精品解析：2024年山东省菏泽市鄄城县九年级中考三模数学试题

2023－2024学年度第三次质量监测 九年级数学试题 时间：120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 如图所示，实数a，b在数轴上的位置，那么化简的结果是（ ） A a+2b B. a C. –a D. a-2b 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图为某品牌椅子的侧面图，若，与地面平行，，则的度数为（　　） A B. C. D. 7. 若分式□运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，是的直径，点是的中点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，把结果填在答题卡相应区域内） 11. 若实数x满足，则代数式的值为________． 12. 若关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________ ． 13. 如图，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合(粘连部分忽略不计)，则圆锥形纸帽的高是_______． 14. 如图，中，，，，点在上，延长至点，使，是的中点，连接，则的长是________． 15. 已知：如图，的圆心为，半径为2，切于P点，则阴影部分的面积为_____________. 16. 已知一组数据为：10，8，10，10，7，则这组数据的方差是_______． 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 17. 解方程： （1）解方程： （2）解不等式组． 18. 四五月份春夏之交，正值我区冬小麦浇灌拔穗的关键时期．某种粮大户计划安排甲乙两台水泵灌溉小麦，若只让甲水泵开机，可在规定时间内灌溉完成，若只让乙水泵开机，则比规定时间晚4天完成灌溉任务．若两台水泵同时开机3天，剩下的由乙水泵单独开机工作，也能按规定的时间完成灌溉任务．若甲水泵单独开机完成灌溉任务需要1920元，乙水泵单独开机完成灌溉任务需要2240元．求甲乙两台水泵单独工作一天各需要多少元钱？ 19. 小明准备利用所学的知识测量旗杆的高度．他设计了如下的测量方案：选取一个合适观测点，在地面处垂直地面竖立高度为2米的标杆，小明调整自己的位置到处，使得视线与、在同一直线上，此时测得米，然后小明从点沿着方向前进11米到处，利用随身携带的等腰直角三角尺测得视线与水平面的夹角，已知小明眼睛到地面距离为米（米），点、、、在一条直线上，，，，．请计算旗杆的高度． 20. 学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间（单位：）进行了抽样调查．并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、频率分布表和频数分布扇形图． 组别 课前预习时间 频数（人数） 频率 1 2 2 0.10 3 16 0.32 4 5 3 请根据图表中的信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ，表中的 ， ， ； （2）试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数； （3）该校九年级其有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于的学生人数． 21. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴的正半轴相交于点，与轴的负半轴交于点，，． （1）求反比例表达式； （2）若点的横坐标为，求的面积． 22. 如图，以的边为直径的半圆O分别交于点D，，过点D作于点F． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求和的长． 23. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE． （1）如图（1），当AD＝AF时， ①求证：BD＝CF； ②求∠ACE的度数． （2）如图（2），若CD＝8，DF＝5，求AE长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与轴交于点，连接． （1）求二次函数的函数表达式； （2）设二次函数的图象的顶点为，求直线的函数表达式以及的值； （3）若点在线段上（不与重合），点在线段上（不与重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度第三次质量监测 九年级数学试题 时间：120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 如图所示，实数a，b在数轴上的位置，那么化简的结果是（ ） A. a+2b B. a C. –a D. a-2b 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简二次根式，再根据绝对值的性质去绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】根据数轴可得b＜0，b-a＜0 ∴ ＝|b|-|b−a| ＝-b+b-a ＝-a， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简和性质，关键是掌握负数的绝对值等于它的相反数． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求； B中既不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； C中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； D中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】（A）＝2，是4的算术平方根，为正2，故A错； （B）由平方差公式，可得：＝3，正确． （C）＝2，故错； （D）、没有意义，故错； 选C． 4. 如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据平行线的性质可得∠3=∠1=110°，则有∠4=70°，然后根据三角形外角的性质可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴∠3=∠1=110°， ∴， ∵ ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 5. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的加法法则判断选项；根据有理数的乘法法则判断选项；根据绝对值的定义判断选项；根据不等式的基本性质判断选项． 【详解】解：A、，，， ，故该选项不符合题意； B、，， ，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； D、， ，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键． 6. 如图为某品牌椅子的侧面图，若，与地面平行，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出的度数．由三角形外角的性质求出，然后由平行线的性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7. 若分式□运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；由题意可根据分式的运算进行排除选项． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不全面，故不符合题意； C、，，不符合题意； D、或，符合题意； 故选D． 8. 如图，是的直径，点是的中点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是利用直径所对的圆周角为直角，结合求出，再根据同（等）弧所对的圆周角相等即可求出结果． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选B． 9. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数，以及二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．利用排除法求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称， ∴可排除选项A、B； ∵点，可知在y轴左侧，y随x的增大而减小，可排除选项D． 故选C． 10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，结合图形可得出高线及底面半径，继而可求出圆锥侧面积． 【详解】解：依题意知高线，底面半径， 由勾股定理求得母线长为：， 则由圆锥的侧面积公式得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算，正确求出母线长是解答本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，把结果填在答题卡相应区域内） 11. 若实数x满足，则代数式的值为________． 【答案】2022 【解析】 【分析】根据，可得，从而得到，再把原式变形为，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2022 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 12. 若关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________ ． 【答案】k＜9，且 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，得到且，解不等式即可求解 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴， ， ∴k＜9且． 故答案为：k＜9，且 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当一元二次方程无实数根时，，注意本题为一元二次方程，故要注意这一隐含条件，这是易错点． 13. 如图，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合(粘连部分忽略不计)，则圆锥形纸帽的高是_______． 【答案】6 【解析】 【详解】设圆锥形纸帽的底面半径为r，根据弧长等于底面圆的周长可得2πr=6π，解得r=3，设圆锥的母线长为R，根据扇形的弧长公式可得，解得R=9，由勾股定理可得圆锥纸帽的高为． 14. 如图，中，，，，点在上，延长至点，使，是的中点，连接，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，，在中，由直角三角形斜边中线定理可得，利用“”证得，由全等三角形的性质可得，在中，由勾股定理得的长，再根据中位线定理可得的长，即可得答案． 【详解】解：如图，取中点，连接，， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵是的中点，为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理、中位线定理等，解题的关键是证得，求出的长． 15. 已知：如图，的圆心为，半径为2，切于P点，则阴影部分的面积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质定理，扇形面积计算公式，锐角三角函数求角的度数，连接，得到，，根据求解． 【详解】如图，连接，设与的交点为B， ∵切于点， ∴， ∴， ∵的圆心为，半径为2， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 16. 已知一组数据为：10，8，10，10，7，则这组数据的方差是_______． 【答案】1.6 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的计算，根据方差公式先求出这组数据的平均数，然后代入公式求出即可． 【详解】解：平均数为：， 方差． 故答案为1.6． 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 17. 解方程： （1）解方程： （2）解不等式组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）去分母，解方程，最后要验根． （2）分别解不等式，然后得到解集． 【小问1详解】 解得， 经检验，时， 故是原方程的解． 小问2详解】 ①： 解得 ②： 解得 故解集为：． 【点睛】此题考查分式方程和不等式组的解法，解题关键是分式方程最终需要检验根是否让分式的分母为零，不等式组的解集需要将两组解联立得到解集． 18. 四五月份春夏之交，正值我区冬小麦浇灌拔穗的关键时期．某种粮大户计划安排甲乙两台水泵灌溉小麦，若只让甲水泵开机，可在规定时间内灌溉完成，若只让乙水泵开机，则比规定时间晚4天完成灌溉任务．若两台水泵同时开机3天，剩下的由乙水泵单独开机工作，也能按规定的时间完成灌溉任务．若甲水泵单独开机完成灌溉任务需要1920元，乙水泵单独开机完成灌溉任务需要2240元．求甲乙两台水泵单独工作一天各需要多少元钱？ 【答案】甲水泵单独工作一天需要160元，乙水泵单独工作一天各需要140元． 【解析】 【分析】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列得方程是解题的关键，设规定完成灌溉的时间为x天，列出方程求解即可． 【详解】解：设规定完成灌溉时间为天 解得 经检验，是原方程的解． 乙水泵单独开机需要16天 （元） （元） 答：甲水泵单独工作一天需要160元，乙水泵单独工作一天各需要140元． 19. 小明准备利用所学的知识测量旗杆的高度．他设计了如下的测量方案：选取一个合适观测点，在地面处垂直地面竖立高度为2米的标杆，小明调整自己的位置到处，使得视线与、在同一直线上，此时测得米，然后小明从点沿着方向前进11米到处，利用随身携带的等腰直角三角尺测得视线与水平面的夹角，已知小明眼睛到地面距离为米（米），点、、、在一条直线上，，，，．请计算旗杆的高度． 【答案】 【解析】 【分析】如图，交于点，延长交于点，得到，证明，利用相似比求出，再利用，即可得解． 【详解】解：如图，交于点，延长交于点， 由题意得，，，，，， ， ，， ． 设， ，， ，即， 解得：， ， 旗杆的高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形和相似三角形的判定和性质．通过添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 20. 学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间（单位：）进行了抽样调查．并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、频率分布表和频数分布扇形图． 组别 课前预习时间 频数（人数） 频率 1 2 2 0.10 3 16 0.32 4 5 3 请根据图表中的信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ，表中的 ， ， ； （2）试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数； （3）该校九年级其有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于的学生人数． 【答案】（1）50，5，24，0.48；（2）第4组人数所对应的扇形圆心角的度数为；（3）九年级每天课前预习时间不少于的学生约有860人. 【解析】 【分析】（1）根据3组的频数和百分数，即可得到本次调查的样本容量，根据2组的百分比即可得到a的值，进而得到2组的人数，由本次调查的样本容量-其他小组的人数即可得到b，用b÷本次调查的样本容量得到c； （2）根据4组的人数占总人数的百分比乘上360°，即可得到扇形统计图中“4”区对应的圆心角度数； （3）根据每天课前预习时间不少于20min的学生人数所占的比例乘上该校九年级总人数，即可得到结果． 【详解】（1）16÷0.32=50，a=50×0.1=5，b=50-2-5-16-3=24，c=24÷50=0.48； 故答案为50，5，24，0.48； （2）第4组人数所对应的扇形圆心角的度数=360°×0.48=172.8°； （3）每天课前预习时间不少于20min的学生人数的频率=1--0.10=0.86， ∴1000×0.86=860， 答：这些学生中每天课前预习时间不少于20min学生人数是860人． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图的应用，解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴的正半轴相交于点，与轴的负半轴交于点，，． （1）求反比例的表达式； （2）若点的横坐标为，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据OB＝，tan∠DOB＝，可求出点B的坐标，进而确定反比例函数的关系式； （2）求出点A的坐标，再用待定系数法求出AB解析式，求出C点坐标即可． 【详解】（1）过作轴于点 由，即 设，则 ， 点的坐标为 设反比例函数表达式为 反比例函数表达式为 （2）当时，， 点的坐标为 设直线的函数表达式为，则 解这个方程组，得 当时， ． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，熟练运用三角函数知识求出点的坐标，运用待定系数法求出解析式是解题关键． 22. 如图，以的边为直径的半圆O分别交于点D，，过点D作于点F． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求和的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，由题意易得，然后可得是的中位线，进而根据平行线的性质可进行求证； （2）由（1）知，则根据勾股定理可得然后根据等积法可得，进而可得，则根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵为⊙O的直径， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴ ∵， ∴ ∴是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 在中，由勾股定理得， 由得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE． （1）如图（1），当AD＝AF时， ①求证：BD＝CF； ②求∠ACE的度数． （2）如图（2），若CD＝8，DF＝5，求AE的长． 【答案】（1）①见解析；②90° （2） 【解析】 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质可得结论； ②根据圆内接四边形的性质可得结论； （2）通过证明△ADF∽△CDA，可求解AD的长，再利用勾股定理可求解AE的长． 【小问1详解】 ①证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACF， ∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠AFD， ∴∠ADB＝∠AFC， ∴△ABD≌△ACF（AAS）， ∴BD＝CF． ②解：∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ACD＝∠AED＝45°， ∴A、D、E、C四点共圆， ∴∠ADE+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°； 【小问2详解】 解：∵DE⊥DA且DE＝DA， ∴∠DAE＝45°， ∴∠DAE＝∠ACD， ∵∠ADF＝∠CDA， ∴△ADF∽△CDA， ∴AD：CD＝DF：AD， ∵CD＝8，DF＝5， ∴AD：8＝5：AD， 解得AD＝， ∴DE＝AD＝， ∴AE＝． 【点睛】此题考查的是三角形综合题目，掌握全等三角形的判定与性质及内接四边形的性质是解决此题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与轴交于点，连接． （1）求二次函数函数表达式； （2）设二次函数的图象的顶点为，求直线的函数表达式以及的值； （3）若点在线段上（不与重合），点在线段上（不与重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）存在，点的坐标为：或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的函数表达式为； （2）由，得，用待定系数法可得直线的函数表达式为：，设与轴交于，过点作于点，求得，，根据，得，及可得； （3）由待定系数法可得直线解析式为，设，，根据是直角三角形，且，得到与相似，是直角三角形，且两直角边的比为，再分三种情况进行讨论即可得到答案． 【小问1详解】 解：将，代入得： ， 解得， 二次函数的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， 抛物线顶点； 设直线的函数表达式为， ， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； 设与轴交于，过点作于点，如图， ， 在中，令得， ， 在中，令得， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：存在与相似，理由如下： 由得直线解析式为， 设，， 是直角三角形，且， 与相似，是直角三角形，且两直角边的比为， ①点在线段上（不与重合），点在线段上（不与重合），不可能是直角； ②若是直角，则或，过作轴于，如图， ， ， ， ∴，即， 若，则， 解得：， ∴； 若，则＝2， 解得：（此时不在线段上，舍去）； ③若为直角，则或，过作轴于，过作于，如图， ， 同理可得， ∴， 当时，， 解得：， ∴， 当时， ， 解得：， ∴； 综上所述，点N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法，锐角三角函数，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论的思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$