精品解析：2025年广东省广州市荔湾区广雅中学中考二模考试数学试卷

2025届初中毕业班学生学业水平综合测试（二） （数学） 本卷共4页，25小题，满分120分．答题用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号和座位号，用2B铅笔填涂考号（10位）． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 3．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，作答结束后，将本卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 氢、氧、碳、氮是重要的化学元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中可以看作是中心对称图形，但不能看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某科研团队通过电子显微镜测得人体红细胞的平均直径为米，该数据用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下列图形中，由，能得到的是（ ）． A. B. C D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于实数、，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题是（ ） A. 若中，，则 B. 二次函数图象与坐标轴有两个交点 C. 与是同类二次根式 D. 已知，则 7. 为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都是格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在建筑设计实践中，常常会遇到四边形结构的建筑框架．现有一个四边形建筑框架，其中和是两条相互平行的建筑边线，、作为两条交叉的支撑结构线，于点交汇，为整个建筑框架提供稳固的支撑．设计师在进行建筑材料分配以及装饰设计规划时，需要精准把握各个三角形区域的面积比例．已知，则当（ ）时，才能使与的面积之比为，以便为后续的建筑设计工作提供精确的数据支持． A. B. C. D. 10. 如图，边长为1的正方形中，、为线段、上的动点，且，小明用信息技术软件开展研究，当拖动点时，发现线段与线段、、和之间存在相互变化关系，设长度为，、、和的长度分别为、、、，在平面直角坐标系中画出点、、和的轨迹，则平面直角坐标系中这四个轨迹分别对应的图象是（ ）． A. ④③①② B. ③④①② C. ③④②① D. ④③②① 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点，则点在第________象限． 12. 因式分解：________ 13. 如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为________． 14. 受台风“摩羯”外围环流影响，珠江口某大型水库水位持续上升，防汛部门监测到近小时内水位将保持上涨趋势．下表记录了台风影响初期3小时内5个时间点的水位数据，其中表示时间（单位：小时），表示水位高度（单位：米）请根据表中数据，写出关于的函数解析式________，用于合理预估台风影响下的水位变化规律（不写自变量取值范围）． （小时） 0 1 3 （米） 15. 如图，的直径为4，、、在上，与交于点，若，，则劣弧的长为________（结果保留π）． 16. 直线与轴、轴分别交于、两点，以为底作顶角为的等腰三角形，则点的横坐标为________． 三、解答题（共72分） 17. 解方程组：． 18. 如图， 在中，，为的中点，，．求证：四边形是菱形． 19. 已知为整式，，化简后，． （1）求整式； （2）若是方程的根，求的值． 20. 为了丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校举办了一场精彩纷呈的校园科技节．在科技节中，设置了多个比赛项目，每个学生需要参与四个项目的角逐，其中项目、、为固定必选项目，项目和中随机抽取一个． （1）在参与科技节的众多学生中，有一个小组的8名同学抽到了项目．他们在该项目中的表现成绩如下：7，6，8，9，10，5，8，7．这组成绩的中位数是________，平均数是________； （2）某班有50名学生，下表是各项目成绩统计，则该班此次科技节平均成绩为________； 项目 测试人数（人） 50 50 50 30 20 单科平均成绩（分） 9 8 7 8 9 （3）诗诗和妍妍是该班级的两位同学，请用列表法或画树状图法，求她俩参赛的四个项目不完全相同的概率． 21. 某中学开展“莲韵文化”手工实践活动，同学们制作不同工艺等级的莲花灯．基础款为第1级，每盏利润10元，每天可制作50盏．每提升1个工艺等级，单盏利润增加2元，日产量减少4盏． （1）若某天手工社团获得总利润588元请问他们制作的是第几个工艺等级的莲花灯（工艺等级从第1级开始依次递增）？ （2）若社团希望获得最大日利润，应选择第几工艺等级？此时最大日利润是多少元？ 22. 如图，矩形中，，，连接，为线段上一点，于点． （1）利用尺规在上作一点，使得沿翻折后点的对称点刚好落在射线上（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，与线段交于点，求线段的长． 23. 如图，双曲线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，过作轴于点，． （1）当，时，求的值； （2）连接，若时，求的值． 24. 如图，中，，，，点是线段上的一个动点，点在的延长线上且满足连接，以为直径作，交于点，交于点． （1）证明：； （2）连接，若和相切，求线段的长； （3）点在线段上运动的过程中，当线段长度最小时，求四边形的面积． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点为抛物线上不与顶点重合的动点，把抛物线绕点顺时针旋转得到新的图象，点在图象上的对应点为． （1）求抛物线的对称轴； （2）当以为直径的有且只有一个点与轴相切时，求点坐标； （3）已知，原抛物线图象与旋转后图象的其中一个公共点为，当点在点左侧，求点的横坐标取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届初中毕业班学生学业水平综合测试（二） （数学） 本卷共4页，25小题，满分120分．答题用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号和座位号，用2B铅笔填涂考号（10位）． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 3．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，作答结束后，将本卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 氢、氧、碳、氮是重要的化学元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中可以看作是中心对称图形，但不能看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D． 2. 某科研团队通过电子显微镜测得人体红细胞的平均直径为米，该数据用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：米米， 故选D． 3. 下列图形中，由，能得到的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A、由得到，不符合题意； B、由不能确定直线平行，不符合题意； C、如图，由，得到，即可根据同位角相等，两直线平行得到，符合题意； D、由不能判定两直线平行，不符合题意； 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，单项式乘以多项式和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 对于实数、，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，根据新定义可得不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：由题意得，不等式组即为不等式组， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ， 故选：A． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若中，，则 B. 二次函数的图象与坐标轴有两个交点 C. 与是同类二次根式 D. 已知，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的证明，根据含30度角的直角三角形的性质，二次函数与轴的交点问题，同类二次根式的定义，分式的求值，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若中，，则或，原命题是假命题，不符合题意； B、对于，，当时，，故二次函数的图象与轴有两个交点，与轴有一个交点，故原命题为假命题，不符合题意； C、与是同类二次根式，是真命题，符合题意； D、，则：，原命题为假命题，不符合题意； 故选C． 7. 为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找出题中的等量关系． 设乙组每小时做个虾饺，根据“甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同”列出方程． 【详解】解：设乙组每小时做个虾饺，则甲组同学平均每小时做个虾饺， 根据题意，得， 故选： A． 8. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都是格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查网格中的三角函数，勾股定理求出的值，作于点，等积法求出的上，再利用锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】解：作于点， 由勾股定理，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 9. 在建筑设计的实践中，常常会遇到四边形结构的建筑框架．现有一个四边形建筑框架，其中和是两条相互平行的建筑边线，、作为两条交叉的支撑结构线，于点交汇，为整个建筑框架提供稳固的支撑．设计师在进行建筑材料分配以及装饰设计规划时，需要精准把握各个三角形区域的面积比例．已知，则当（ ）时，才能使与的面积之比为，以便为后续的建筑设计工作提供精确的数据支持． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，证明，根据与的面积之比为，得出，从而得，设，则，，证明，即可得， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，边长为1的正方形中，、为线段、上的动点，且，小明用信息技术软件开展研究，当拖动点时，发现线段与线段、、和之间存在相互变化关系，设长度为，、、和的长度分别为、、、，在平面直角坐标系中画出点、、和的轨迹，则平面直角坐标系中这四个轨迹分别对应的图象是（ ）． A. ④③①② B. ③④①② C. ③④②① D. ④③②① 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，设长度为，则，分别求出，，，，然后再进行判断即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 设长度为，则， ∵、、和的长度分别为、、、， ∴， ∴当时，取最大值，当时，取最小值， ∴图象③为点的轨迹； ∵， 当时，取最小值1，当时，取最大值， 延长，取，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，，当时，， ∴图象④为点的轨迹； ∵， ∴当时，取最小值1，当时，取最大值， ∵，， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，点的轨迹在点的轨迹上面， ∴图象②为点的轨迹；图象①为点的轨迹； 综上分析可知：在平面直角坐标系中，点、、和的轨迹分别对应的图象是③④②①． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点，则点在第________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据题意可证明，则点的横坐标为正，纵坐标为负，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点P在第四象限， 故答案为：四． 12. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解； ， 故答案为：． 13. 如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 先由等腰三角形的性质得，再证，然后由三角形中位线定理得，即可解决问题． 【详解】解：平分， ， 于， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ， 是的中位线， ， 的周长， 故答案为：． 14. 受台风“摩羯”外围环流影响，珠江口某大型水库水位持续上升，防汛部门监测到近小时内水位将保持上涨趋势．下表记录了台风影响初期3小时内5个时间点的水位数据，其中表示时间（单位：小时），表示水位高度（单位：米）请根据表中数据，写出关于的函数解析式________，用于合理预估台风影响下的水位变化规律（不写自变量取值范围）． （小时） 0 1 3 （米） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据x每增加，y就增加列式求解即可． 【详解】解：由表格可知，x每增加，y就增加， ， 故答案为：． 15. 如图，的直径为4，、、在上，与交于点，若，，则劣弧的长为________（结果保留π）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形性质、圆周角定理及等腰三角形的判定与性质、弧长计算，连接，求出，，结合条件得出，进而求出弧长． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 的直径为4， 劣弧的长， 故答案为：． 16. 直线与轴、轴分别交于、两点，以为底作顶角为的等腰三角形，则点的横坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数性质、全等三角形的判定与性质及解直角三角形，先求出，分两种情况：当点C在直线左侧时，作轴于点E，作轴于点F；当点C在直线右侧时，作轴，作轴于点I，作轴，作轴于点H，分别列方程求出即可． 【详解】解：对于直线，当时，； 当时，， ， 如下图：①当点C在直线左侧时，作轴于点E，作轴于点F， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， ， 解得：， ， 则点的横坐标为； ②当点C在直线右侧时，作轴，作轴于点I，作轴，作轴于点H， 同理， ， 在中，设， ， ， ， ， 解得：， ， 则点的横坐标为； 故答案为：或． 三、解答题（共72分） 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由①，得：③； 把③代入②，得：，解得：； 把代入③，得：； ∴方程组的解为：． 18. 如图， 在中，，为的中点，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由，，推出四边形是平行四边形， 再证明即可解决问题． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ，为的中点， ， 四边形是菱形 ． 【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定等知识， 解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法． 19. 已知为整式，，化简后，． （1）求整式； （2）若是方程的根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，分式的化简求值； （1）先计算分式的除法运算，再与结果比较可得的结果； （2）先解一元二次方程得到方程的解，再结合分式有意义的条件把代入化简后的代数式计算即可. 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴. 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵分式有意义， ∴，，，， 当时， 原式. 20. 为了丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校举办了一场精彩纷呈的校园科技节．在科技节中，设置了多个比赛项目，每个学生需要参与四个项目的角逐，其中项目、、为固定必选项目，项目和中随机抽取一个． （1）在参与科技节的众多学生中，有一个小组的8名同学抽到了项目．他们在该项目中的表现成绩如下：7，6，8，9，10，5，8，7．这组成绩的中位数是________，平均数是________； （2）某班有50名学生，下表是各项目成绩统计，则该班此次科技节的平均成绩为________； 项目 测试人数（人） 50 50 50 30 20 单科平均成绩（分） 9 8 7 8 9 （3）诗诗和妍妍是该班级的两位同学，请用列表法或画树状图法，求她俩参赛的四个项目不完全相同的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求中位数，需先将数据从小到大排序，再根据数据个数的奇偶性确定中位数的计算方法．本题数据个数为8（偶数个），则中位数是中间两个数的平均数．运用平均数公式，将所有数据相加再除以数据个数即可． （2）根据加权平均数公式（其中是第i组数据的数值，是第i组数据的频数）来计算． （3）用列表法或树状图法列出诗诗和妍妍选择项目的所有可能情况，再找出她俩参赛的四个项目不完全相同的情况数，最后根据概率公式（n是总情况数，m是事件A发生的情况数）计算概率． 【小问1详解】 解：将成绩5，6，7，7，8，8，9，10从小到大排序． ∵数据个数为偶数， ∴中位数是中间两个数7和8的平均数，即 根据平均数公式 故答案为：，； 【小问2详解】 解：总人数为50人． 项目A的加权分为；项目B的加权分为；项目C的加权分为；项目D的加权分为；项目E的加权分为 ∴平均成绩 【小问3详解】 解：设项目D、E，诗诗选项目有2种可能（选D或选E），妍妍选项目也有2种可能（选D或选E）． 用列表法： 诗诗 妍妍 D E D E 总情况数种，她俩参赛的四个项目不完全相同的情况有、，共种． ∴她俩参赛的四个项目不完全相同的概率 【点睛】本题主要考查了中位数、平均数、加权平均数的计算方法，用列表法或树状图法求概率．解题关键是计算中位数时要先排序，明确数据个数奇偶性对中位数计算的影响；计算平均数和加权平均数要准确运用公式；用列表法或树状图法求概率时，要完整列出所有可能情况，不重不漏，再根据概率公式计算． 21. 某中学开展“莲韵文化”手工实践活动，同学们制作不同工艺等级的莲花灯．基础款为第1级，每盏利润10元，每天可制作50盏．每提升1个工艺等级，单盏利润增加2元，日产量减少4盏． （1）若某天手工社团获得总利润588元请问他们制作的是第几个工艺等级的莲花灯（工艺等级从第1级开始依次递增）？ （2）若社团希望获得最大日利润，应选择第几工艺等级？此时最大日利润多少元？ 【答案】（1）他们制作的是第个工艺等级的莲花灯 （2）社团希望获得最大日利润，应选择第5工艺等级，最大利润为612元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和函数解析式，是解题的关键： （1）设他们制作的是第个工艺等级的莲花灯，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （2）设总利润为，选择第个工艺等级，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，求最值即可． 小问1详解】 解：设他们制作的是第个工艺等级的莲花灯，由题意，得： ， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：他们制作的是第个工艺等级的莲花灯； 【小问2详解】 设总利润为，选择第个工艺等级，由题意，得： ， ∴当时，函数取的最大值，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵为整数， ∴时，； 时，； 故社团希望获得最大日利润，应选择第5工艺等级，最大利润为612元． 22. 如图，矩形中，，，连接，为线段上一点，于点． （1）利用尺规在上作一点，使得沿翻折后点的对称点刚好落在射线上（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，与线段交于点，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于P，则点P即为所求； （2）过点G作于T，由矩形的性质可得，则，解直角三角形得到，；解得到，由角平分线的性质得到，解得到，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，作角平分线交于P，则点P即为所求； 由折叠的性质可得，则平分； 【小问2详解】 解：如图所示，过点G作于T， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∵平分，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，角平分线的尺规作图，角平分线的性质，解直角三角形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，双曲线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，过作轴于点，． （1）当，时，求的值； （2）连接，若时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握反比例数的性质是解题的关键； （1），时，，设，进而表示出梯形的面积，建立方程，解方程，即可求解； （2）根据得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，表示出，同（1）的方法，表示出梯形的面积，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：当，时， 反比例函数为： 设其中，代入 ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 【小问2详解】 解：如图， ∵轴， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴, ∴, 将，代入 得 ∴， ∴ ∴ ∴ 解得： 24. 如图，中，，，，点是线段上的一个动点，点在的延长线上且满足连接，以为直径作，交于点，交于点． （1）证明：； （2）连接，若和相切，求线段的长； （3）点在线段上运动的过程中，当线段长度最小时，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理求得，推出，再利用30度角的直角三角形的性质即可证明； （2）设，则，在中，求得，在中，求得，推出，得到，求得，再证明是的中位线，利用三角形中位线定理求解即可； （3）过点作于点，设，用表示出和的长，利用勾股定理得到，利用二次函数的性质求得当时， 有最小值，利用勾股定理求得，连接，作于点，利用垂径定理和勾股定理求得，推出，得到四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∴， ∵和相切， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于点， 设， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，开口向上， ∴当时，有最小值，即有最小值， 此时，，，，，，， ∴， 连接，作于点， 则四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形平行四边形， ∴四边形面积． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，勾股定理，垂径定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点为抛物线上不与顶点重合的动点，把抛物线绕点顺时针旋转得到新的图象，点在图象上的对应点为． （1）求抛物线的对称轴； （2）当以为直径的有且只有一个点与轴相切时，求点坐标； （3）已知，原抛物线图象与旋转后图象的其中一个公共点为，当点在点左侧，求点的横坐标取值范围． 【答案】（1）直线 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式即可求解； （2）设点坐标为，得到，根据旋转的性质得到点坐标为，，根据圆周角定理和切线的性质定理得到轴，得到，整理得到方程有两个相等的实数根，利用求出和的值，即可解答； （3）利用二次函数的性质得到，得出点旋转后的对应点，根据题意可知点与点重合，则有，代入得到抛物线的解析式为，设点坐标为，则有，点坐标为，结合点在点左侧求出的范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 即抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：设点坐标为， 点在抛物线上， ， 由题意得，点绕点顺时针旋转得到点， 点坐标为，， 以为直径的， 点在上，点是的中点， 点坐标为， 有且只有一个与轴相切， 轴， ，即， 有两个相等的实数根， 整理得：， ， 解得：，， 当，此时， 当，此时， 点坐标为或． 【小问3详解】 解：令，则， 点坐标为， 点绕点顺时针旋转得到点，则点坐标为， 在图象上， 点与点重合， ， 代入到，得， 解得：， 抛物线的解析式为， 设点坐标为， 点在抛物线上， ， 由（2）得，点坐标为， 点在点左侧， ，即， 解得：， ， 当时，有最大值；当时，有最小值； ， 点的横坐标取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、旋转的性质、切线的性质定理、抛物线与坐标轴的交点、解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $