精品解析：　2026年广东省广州市荔湾区中国教育科学研究院荔湾实验学校二模数学试卷

中科荔实2025下九年级适应性测试（二）数学试卷 一、单选题（每小题3分，共10题30分） 1. 一个几何体只有一个顶点，一个侧面，一个底面，则这个几何体可能是（ ） A. 棱柱 B. 球 C. 棱锥 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥，根据圆锥的结构特点即可求解，掌握常见几何体的结构特征是解题的关键． 【详解】解：一个几何体只有一个顶点，一个侧面，一个底面，这个几何体可能是圆锥， 故选：． 2. 计算3y3•（﹣y2）2•（﹣2y）3的结果是（　　） A. ﹣24y10 B. ﹣6y10 C. ﹣18y10 D. 54y10 【答案】A 【解析】 【分析】原式先利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以单项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式=-24y10． 故选A． 【点睛】本题考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位，平移后的直线过点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平移规律求出直线向上平移2个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出m的值． 【详解】解：将直线向上平移2个单位，得到直线， 把点代入，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 4. 关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算判别式 的值，即可判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5. 如图，在正边形中，，则的值是（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，中心角， 先标字母，将正n变形看成一个圆，再根据圆周角定理求出，可求出中心角的度数，进而得出正多边形的边数． 【详解】解：如图所示，标准正方形的中心O，为中心角，将正n变形看成一个圆， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 7. 如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】连接，作于点，由，分别与扇形相切于点，，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：连接，作于点， 则， ，分别与扇形相切于点，，，， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键． 8. 同一条公路连接、、三地，地在、两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ） A. 甲车行驶与乙车相遇 B. 、两地相距 C. 甲车的速度是 D. 乙车中途休息分钟 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象可知，乙车的速度大于甲车的速度，乙车小时开始休息，甲、乙两车出发小时后同时到达地，据此逐项分析即可． 【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为， 第一段线段上升，表示乙车的速度大于甲车的速度， 第二段线段下降，表示乙车从时开始休息， 第三段线段上升，表示甲车追上乙车后，甲车继续行驶，乙车继续休息， 表示甲、乙两车之间的距离为，此时甲车到达某地，乙车停止休息，开始行驶， 表示甲、乙两车出发小时后同时到达地， ∵小时，乙车休息，甲车行驶了， ∴乙车中途休息小时，甲车的速度是，C、D选项错误； 小时， ∴、两地相距为，B选项错误； 甲、乙两车中途相遇的时间为，A选项正确． 9. 如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边三角形的性质．证明 ，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值． 故选：A． 10. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点和时的函数的取值，即可判断③；根据图象可判断当时，y有最小值，且为，又可求出，结合对于任意实数m，都有，即可得出，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，且， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象关于直线对称， ∴其对称轴为直线，即， ∴， ∴， 由图象可知该抛物线开口向上， ∴， ∴， 故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 由图象结合题意可知当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故③正确； 由图象可知当时，y有最小值，且为， ∵， 又∵对于任意实数m，都有， ∴，即， ∴， 故④错误． 综上所述，正确的有①③，一共2个． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共6题18分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，据此列出一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，当或时，， ∴满足的的取值范围为或， 故答案为：或． 14. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，，∠ABC＝135°，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积（图中阴影部分）是______． 【答案】 【解析】 【分析】连结AC′，AC，延长AB，过点C作CF⊥AB交延长线于F，过B′作B′E⊥AB于E，利用三角函数求出BF=CF=BCsin45°=2，，利用勾股定理求出AC=，先证四边形B′EFC为矩形，得出B′E=CF=2，利用三角函数求出∠BCB′=30°，再证△ABC≌△AB′C′，然后利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连结AC′，AC，延长AB，过点C作CF⊥AB交延长线于F，过B′作B′E⊥AB于E， ∵∠ABC=135°， ∴∠CBF=45°， ∴BF=CF=BCsin45°=2， ∵AF=AB+BF=4+2=6， ∴AC=， ∵点B′在CD上，四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，AB′=AB=4， ∵CF⊥AB，B′E⊥AB， ∴B′E∥CF， ∴四边形B′EFC为平行四边形， ∵∠CFE=90°， ∴四边形B′EFC为矩形， ∴B′E=CF=2， ∴sin∠B′AE=， ∴∠BCB′=30°， ∵将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度， ∴∠BAB′=∠CAC′=30°，AB=AB′，∠ABC=∠AB′C′，BC=B′C′， ∴△ABC≌△AB′C′， ∴将△ABC逆时针旋转30°得△AB′C′， ∴S阴影=S扇形CAC′-S扇形BAB′=． 故答案为：2π． 【点睛】本题考查图形旋转，平行四边形性质，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，扇形的面积，掌握图形旋转性质、平行四边形性质、矩形的判定与性质、三角形全等判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义、扇形的面积公式是解题关键． 16. 如图，已知的半径是4，点A，B在上，且，动点C在上运动（不与A，B重合），点D为线段的中点，连接，则线段长度的最值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】取中点E得是的中位线，知，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，从而知求的最大值就是求点A与上的点的距离的最大值，据此求解可得． 【详解】解：如图1，连接，取的中点E，连接． 则， 又∵点D为线段的中点， 在中，是的中位线， ∴， ∴， 即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上， ∴求的最大值就是求点A与上的点的距离的最大值， 如图2，当D在线段延长线上时，取最大值， ∵，，， ∴，， ∴取最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，三角形的中位线，解题的关键是判断出点D的运动路径是以E为圆心，2为半径的圆． 三、解答题（共9题72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】答案见解析 【解析】 【详解】试题分析：先去分母和去括号得到6-x+3>2x，然后移项后合并同类项，再把x的系数化为1即可，接着用数轴表示解集； 解：6-(x-3)>2x， 6-x+3>2x, -x-2x>-3-6, -3x>-9， x<3. 点睛：解一元一次不等式的基本步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.在用数轴表示不等式的解集时，用实心点表示包含分界点，用空心圆表示不包含分界点. 19. 小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，求点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】第（1）小题根据点平移后坐标为，根据待定系数法代入即可求解； 第（2）小题先做，因为，，再把点纵坐标代入反比例函数解析式即可求得点坐标． 【小问1详解】 解：由题意得，点平移后落在反比例函数图象上的坐标为， ，． ． 【小问2详解】 解：过点作于点E，如图所示， ∵四边形是矩形， ． ∴， 在中，， ． ，代入得． ． 20. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）中的一种，小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测． （1）小明检测的溶液变成红色的概率为 ； （2）用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果，并求小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的概率． 【答案】（1） （2） 将A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）分别记作，列表如下： 由表知，共有12种可能出现的结果，其中小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的有，共2种结果， 【解析】 【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）将A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）分别记作，列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：4种溶液中，有2瓶呈碱性， 则检测的溶液变成红色的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的概率为：． 21. 如图，长方形，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，，在AB上取一点M使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点， （1）求点的坐标； （2）求折痕所在直线的表达式； （3）直线与x轴相交于点N，求证四边形 是菱形． 【答案】（1）(8，0) （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）中求出即可得答案； （2）设，可得，在中运用勾股定理列出方程并求出x的值，即可得出点M的坐标，再运用待定系数法求出直线的表达式； （3）先求出点N坐标为，再根据菱形的判定进行证明即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形，， ∴， ∵沿CM翻折， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 设，则， ∵，， ∴， ∵沿CM翻折， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴， 设CM所在直线的解析式为，将、代入得： ，解得， ∴CM所在直线的解析式为； 【小问3详解】 由． 解得：， 所以， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查一次函数、翻折及菱形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是求出相关点坐标，用待定系数法求函数关系式． 22. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的一段地面． 23. 如图，是的直径，点为上一点，是的中点，过点作的垂线，垂足为，延长，交的延长线于点是的中点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段，的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，根据圆周角定理，平行线的判定可得，进而得到，由切线的判定方法即可得出结论； （2）连接，过点作于点，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理求得线段的长度，利用等腰直角三角形的性质求得圆的直径，，再利用勾股定理解答即可得出结论；利用平行线的判定与性质得到，再利用平行线的性质相似三角形的判定与性质列出比例式解答即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的中点，即， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，过点作于点，如图， ∵是的中点，是的直径， ， ． ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 24. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）若抛物线经过点，求的值； （2）若抛物线经过，两点，求的最小值； （3）若抛物线的对称轴为直线，当时，的取值范围是，且，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象点的坐标特征将点代入，然后求解即可； （2）根据，两点的纵坐标相同，可确定该抛物线的对称轴为直线，再利用二次函数的对称轴公式得，可得，继而得到，再根据二次函数的最值可得结论； （3）由（2）知：二次函数解析式为，对称轴为直线，且当时，取得最小值，当时，，然后分三种情况：当时；当时；当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过点， ∴， ∴或， ∴的值为或； 【小问2详解】 ∵二次函数图象经过，两点，且这两点的对称轴相同， ∴对称轴为直线， 又∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为； 【小问3详解】 抛物线的对称轴为直线，即： ， ∴二次函数解析式为，对称轴为直线， 当时，取得最小值，最小值为：， 当时，， ∵当时，的取值范围是，且， 当时，则，的取值范围是， ∴， ∴，矛盾； 当时，则， ∴， 当时，得：， 解得：或， ∴； 当时，的取值范围是，不符合题意； 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的增减性等知识点，掌握二次函数的图象与性质、利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 25. 如图，在和中，，，，，将绕着点旋转一定的角度． （1）当时 ①如图1，连接，，求证：． ②将旋转到图2位置，连接，，若，求点到直线的距离． （2）当时，将旋转到、、三点共线，求的面积． 【答案】（1）①见解析② （2）或 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可证明结论；②过作，过作，交延长线于，设，则， 利用勾股定理解得的值，进而确定的值，然后利用面积法计算点到直线的距离即可； （2）结合，分别求得，，；分两种情况讨论：当点在点、中间和点在点、中间，分别求解即可． 【小问1详解】 ①证明：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②过作，过作，交延长线于， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 分两种情况讨论： ①当点在点、中间时，如图，过作于点， ∵，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴=，， ∴，解得， ∴ =； ②当点在点、中间时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴=，， ∴，解得， ∴ ． 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、图形的旋转、三角形面积公式等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，运用分类讨论的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中科荔实2025下九年级适应性测试（二）数学试卷 一、单选题（每小题3分，共10题30分） 1. 一个几何体只有一个顶点，一个侧面，一个底面，则这个几何体可能是（ ） A. 棱柱 B. 球 C. 棱锥 D. 圆锥 2. 计算3y3•（﹣y2）2•（﹣2y）3的结果是（　　） A. ﹣24y10 B. ﹣6y10 C. ﹣18y10 D. 54y10 3. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位，平移后的直线过点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 4. 关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 5. 如图，在正边形中，，则的值是（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 36 6. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 9 8. 同一条公路连接、、三地，地在、两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ） A. 甲车行驶与乙车相遇 B. 、两地相距 C. 甲车的速度是 D. 乙车中途休息分钟 9. 如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是( ) A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共6题18分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 12. 计算：________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______． 14. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，，∠ABC＝135°，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积（图中阴影部分）是______． 16. 如图，已知的半径是4，点A，B在上，且，动点C在上运动（不与A，B重合），点D为线段的中点，连接，则线段长度的最值是 _____． 三、解答题（共9题72分） 17. 计算：． 18. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 19. 小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，求点坐标． 20. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）中的一种，小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测． （1）小明检测的溶液变成红色的概率为 ； （2）用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果，并求小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的概率． 21. 如图，长方形，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，，在AB上取一点M使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点， （1）求点的坐标； （2）求折痕所在直线的表达式； （3）直线与x轴相交于点N，求证四边形 是菱形． 22. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 23. 如图，是的直径，点为上一点，是的中点，过点作的垂线，垂足为，延长，交的延长线于点是的中点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段，的长． 24. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）若抛物线经过点，求的值； （2）若抛物线经过，两点，求的最小值； （3）若抛物线的对称轴为直线，当时，的取值范围是，且，求的取值范围． 25. 如图，在和中，，，，，将绕着点旋转一定的角度． （1）当时 ①如图1，连接，，求证：． ②将旋转到图2位置，连接，，若，求点到直线的距离． （2）当时，将旋转到、、三点共线，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $