精品解析：2026年6月山东济南市市中区九年级八校联考数学试题

济南市市中区九年级八校出征定心测试数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是． 2. 一个几何体按如图所示水平放置，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图的知识是解题的关键． 根据简单组合体的三视图得出结论即可． 【详解】解：由题意知，该几何体的主视图为． 故选：A． 3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”是清代袁枚写的诗．苔花的花粉直径约为，将数据的相反数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题需先求出原数的相反数，再确定科学记数法中和的值． 【详解】解：∵的相反数为， ∴． 4. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 【答案】A 【解析】 【详解】分析:根据多边形内角和公式和正五边形每个内角都相等可得∠ABC=108°,再根据等腰三角形和三角形内角和公式可得∠BAC=36°. 详解:因为正五边形 ABCDE, 所以∠ABC=108°, 因为三角形ABC是等腰三角形, 所以∠BAC=36°, 故选A. 点睛:本题主要考查正五边形的性质和等腰三角形的性质,解决本题的关键是要熟练运用正五边形和等腰三角形的性质. 5. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的乘除及整式的加减一一排除即可． 【详解】A． 与不是同类项，不能进行加减，不符合题意； B． ，计算正确，符合题意； C．，原选项计算错误，不符合题意； D． ，原选项计算错误，不符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了整式的乘除及整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7. 如图，有一个公园有两个入口、三个出口，从入口A进入，从出口E离开的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得从入口A进入，从出口E离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：如图，画树状图得， 由树状图可知所有可能的结果有6种，其中选择从入口A进入，从出口E离开的只有1种结果， ∴选择从入口A进入，从出口E离开的概率为． 8. 关于的方程有实数根，那么的可能值是（ ） A. 4 B. 2 C. 0或2 D. 0或1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．分当，时分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，关于的方程是有实数根， 当时，∵关于的方程是一元二次方程，有两个实数根， ∴，且， 解得：且， 综上所述：整数的值可能是或． 故选：D． 9. 如图，菱形的边长为4，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，连接，则的长是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接EB．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EB，EC即可． 【详解】解：如图，连接EB． 由作图可知，MN垂直平分线段AB， ∴EA=EB， ∴∠A=∠EBA=45°， ∴∠AEB=90°， ∵AB=4， ∴EA=EB=2 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EBC=∠AEB=90°， ∴EC= 故选C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴在轴右侧，将该抛物线沿轴向下平移个单位长度后，得到的新抛物线在范围内与轴有一个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对称轴位置得到，再求出平移后抛物线解析式，利用开口向上二次函数在范围内与轴有一个交点，即和时函数值异号，列不等式求解，结合即可求解． 【详解】解：对于抛物线，由对称轴公式得对称轴为， ∵对称轴在轴右侧， ∴， 解得，排除C，D， 将抛物线向下平移个单位长度，得新抛物线解析式为：， 设，，则 ， ， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵新抛物线在范围内与轴有一个交点， ∴， 分两种情况： ①当，时，，解得； ②当，时，，不等式组无解； 又∵， ∴的取值范围为． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 分解因式：=___________________________． 【答案】2a（x+2）（x﹣2）． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：原式=2a（x2-4） =2a（x+2）（x﹣2）．故答案为2a（x+2）（x﹣2）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 12. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为_____． 【答案】 140 【解析】 【分析】根据频率估计概率解答即可． 【详解】解：由统计图知，随着实验次数的增加，点落在阴影部分的频率稳定在0.35， ∴点落在阴影部分的概率为0.35． ∴估计阴影部分的面积约为． 13. 某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要______个正五边形木片． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，正多边形的中心角的计算，等边对等角，确定是关键，根据题意得到正多边形每个内角，对应外角的度数，由此得到圆心角的度数，由此即可求解． 【详解】解：正五边形的每个内角为， ∴对应的外角的度数为， 如图所示，， ∴， ∴， ∴， ∴总共需要10个正五边形木片． 故答案为：10 ． 14. 如图所示，已知双曲线y=（x＜0）和 y=（x＞0），直线OA与双曲线y=交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y=交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y=交于点C，S△ABC=6，，则k=_____． 【答案】﹣4 【解析】 【分析】连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F，先证得S△OBC=S△ABC=6，由，得出S△OPB=2，S△OPC=4，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△OBE=，进一步得出S△PBE=，通过证得△BEP∽△CFP，得出S△CFP=2，然后根据S△OCF=S△OBC-S△OPB-S△CFP求得△OCF的面积为2，从而求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F． ∵OA∥BC， ∴S△OBC=S△ABC=6 ∵PB：PC=1：2， ∴S△OPB=2，S△OPC=4， ∵， ∴. ∵△BEP∽△CFP， ∴， ∴， ∴S△OCF=S△OBC-S△OPB-S△CFP=6-2-2=2， ∴k=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及了平行线的性质，三角形相似的判定和性质及不规则图形面积的求解，解答本题的关键是数形结合思想，有一定难度． 15. 如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点G，H，与交于点．若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，可得三边为，然后证明，则设，再证明，可设，最后由，建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：过点作于点，则 ∵， ∴ ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设 由折叠可得，， ∵， ∴ 同理可设， ∵ ∴， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 详解】解：原式 ． 17. 解不等式组：，并写出它的最小整数解． 【答案】 ，最小整数解为 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解为． 18. 如图，在中，点分别在上，，交于点O．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先由平行四边形的性质得，则，结合，得，再证明，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，学校的正南方向有一条东西走向的高速路，高速路出口位于学校的东南方向，位于公园的南偏西方向，学校位于公园的北偏西方向，公园与高速路出口相距140米． （1）求学校与公园之间的距离； （2）若大型货车的噪声污染半径为150米，当大型货车在高速路上行驶时，请通过计算说明学校是否在大型货车的噪声污染范围内？若在范围内，将计划在高速路靠近学校一侧安装隔音板，则至少需安装隔音板多少米（不计损耗）？（参考数据：，，，结果保留整数．） 【答案】（1）学校与公园之间的距离约为270米； （2）学校在大型货车的噪声污染范围内；至少需安装隔音板约108米． 【解析】 【分析】（1）过点作的平行线，过点作的垂线，进而求出的内角，过C点作的垂线构造直角三角形，利用特殊角、的三角函数值求解． （2）先计算点A到直线垂直距离，与噪音半径比较；若受影响，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作的平行线，过点作的垂线，两线交于点． 由题意得，． ∵，， ∴，， ∴， ∴； 过点作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴（米）． 答：学校与公园之间的距离约为270米． 【小问2详解】 如图，过点作的垂线，垂足为， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， 由（1）知，在中，，， ∴，， ∴学校在大型货车的噪声污染范围内． 设货车在点与点之间行驶时，学校受到噪声污染，连接、、则 ∵， ∴， ∴米． 答：学校在大型货车的噪声污染范围内；至少需安装隔音板约108米． 20. 如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E． （1）求证：． （2）作于点F，于点G．若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角可知，再根据相切可知，即可判定全等三角形； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为直径， ∴． ∵为直径，与相切于点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴，． ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，过圆心， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取10人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图表如下： 指标y数据统计表 患者 0.19 0.22 0.3 0.32 0.37 0.41 0.5 0.52 0.6 0.63 非患者 0.42 0.5 0.58 0.6 0.63 0.71 0.78 0.8 085 0.93 根据以上信息，回答下列问题： （1）在被调查的患者中，指标x的中位数是________，在被调查的非患者中，指标x的平均数是________，指标y的中位数是________； （2）将10名患者和非患者的指标x的方差分别记作和，则；（填“”“”或“”） （3）若来该院就诊的病人中有800名非患者，请你估计这800名非患者中指标y低于0.6的人数． 【答案】（1）0.23，0.42，0.67 （2） （3）估计这800名非患者中指标y低于0.6的人数为240人 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，平均数，方差与波动性之间的关系，用样本估计总体等等： （1）根据中位数和平均数的定义求解即可； （2）根据波动越大，方差越大，波动越小，方差越小，结合折线统计图即可得到答案； （3）用800乘以样本中非患者中指标y低于0.6的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：把患者中的指标x从低到高排列，处在第5位和第6位的指标分别为和， ∴在被调查的患者中，指标x的中位数是； 把在被调查的非患者中的指标y从低到高排列，处在第5位和第6位的指标分别为和， ∴在被调查的非患者中，指标y的中位数是； 在被调查的非患者中，指标x的平均数是； 【小问2详解】 解：由折线统计图可知，患者的指标x的波动程度比非患者的指标x的波动程度要大， ∴患者的指标x的方差比非患者的指标x的方差大， ∴； 【小问3详解】 解：人， ∴估计这800名非患者中指标y低于0.6的人数为240人． 22. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 【答案】（1）A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元 （2）共有三种购买方案，具体方案见解析 【解析】 【分析】（1）设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个，由此列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元； 【小问2详解】 解：设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个， 依题意，得 解得：， ∵m为整数， ∴m可取42，43，44， 故共有三种购买方案： 方案1：购买42个A型号纪念品， 28个B型号纪念品； 方案2：购买43个A型号纪念品， 27个B型号纪念品； 方案3：购买44个A型号纪念品， 26个B型号纪念品． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点，将直线绕点A顺时针旋转交x轴于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）设点D为反比例函数的图像与直线的唯一公共点，连接，试求的面积； （3）在（2）的条件下，点P为反比例函数位于第二象限图像上的动点，连接，并将射线绕点O顺时针旋转交反比例函数的图像于点Q，当，且点P在点D上方时，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）6； （3）． 【解析】 【分析】（1）待定系数法直接求解即可； （2）先求出解析式，然后根据函数唯一交点联立解析式，化简后令求解函数解析式，最后求出交点坐标，直接计算三角形面积即可； （3）先证相似，可得面积比即为相似比的平方得到边的数量关系，然后设未知数，解方程后求出函数解析式，最后联立解析式求交点坐标即可． 【小问1详解】 中，令， ∴， ∴． ∵，直线过点A，B， ∴，解得． ∴一次函数的表达式为：． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴． 可求得直线AD：． 联立，得． ∵只有唯一公共点，∴． ∴， ∴． 联立得． ∴， ∴． 【小问3详解】 作轴于点M，作轴于点N， ∵，易知． ∴． 当P在D上方的图像上，过点D作交于点G， ∴． 如图，过点G作轴于点H，过点D作交于点I， 可证． ∴． 设，，则，， ∴． ∴． ∴，． ∴直线：． 联立，得或（不合题意，舍去）． ∴P点坐标为． 【点睛】此题考查反比例函数的几何综合，解题关键是求函数的交点坐标即联立函数解析式求解即可． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）是， （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可． （2）分别代入，，易得点坐标，点坐标，设点坐标为，过作轴，可得，，①当时，，即，所以，②当时，，即，所以，所以． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，可得，，设，，所以，在由，可得，带入数值可得：，，所以，，，G过点作的垂线，垂足为，所以按照面积法可得的面积为，代入数值可得，所以，所以，因为，故，根据题意易得图形的抛物线为，然后分成两种情况分析①当在原抛物线上时，②当在翻折后的抛物线上时，根据，可得点坐标为和． 【小问1详解】 由题意可得抛物线，过点， 故代入上式：， 可得， 故抛物线的表达式为． 【小问2详解】 将，代入抛物线中，即， 解得：，， 故点坐标为，点的坐标为， 将，代入抛物线中， 解得：， 故点坐标为， 由题设点坐标为， 过作轴， ∴轴， ∴，， ①当时，， 即， ∴， ②当时，， 即， ∴， ∴． 【小问3详解】 将延翻折至，延长与轴相交于点，如图所示： 根据翻折的规律可得，， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 带入数值可得， 解得：，， ∴，，， G过点作的垂线，垂足为， ∴按照面积法可得的面积为， 代入数值可得， 解得， 故由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 原抛物线解析式，可化为， 故抛物线顶点坐标为， ∵过点作轴的垂线：，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形， ∴翻折后抛物线解析式为，即， ∴图形的抛物线为， ①当在原抛物线上时，如图： 设点坐标， ∴， 解得（舍），， ∴． ②当在翻折后的抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得，（舍）， ∴． 综上可得，点坐标为、． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，相似三角形、勾股定理解三角形，综合性较强，熟练掌握相关知识是解决这道题的关键． 25. 在平行四边形中，，分别为边，上两点． （1）当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； （2）如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①延长交于H，可证明，得到，则可证明，得到，则； ②如图所示，延长交于M，由平行四边形的性质得到，，证明，，得到，，则；设，则，，进而可得，即可得到；可证明，，设，则，则，据此可得答案； （2）延长交于M，由平行四边形的性质可得，，证明，，再证明，得到，求出，设，则由相似三角形的性质可得，，进而可得；再由，得到，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①如图所示，延长交于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是边中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴，， 设，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解；如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，即 ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴，解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南市市中区九年级八校出征定心测试数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 一个几何体按如图所示水平放置，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”是清代袁枚写的诗．苔花的花粉直径约为，将数据的相反数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 5. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一个公园有两个入口、三个出口，从入口A进入，从出口E离开的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程有实数根，那么的可能值是（ ） A. 4 B. 2 C. 0或2 D. 0或1 9. 如图，菱形的边长为4，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，连接，则的长是( ) A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴在轴右侧，将该抛物线沿轴向下平移个单位长度后，得到的新抛物线在范围内与轴有一个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 分解因式：=___________________________． 12. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为_____． 13. 某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要______个正五边形木片． 14. 如图所示，已知双曲线y=（x＜0）和 y=（x＞0），直线OA与双曲线y=交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y=交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y=交于点C，S△ABC=6，，则k=_____． 15. 如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点G，H，与交于点．若，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它的最小整数解． 18. 如图，在中，点分别在上，，交于点O．求证． 19. 如图，学校的正南方向有一条东西走向的高速路，高速路出口位于学校的东南方向，位于公园的南偏西方向，学校位于公园的北偏西方向，公园与高速路出口相距140米． （1）求学校与公园之间的距离； （2）若大型货车的噪声污染半径为150米，当大型货车在高速路上行驶时，请通过计算说明学校是否在大型货车的噪声污染范围内？若在范围内，将计划在高速路靠近学校一侧安装隔音板，则至少需安装隔音板多少米（不计损耗）？（参考数据：，，，结果保留整数．） 20. 如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E． （1）求证：． （2）作于点F，于点G．若，求的值． 21. 某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取10人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图表如下： 指标y数据统计表 患者 0.19 0.22 0.3 0.32 0.37 0.41 0.5 0.52 0.6 0.63 非患者 0.42 0.5 0.58 0.6 0.63 0.71 0.78 0.8 0.85 0.93 根据以上信息，回答下列问题： （1）在被调查的患者中，指标x的中位数是________，在被调查的非患者中，指标x的平均数是________，指标y的中位数是________； （2）将10名患者和非患者的指标x的方差分别记作和，则；（填“”“”或“”） （3）若来该院就诊的病人中有800名非患者，请你估计这800名非患者中指标y低于0.6的人数． 22. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点，将直线绕点A顺时针旋转交x轴于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）设点D为反比例函数的图像与直线的唯一公共点，连接，试求的面积； （3）在（2）的条件下，点P为反比例函数位于第二象限图像上的动点，连接，并将射线绕点O顺时针旋转交反比例函数的图像于点Q，当，且点P在点D上方时，求点P的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在平行四边形中，，分别为边，上两点． （1）当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； （2）如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $