）如图1，若，将绕点顺时针旋转得到，判断和的数量关系并说明理由； （2）如图2，在第（1）问的条件下，作于点E，交于点F，连接．试猜想四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，若，连接，求出的最小值． 【答案】（1），理由见解析 （2）四边形为平行四边形，理由见解析 （3）10 【解析】 【分析】（1）由旋转性质可知，然后证明，再由全等三角形的性质即可求解； （2）由，则，通过旋转性质得出，可得，通过同角的余角相等得出，则，根据平行四边形的判定即可求解； （3）过点作，使，连接，，延长，过点作于点，证明，故有，又，所以当点B、M、P三点共线时，的值最小，最小值为的值，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： 绕点顺时针旋转得到，， 啊， 又， ， ； 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形，理由如下： ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形； 【小问3详解】 解：如图，过点作，使，连接，，延长，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ， ， ， ∴当点B、M、P三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 在中， ， 的最小值为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $