广东广州市2026年中考数学二模17-23题专项训练

**基本信息** 初中数学二模解答题专项训练，以“题型分类+方法提炼”构建体系，覆盖计算、几何、函数等七大模块，强化逻辑推理与模型应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计算题|10题|分式化简“先化简再求值”、不等式组“数轴标根法”|从代数运算到方程应用，层层递进| |几何证明|6题|全等三角形“SAS/ASA判定”、特殊四边形性质应用|从基本图形到综合证明，培养空间观念| |函数题|3题|待定系数法求解析式、函数图像交点分析|函数性质与数形结合思想融合| |圆|5题|切线判定“半径垂直切线”、圆周角定理应用|圆的性质与几何证明综合，强化推理意识| |数据分析|6题|列表法求概率、样本估计总体|数据收集到分析决策，体现数据观念| |应用题|4题|方程建模、不等式解决方案设计|实际问题抽象为数学模型，培养应用意识|

广东省广州市2025-2026学年中考数学二模解答题专项训练 一、计算题专项训练 1.解不等式：． 2.解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 3.解不等式组． 4.解方程：． 5.已知，． 化简； 若，求的值． 6.解方程：． 7.解方程组：． 8.先化简，再求值：，其中为方程的解． 9.已知：． 化简； 若是方程的一个根，求的值． 10.已知． 化简； 如图，若反比例函数的图象经过点，且矩形的面积为，求的值． 二、简单几何证明题专项训练 1.如图，已知和，是上一点，，，求证：． 2.如图：▱中，、为对角线上两点且求证：≌． 3.如图，在正方形中，点，分别在，边上，且求证：． 4.如图，在正方形中，是边上一点，于点，于点求证：． 5.如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，求的长． 6.如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，求证：． 三、尺规作图专项训练 1.如图，在中，，． 请用无刻度的直尺和圆规找到边的中点，连接并延长，在延长线上截取，使，连接和保留作图痕迹，不写作法． 证明中得到的四边形是正方形． 2.如图，在中，于点，为的中点． 尺规作图：作点关于点的对称点，连接，保留作图痕迹，不写作法； 求证：四边形是矩形． 3.已知中，，平分交于点，其中． 求的度数； 将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出要求保留作图痕迹，后标记与的交点，求证：∽． 4.如图，在中，为边上一点． 在边上求作一点，使得；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 在的条件下，若，，，分别为线段，上的点，且若线段平分四边形的面积，求的长． 四、中档函数题专项训练 1.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点． 求一次函数和反比例函数的解析式； 请直接写出时的取值范围． 2.已知抛物线的顶点坐标为，与直线相交于点和点． 求该抛物线的解析式； 当时，试比较与的大小，请直接写出比较的结果． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线：与，轴分别相交于点，，与反比例函数的图象相交于点，已知，点的横坐标为． 求，的值； 平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点，，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 五、中档圆专项训练 1.如图，平面直角坐标系中，点，． 尺规作图：作经过，两点与轴相切，圆心在第一象限；保留作图痕迹，可不写作法 若点是轴上一动点，当最大时，求． 2.如图，以的一边为直径作，与边的交点恰好为边的中点． 求证：； 过点作，交于点， 求证：为的切线； 连接交于点，若，求的值． 3.如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线． 求证：； 若，求的长． 4.如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作，交的延长线于点． 求证：是的切线； 连接，若的半径为，，求阴影部分的面积结果用含的式子表示． 5.如图，是的直径，交的边于点，连接，已知，，． 求证：是的切线． 尺规作图：作的角平分线交于点保留作图痕迹，不用写作法． 在的条件下，求的长． 六、数据分析整理专项训练 1.年“冬奥会”在北京召开，有名志愿者参加某分会场的工作，其中男生人，女生人． 若从这人中随机选取一人作为联络员，选到女生的概率为______； 若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为，，，的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加试问这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 2.中小学春秋假主要基于回归教育本质、引导学生实践体验、优化公共服务与旅游发展等因素仁寿县年秋假期间，某校鼓励学生外出参加社会实践活动，为方便学生更好地完成社会实践活动，学校为学生推荐了、、、四个地方年级班对全班学生到四个地方的人数情况进行了问卷调查，每一个学生只能够选择一个地方，并根据问卷情况绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： 年级班共有学生______人；扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角度数为______； 将条形统计图补充完整； 已知去地的四名学生中男女学生各两名，要抽取其中两名学生来做本次实践活动的方案，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 3.根据以下调查报告解决问题说明：以下仅展示部分报告内容． 调查主题 学校九年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注某学习小组为了解本校九年级学生视力情况，随机收集部分学生视力筛查数据． 调查结果 九年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 合计 频数 视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：、、、、、、、、，这组数据的中位数是______； 视力低于属于视力不良，该校九年级学生有人，估计该校九年级右眼视力不良的学生约为多少人？ 有两位学生的视力特别差，需从校医提供的四种提升视力方法、、、中，各自选择一种方法进行矫正训练，求两人选中同一种方法的概率． 4.为加强劳动教育，学校制定了劳动习惯养成计划，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取名学生根据收集到的数据，将劳动时间单位：分为，，，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图，部分信息如下． 在学期初调查数据条形图中，组人数是______人，并补全条形图； 七年级有名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； 在学期末调查中，一周参与劳动时间不低于小时的学生被认定为“劳动积极分子”若该校七年级某班“劳动积极分子”中男生有人，女生有人，现从这些“劳动积极分子”中随机抽取名学生分享劳动心得，请用列表或画树状图的方法，求随机抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率． 5.已知曲线：过点． 求的值； 在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字，，；乙袋中的小球上分别标有数字，，现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，以此确定点的坐标为求点在曲线上的概率． 6.某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“与生活”“与学习”“安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如图所示． 根据以上信息，完成下列问题： 补全条形统计图并填空：参与本次投票的人数是______ 人； 由于“与科技”“故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择名学生代表对这两个主题评分，评分结果及汇总信息如表： 主题 评分 平均数 中位数 众数 与科技 故事 结合表中的数据，求出，的值，并判断选择哪个活动主题最合理？说明理由． 七、应用题专项训练 1.某校开展校园义卖活动活动前，张明到纪念品商店购买若干个“广州塔”挂件作为义卖奖品，每个挂件标价元请认真阅读结账时老板与张明的对话： 结合两人的对话内容，求张明原计划购买“广州塔”挂件多少个？ 根据活动情况，需要购买“喜洋洋”挂件和“乐融融”挂件共个作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过元其中“喜洋洋”挂件标价每个元，“乐融融”挂件标价每个元经过沟通，这次老板给予折优惠，那么张明最多可购买“喜洋洋”挂件多少个？ 2.广州市海沁沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，分别记为型、型． 年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海沁沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价型每个元，型每个元，销售额正好元，求、两种型号各卖出多少个？ 两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元个、元个国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与相同的情况下，若要使当天利润不低于元，型最多进多少个？ 3.某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品已知购买枚国风书签和个校徽钥匙扣需要元，购买枚国风书签和个校徽钥匙扣需要元． 求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格； 班委准备用元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件． 写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数； 若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率． 4.综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材：图是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图是其侧面示意图已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米当伞面完全张开时，点、、始终共线为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材：某地区某天下午不同时间的太阳高度角太阳光线与地面的夹角参照表： 时刻 点 点 点 点 点 点 太阳高度角度 素材：小明坐在露营椅上的高度头顶到地面距离约为米，如图，小明坐的位置记为点． 【任务】某一时刻测得米， 请直接写出______ ； 请求出此时影子的长度； 【任务】这天点，小明坐在离支架米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 广东省广州市2025-2026学年中考数学二模解答题专项训练 参考答案 一、计算题专项训练 1.解不等式：． 【答案】．  【解析】解：， ， ， ． 按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2.解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，．  【解析】解：， 解不等式，得． 解不等式，得． 原不等式组的解集是， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： ． 按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3.解不等式组． 【答案】．  【解析】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：． 按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 4.解方程：． 【答案】解：方程两边乘，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为．   【解析】本题考查了分式方程的解法，把分式方程化为整式方程是解决问题的关键． 先方程两边乘，化分式方程为整式方程，再将整式方程的解代入最简公分母中检验，使最简公分母为零的值不是原分式方程的解；使最简公分母不为零的解是原分式方程的解． 5.已知，． 化简； 若，求的值． 【答案】   【解析】解：； 若， 则， ． 将表示的分式通分并计算即可； 由已知条件易得，然后计算后代入数值计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6.解方程：． 【答案】，．  【解析】解：，，， ， ， ，． 利用公式法解方程即可． 本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 7.解方程组：． 【答案】解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 则方程组的解为．  【解析】方程组利用加减消元法求出解即可． 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 8.先化简，再求值：，其中为方程的解． 【答案】解：原式 为方程的解， ． 原式 ．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 9.已知：． 化简； 若是方程的一个根，求的值． 【答案】解： ； 是方程的一个根， ． ． ． ．  【解析】利用分式的加减法计算法则进行解答； 把代入已知方程，得到，然后代入化简后的中求值即可． 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，分式的加减法，分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． 10.已知． 化简； 如图，若反比例函数的图象经过点，且矩形的面积为，求的值． 【答案】；  ．  【解析】原式 ； 由条件可知，即． 反比例函数图象在第二、四象限， ，则． 把代入，得． 先对进行通分计算，再根据除法运算法则，将除法转化为乘法进行化简．这一步主要依据分式的基本运算规则，通分是为了将两个分式化为同分母分式进行减法运算，除法变乘法是利用除以一个数等于乘以它的倒数这一规则． 利用反比例函数中的几何意义，由矩形的面积得出的值，再结合函数图象所在象限确定的值，最后代入化简后的表达式求值．这里反比例函数为常数，中，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形面积为是关键知识点． 本题主要考查分式的化简求值以及反比例函数中的几何意义．解题关键在于熟练运用分式运算规则进行化简，准确利用反比例函数的性质确定的值，再代入求值． 二、简单几何证明题专项训练 1.如图，已知和，是上一点，，，求证：． 【答案】证明：， ． 在和中， ， ≌， ．  【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据平行线的性质找出，借助全等三角形的判定定理证出≌，由此即可得出． 2.如图：▱中，、为对角线上两点且求证：≌． 【答案】证明：， ， 即， ▱中，，， ， ≌．  【解析】首先可以得到，然后利用平行四边形性质可以得到，，接着利用平行线的性质可以得到，组利用全等三角形的判定方法即可证明题目结论． 本题主要考查了平行四边形的性质，同时也考查了三角形全等的判定，解题的关键是利用平行四边形的性质得到全等三角形的全等条件． 3.如图，在正方形中，点，分别在，边上，且求证：． 【答案】四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ．  【解析】证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 由正方形性质得，，再由得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质可得出结论． 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 4.如图，在正方形中，是边上一点，于点，于点求证：． 【答案】证明见解答过程．  【解析】证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 根据正方形性质得，，，再根据，得，由此可证明，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 5.如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，求的长． 【答案】  【解析】解：四边形是矩形， ，，，， ， ． 由矩形的性质得出，，，，由勾股定理求出即可． 本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键． 6.如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，求证：． 【答案】证明：，， ． ，， ． ． ． ．   【解析】根据边成比例以及对应角相等证明相似即可． 三、尺规作图专项训练 1.如图，在中，，． 请用无刻度的直尺和圆规找到边的中点，连接并延长，在延长线上截取，使，连接和保留作图痕迹，不写作法． 证明中得到的四边形是正方形． 【答案】见解析；   证明见解析．  【解析】解：边的中点以及使的点，如图即为所求； 证明：由作图可知：，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形． 根据等腰三角形的性质和垂直平分线或角平分线的作图进行解答即可； 利用正方形的判定进行解答即可． 本题考查了作图复杂作图，等腰直角三角形，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解答本题的关键． 2.如图，在中，于点，为的中点． 尺规作图：作点关于点的对称点，连接，保留作图痕迹，不写作法； 求证：四边形是矩形． 【答案】(1)如图所示：   (2)证明：点与点关于点对称， ∴点，，三点共线， 点为的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形 ， ∴ ∴是矩形．   【解析】 作射线，截取，连接，即可求解；  根据作图可得，根据已知可得，则四边形是平行四边形，结合，即可得证． 3.已知中，，平分交于点，其中． 求的度数； 将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出要求保留作图痕迹，后标记与的交点，求证：∽． 【答案】解：，  ，  平分，  ，  ；  证明：，  ，  为等腰三角形，  以点为圆心，为半径画弧交于点，再分别以点和点为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧相交于点，  则为所作，如图，  绕点逆时针旋转至，  ，，  ，  ，  ，  ，  ，  ∽．  【解析】解：，  ，  平分，  ，  ；  证明：，  ，  为等腰三角形，  以点为圆心，为半径画弧交于点，再分别以点和点为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧相交于点，  则为所作，如图，  绕点逆时针旋转至，  ，，  ，  ，  ，  ，  ，  ∽． 先根据等腰三角形的性质得到，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形内角和定理可计算出的度数；  先证明为等腰三角形，则以点为圆心，为半径画弧交于点，再分别以点和点为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧相交于点，所以为所作，如图，再根据旋转的性质得到，，接着利用等腰三角形的性质得到，则利用三角形内角和定理计算出，利用平角的定义计算出，所以，加上，于是根据相似三角形的判定方法可得到结论． 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质、旋转的性质和复杂作图． 4.如图，在中，为边上一点． 在边上求作一点，使得；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 在的条件下，若，，，分别为线段，上的点，且若线段平分四边形的面积，求的长． 【答案】如图，点即为所求；    【解析】解：如图，点即为所求； ， ∽， ：， ：：， ，线段平分四边形的面积， ， ∽，：： ， ， ． 根据要求作出图形； 利用相似三角形的判定和性质解决问题即可． 本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 四、中档函数题专项训练 1.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点． 求一次函数和反比例函数的解析式； 请直接写出时的取值范围． 【答案】，  或  【解析】解：由条件可知， 反比例函数的解析式为； 点在反比例函数的图象上， ， ， 又点，两点在一次函数的图象上， ， 解得， 则该一次函数的解析式为． 根据图象可知使成立的的取值范围是：或． 利用待定系数法即可解答； 根据函数图象结合交点坐标即可解答． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 2.已知抛物线的顶点坐标为，与直线相交于点和点． 求该抛物线的解析式； 当时，试比较与的大小，请直接写出比较的结果． 【答案】  当时，；当时，；当时，  【解析】解：抛物线的顶点坐标为， ， 过点， ， 解得， 该抛物线的解析式为； 直线过点， ， ， 由，解得或， 点，如图， 当时，； 当时，； 当时，． 利用待定系数法即可求解； 求得正比例函数的解析式，解析式联立求得的坐标，结合图象即可求解． 本题考查二次函数与不等式组之间的关系、待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线：与，轴分别相交于点，，与反比例函数的图象相交于点，已知，点的横坐标为． 求，的值； 平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点，，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】解：， 点的坐标为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 点在直线上，点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， ； 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， 当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 直线与轴交于点， ， ， 当时，，舍去， 此时，点的坐标为， 当时，，舍去， 此时，点的坐标为， 综上所述：以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或  【解析】根据题意求出点的坐标，进而求出，再求出点的坐标，求出； 分、两种情况，计算即可． 本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 五、中档圆专项训练 1.如图，平面直角坐标系中，点，． 尺规作图：作经过，两点与轴相切，圆心在第一象限；保留作图痕迹，可不写作法 若点是轴上一动点，当最大时，求． 【答案】作出的垂直平分线，交轴于点， 以点为圆心，为半径画弧，交轴上方的于点， 以点为圆心，为半径画圆，如图， 则为求作的圆    【解析】解：作出的垂直平分线，交轴于点， 以点为圆心，为半径画弧，交轴上方的于点， 以点为圆心，为半径画圆，如图， 则为求作的圆． 当经过，的圆与轴相切于点时，最大， 由知：经过，两点与轴相切，设切点为，则此时最大，点在第四象限时解答方法相同如图， 连接，并延长交于点，连接，， 则为圆的直径， ，， ，， ，， ， 与轴相切于点， ，， ， ， ． 利用点，的坐标可知：，利用弦的垂直平分线经过圆心的性质可得圆心在的垂直平分线上，由于垂直平分线为直线，可得圆心到轴的距离为，利用圆心到直线的距离等于半径的直线为圆的切线的性质可得圆的半径为，以此为依据解答即可； 连接，并延长交于点，连接，，利用圆周角定理得到，，利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论． 本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，尺规作图，圆的切线的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 2.如图，以的一边为直径作，与边的交点恰好为边的中点． 求证：； 过点作，交于点， 求证：为的切线； 连接交于点，若，求的值． 【答案】(1)证明：∵为的直径， ∴，即． ∵为中点， ∴垂直平分， ∴．   (2)①证明：如图，连接， 由（1）得，则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵为半径， ∴为的切线． ②解：∵在中，， ， ∴设，则， ∴． ∵在中，， ， ， ， ， ． ， ， ．   【解析】 由圆周角定理可得，可证垂直平分，进而可证；  连接，证明，可得，进而得出，可证为的切线； 设，则，由勾股定理求出，可得，，再证明即可求解． 3.如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线． 求证：； 若，求的长． 【答案】证明：是的外接圆，是的切线，如图，连接， ， ， 于点，延长至点， ， ， ， ， ， ； 解：， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， ， ， ， ．  【解析】连接，根据是的切线，可得，根据垂线的定义得到，求得，根据等腰三角形的性质得出，等量代换即可得证； 由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，根据垂径定理即可得出结论． 本题主要考查了切线的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4.如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作，交的延长线于点． 求证：是的切线； 连接，若的半径为，，求阴影部分的面积结果用含的式子表示． 【答案】证明：连接交于点，   点是的内心，连接并延长交于点，   平分，   ，   ，   ，   ，交的延长线于点，   ，   是的半径，且，   是的切线； 解：，，且，  ，  ，的半径为，  ，，  ，  ，  ，  阴影部分的面积是．   【解析】连接交于点，由点是的内心，得，则，由垂径定理得，因为，所以，即可证明是的切线．  因为，所以，而，的半径为，则，，所以，则，即可由，求得． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、切线的判定、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 5.如图，是的直径，交的边于点，连接，已知，，． 求证：是的切线． 尺规作图：作的角平分线交于点保留作图痕迹，不用写作法． 在的条件下，求的长． 【答案】证明：是的直径，  ，  ，  ，，  ，  ，  即，  ，  为直径，  是的切线  解：如图，为所作；    在中，，，  ，  ，  ∽，  ：：，  即：：，  解得，  ，平分，  ，  ，  为的中位线，  ．  【解析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质． 先根据圆周角定理得到，，再证明，所以，则，然后根据切线的判定方法得到结论；  先利用基本作图作平分，再利用勾股定理计算出，接着证明∽，利用相似比求出，然后根据等腰三角形的性质得到，所以为的中位线，最后根据三角形中位线定理求解． 六、数据分析整理专项训练 1.年“冬奥会”在北京召开，有名志愿者参加某分会场的工作，其中男生人，女生人． 若从这人中随机选取一人作为联络员，选到女生的概率为______； 若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为，，，的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加试问这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 【答案】  这个游戏不公平  【解析】解：现有名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生人，女生人， 从这人中随机选取一人作为联络员，选到女生的概率为 故答案为：； 如图所示： 牌面数字之和为：，，，，，，，，，，，， 偶数为：个，得到偶数的概率为， 得到奇数的概率为， 甲参加的概率乙参加的概率， 这个游戏不公平． 直接利用概率公式求出即可； 利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出即可． 此题主要考查了游戏公平性以及概率公式应用，正确画出树状图是解题关键． 2.中小学春秋假主要基于回归教育本质、引导学生实践体验、优化公共服务与旅游发展等因素仁寿县年秋假期间，某校鼓励学生外出参加社会实践活动，为方便学生更好地完成社会实践活动，学校为学生推荐了、、、四个地方年级班对全班学生到四个地方的人数情况进行了问卷调查，每一个学生只能够选择一个地方，并根据问卷情况绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： 年级班共有学生______人；扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角度数为______； 将条形统计图补充完整； 已知去地的四名学生中男女学生各两名，要抽取其中两名学生来做本次实践活动的方案，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】  补全统计图如下：    【解析】解：人， 年级班共有学生人， 扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角度数为； 的人数为人， 补全统计图如下： 画树状图如下： 由树状图可知恰好抽到一名男生一名女生的结果数有种，一共有种等可能性的结果数， 概率为． 用的人数除以其人数占比可求出年级班的人数，再用度乘以的人数占比即可求出对应的圆心角度数； 根据所求求出的人数，再补全统计图即可； 画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽到一名男生一名女生的结果数，最后根据概率公式求解即可． 本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息的关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和熟知概率公式是解题的关键． 3.根据以下调查报告解决问题说明：以下仅展示部分报告内容． 调查主题 学校九年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注某学习小组为了解本校九年级学生视力情况，随机收集部分学生视力筛查数据． 调查结果 九年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 合计 频数 视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：、、、、、、、、，这组数据的中位数是______； 视力低于属于视力不良，该校九年级学生有人，估计该校九年级右眼视力不良的学生约为多少人？ 有两位学生的视力特别差，需从校医提供的四种提升视力方法、、、中，各自选择一种方法进行矫正训练，求两人选中同一种方法的概率． 【答案】  估计该校九年级右眼视力不良的学生约为人   【解析】解：数据按由小到大排列为：，，，，，，，，， 这组数据的中位数为． 故答案为：； 人， 答：估计该校九年级右眼视力不良的学生约为人； 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两人选中同一种方法的结果有种， 两人选中同一种方法的概率为． 先把数据按由小到大排列，再根据中位数的定义求解即可； 利用样本估计总体，用乘以样本中右眼视力不良的学生所占的比例即可； 画树状图得出所有等可能的结果数以及两人选中同一种方法的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查了用树状图法求概率、频数分布表以及中位数等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 4.为加强劳动教育，学校制定了劳动习惯养成计划，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取名学生根据收集到的数据，将劳动时间单位：分为，，，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图，部分信息如下． 在学期初调查数据条形图中，组人数是______人，并补全条形图； 七年级有名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； 在学期末调查中，一周参与劳动时间不低于小时的学生被认定为“劳动积极分子”若该校七年级某班“劳动积极分子”中男生有人，女生有人，现从这些“劳动积极分子”中随机抽取名学生分享劳动心得，请用列表或画树状图的方法，求随机抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率． 【答案】；  约人   【解析】解：由题意得，在学期初调查数据条形图中，组人数是人． 补全条形图如图所示． 故答案为：． 人． 答：估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数约人． 列表如下： 男 男 男 女 女 男 男，男 男，男 男，女 男，女 男 男，男 男，男 男，女 男，女 男 男，男 男，男 男，女  男，女 女 女，男 女，男 女，男  女，女 女 女，男 女，男  女，男  女，女 共有种等可能的结果，其中随机抽取的名学生恰好是名男生和名女生的结果有种， 随机抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率为． 用分别减去，，组的人数可得组人数，再补全条形图即可． 根据用样本估计总体，用乘以学期末调查数据扇形统计图中，的百分比，即可得出答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及随机抽取的名学生恰好是名男生和名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． 5.已知曲线：过点． 求的值； 在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字，，；乙袋中的小球上分别标有数字，，现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，以此确定点的坐标为求点在曲线上的概率． 【答案】(1)解：过点， ． ∴．   (2)根据题意列树状图如下： ​​​​​​​： 共有种等可能的结果， 其中满足点在曲线：上的情况有种， 分别为和． 点在曲线上的概率为．   【解析】 将代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解；  根据题意列树状图，得出共有种等可能的结果，进而得出在的结果数，结合概率公式，即可求解． 6.某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“与生活”“与学习”“安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如图所示． 根据以上信息，完成下列问题： 补全条形统计图并填空：参与本次投票的人数是______ 人； 由于“与科技”“故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择名学生代表对这两个主题评分，评分结果及汇总信息如表： 主题 评分 平均数 中位数 众数 与科技 故事 结合表中的数据，求出，的值，并判断选择哪个活动主题最合理？说明理由． 【答案】解：本次投票人数为：人，  与学习的人数为：人，  补全条形统计图为：    ；  ，  将“故事”的打分排列为：，，，，，，，，  则中位数，  应该选择“与科技”，  理由：因为“与科技”的评分的中位数和众数都比“故事”的高，所以应该选择“与科技”答案不唯一．  【解析】解：本次投票人数为：人，  与学习的人数为：人，  补全条形统计图为：    故答案为：；  ，  将“故事”的打分排列为：，，，，，，，，  则中位数，  应该选择“与科技”，  理由：因为“与科技”的评分的中位数和众数都比“故事”的高，所以应该选择“与科技”答案不唯一． 由安全的人数除以占比得到投票人数；  根据平均数，中位数的定义即可求解；可以根据中位数和众数分别进行分析即可． 本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键． 七、应用题专项训练 1.某校开展校园义卖活动活动前，张明到纪念品商店购买若干个“广州塔”挂件作为义卖奖品，每个挂件标价元请认真阅读结账时老板与张明的对话： 结合两人的对话内容，求张明原计划购买“广州塔”挂件多少个？ 根据活动情况，需要购买“喜洋洋”挂件和“乐融融”挂件共个作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过元其中“喜洋洋”挂件标价每个元，“乐融融”挂件标价每个元经过沟通，这次老板给予折优惠，那么张明最多可购买“喜洋洋”挂件多少个？ 【答案】张明原计划购买“广州塔”挂件个  张明最多可购买“喜洋洋”挂件个  【解析】解：设张明原计划购买“广州塔”挂件个，则实际购买个， 依题意得：， 解得：． 答：张明原计划购买“广州塔”挂件个． 设张明购买个“喜洋洋”挂件，则购买个“乐融融”挂件， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 的最大值为． 答：张明最多可购买“喜洋洋”挂件个． 设张明原计划购买“广州塔”挂件个，则实际购买个，根据实际打折后比原计划少花元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 设张明购买个“喜洋洋”挂件，则购买个“乐融融”挂件，利用总价单价数量，结合两次购买奖品总支出不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 2.广州市海沁沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，分别记为型、型． 年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海沁沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价型每个元，型每个元，销售额正好元，求、两种型号各卖出多少个？ 两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元个、元个国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与相同的情况下，若要使当天利润不低于元，型最多进多少个？ 【答案】型卖出个，型卖出个  型最多购进个  【解析】解：设型卖出个，型卖出个， 根据题意得：， 解得：． 答：型卖出个，型卖出个； 设型购买个，则型购进个， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：型最多购进个． 设型卖出个，型卖出个，利用销售总额销售单价销售数量，结合兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个且销售总额为元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设型购买个，则型购进个，利用总利润每个型的销售利润购进型的数量每个型的销售利润购进型的数量，结合总利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 3.某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品已知购买枚国风书签和个校徽钥匙扣需要元，购买枚国风书签和个校徽钥匙扣需要元． 求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格； 班委准备用元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件． 写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数； 若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率． 【答案】解：设每枚国风书签的价格为元，每个校徽钥匙扣的价格为元．根据题意列方程组：，  解得，  答：每枚国风书签的价格为元，每个校徽钥匙扣的价格为元；  由可知，国风书签单价元，校徽钥匙扣单价元，总费用元，  可得：，  ，  因为、都是正整数，  所以必须是正偶数，    时，；  时，；  时，；时，；  时，；  时，舍去，因为每种奖品至少买一件  所以符合条件的方案有个；  校徽钥匙扣数量多于国风书签数量，即，  ，和，，  满足条件的方案有个，总方案数为个，  概率为：．  【解析】解：设每枚国风书签的价格为元，每个校徽钥匙扣的价格为元．根据题意列方程组：，  解得，  答：每枚国风书签的价格为元，每个校徽钥匙扣的价格为元；  由可知，国风书签单价元，校徽钥匙扣单价元，总费用元，  可得：，  ，  因为、都是正整数，  所以必须是正偶数，    时，；  时，；  时，；时，；  时，；  时，舍去，因为每种奖品至少买一件  所以符合条件的方案有个；  校徽钥匙扣数量多于国风书签数量，即，  ，和，，  满足条件的方案有个，总方案数为个，  概率为：． 设每枚国风书签的价格为元，每个校徽钥匙扣的价格为元，根据“购买枚国风书签和个校徽钥匙扣需要元，购买枚国风书签和个校徽钥匙扣需要元”列出方程组，解方程组即可；  根据购买枚国风书签和个校徽钥匙扣的总费用列出，的数量关系，再根据，为正整数写出方案；  根据概率公式计算即可． 本题考查概率的应用，二元一次方程组应用，关键是掌握概率的求法． 4.综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材：图是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图是其侧面示意图已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米当伞面完全张开时，点、、始终共线为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材：某地区某天下午不同时间的太阳高度角太阳光线与地面的夹角参照表： 时刻 点 点 点 点 点 点 太阳高度角度 素材：小明坐在露营椅上的高度头顶到地面距离约为米，如图，小明坐的位置记为点． 【任务】某一时刻测得米， 请直接写出______ ； 请求出此时影子的长度； 【任务】这天点，小明坐在离支架米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】解：；  如图，米，米，过作于，    米，  在直角三角形中，由勾股定理可得：米，  ，  故答案为：；  如图，过点作于点，过点作于点，   结合题意可得：四边形为矩形，  ，  ，，  ，，  ，  ，  由条件可知米，  在中，，  又，  ，  解得：经检验，是分式方程的解，且符合题意，  此时影子的长度为米；  小明会被太阳光照射到．理由如下：  如图，过点作交于点，    由条件可知，  在中，，，米， ， 米， ，于， 米，米， 米． 在中，，，， 米， 在中，，，， 米，  在中，，，， 当米时，米，  小明刚好被照射到时离点的距离为，  小明会被太阳光照射到．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $