精品解析：山东省济南市市中区2025-2026学年上学期九年级期末学情调研数学试题

2026年九年级上学期数学期末学情调研试题 （满分150分 时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（ ）   A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，找到从左面看到的图形即可．会从不同方向看出几何体的图形是解题的关键． 【详解】解：图2的左视图为： ， 故选：B． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握并利用两内项之积等于两外项之积的性质对式子变形整理是解题的关键．由题意根据两内项之积等于两外项之积列式整理，并代入要求的式子即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3. 一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的概念是关键． 设反比例函数解析式为，代入已知点求，再验证各选项点是否满足解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入，得， 对于A，，不是，故A错误； 对于B，，不是，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，不是，故D错误． 故选：C． 4. 把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的平移规律，熟练地掌握图象的平移规律是解决问题的关键．根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可． 【详解】解：把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位， 得． 故选：C． 5. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据统计图可得摸到红球的频率逐渐稳定在附近，则摸到红球的概率为，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴可估计袋子中红色玻璃球的个数为， 故选：B． 6. 如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：根据网格可得，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，求正切，证明是直角三角形是解题的关键． 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 8. 如图，是的直径．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，三角形的内角和定理等知识．根据直径所对的圆周角和三角形的内角和定理求出度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】A．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象应经过二、三、四象限，故此选项错误； B．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象与y轴正半轴相交，且经过一、二、四象限，故此选项错误； C．反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象应经过一、二、四象限，故此选项错误； D．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象经过一、二、四象限，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，其对称轴为直线，以下结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③；④抛物线一定经过点；⑤关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式．通过数形结合理解二次函数图象的性质是解题的关键．①由二次函数的图象开口方向，与轴交于点及对称轴可判断；②由二次函数图象的增减性可判断；③根据二次函数图象的开口方向、经过及对称轴可得出，，，将化为即可判断；④由，可将化为，再代入二次函数解析式中验证即可；⑤利用一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与轴交于点， ∴，， 又∵二次函数的图象与轴交于点，其对称轴为， ∴，， ∴，， ①∵，， ∴， ∴，故结论①正确； ②二次函数图象的对称轴为，且图象开口下， ∴当时，的值随值的增大而减小，故当时，y的值随x值的增大而减小；故结论②正确； ③∵，，， ∴，故结论③错误； ④∵， ∴， ∴， 当时，， ∴抛物线一定经过点，即抛物线一定经过点，故结论④正确； ⑤∵，， ∴可化为：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 即关于的方程有两个不相等的实数根，故结论⑤正确． 综上所述，正确的结论有①②④⑤共4个． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 已知为锐角，且，那么的度数为_______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图，以点O为位似中心，将缩小得到，若，的面积为4，则的面积为___． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查位似变换，由位似变换的定义求得相似三角形的相似比是解题的关键． 由位似的定义可得其位似比为，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得答案． 【详解】解： 由题意可知， ∵， ∴， ∴ ， ∵的面积为4， ∴的面积为． 故答案为：36． 13. 如图，点A，D分别在函数、的图象上，点B，C在x轴上．若四边形为矩形且矩形的面积为8，则k的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，设，则，然后根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵矩形的面积为8， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，正八边形和正方形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正方形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 根据正八边形、正方形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：八边形是正八边形，四边形是正方形， ，， ， ． 故答案为：． 15. 如图，线段，点为平面上一动点，且，点为线段的中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为___． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，取的中点，以为边向上作等边，作，垂足为，连接、，容易证明，则．由线段公理可得，，当、、三点共线时，取得最大值，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，取的中点，取的中点，以为边向上作等边，作，垂足为，连接、， ∵，点是的中点， ∴， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在直角中，， 在直角中，， 由旋转的性质可知，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由线段公理可得，，当、、三点共线时，取得最大值． 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，中位线的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段最值问题以及勾股定理，熟练掌握动点的轨迹类型是解题关键． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，，是上一点，于点，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似及相似三角形对应边成比例是解题的关键． 直接通过两角对应相等证明与相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知线段长度建立比例式，求解的长度． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18. 码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？ 【答案】（1） （2）100吨 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把代入函数解析式，求出函数值，再根据图象，即可解答． 【小问1详解】 解：设这个反比例函数表达式为， 根据题意，得，解得， 这个反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：当时，． 由图象可知当时，． 答：平均每天至少要装载100吨货物． 19. 数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵共有张卡片， ∴小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如图， 由图可得，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的有种， ∴抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为 20. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.2米．（参考数据：，，，） （1）求水平横管到水平线的距离； （2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）． 【答案】（1）1米 （2）0.3米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的判定和性质等: （1）过B作于F，，用三角函数解即可； （2）先证四边形为矩形，得出，米，再用三角函数解即可； 【小问1详解】 解：过B作于F，， ∵在中，，米，， ∴（米）． 答：水平横管到水平线的距离约为1米； 【小问2详解】 解：由题意知， ∴四边形为矩形， ∴，米， ∵米， ∴（米）， 在中，， ∵， ∴（米）， 又∵在中，（米）， ∴（米）， ∴米， 答：水平横管的长度约为0.3米． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）过程见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接OE，先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE，进而得出，再由，根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案； （2）先说明，再设的半径为r，并表示，，，然后根据对应边成比例得出，根据比例式求出半径即可． 【小问1详解】 证明：连接OE． ∵，， ∴∠ABC=∠BOE， ∴， ∴∠OED=∠BCD． ∵， ∴∠FEC=∠ACE， ∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE， 即∠FEO=∠ACB． ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠FEO=90°， ∴． ∵EO是的半径， ∴EF是的切线． 小问2详解】 ∵， ∴． ∵BF=2，． 设的半径为r， ∴，，． ∵， ∴， 解得， ∴半径是3． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键． 22. 如图，用一根的铁丝制作一个“日”字型矩形框架，的长不超过的长，铁丝全部用完．设矩形框架的一边长为x（单位：），所围成的矩形框架的面积为S（单位：）． （1）求出S与x之间的函数解析式，并直接写出x的取值范围； （2）当x的值是多少时，矩形框架面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，S的值最大，为600cm2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，计算即可得解； （2）根据二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：（1）由题意可得：， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：， 由（1）可得：， 当时，S的值最大，为． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的横坐标为，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）在轴上存在一点，使．求点的坐标． 【答案】（1）； （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用点坐标求出反比例函数表达式，再通过点横坐标求出点坐标，最后用两点坐标求一次函数表达式． （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，再将的面积拆分为与的面积之和，代入坐标计算面积． （3）先设轴上点的坐标为，求出和的边长，再根据相似三角形对应边成比例列方程，求解的值即可得解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为：； ∵点的横坐标为，且在上， ∴当时，， ∴， ∵点、在一次函数上 ∴ 解得， ∴一次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵一次函数与轴交于点， ∴令，得， ∴，即， ∴， ∵， ， ， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 当时，， ∵，， ∴比例成立，符合题意； 当时，， ∵， ∴比例不成立，不符合题意， 综上，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、三角形面积的计算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握函数表达式的求法、坐标与线段长度的转化及相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 24. 如图，抛物线的图象经过点，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点，连接，直线与y轴交于点D，与上方的抛物线交于点E，与交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得中有一个锐角与相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， （3）存在，点P的横坐标为或3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是综合运用以上知识点，正确做出辅助线，分类讨论思想的运用． （1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可； （2）点E在y轴的右侧，作轴，交于点G，推导出，得到，继而求出，的解析式为，设，则，推导出，进而推导出，解得，即可解答； （3）分类讨论：①当时，②当时， 逐项分析求解即可． 【小问1详解】 解：将和代入，得 解得 ∴抛物线表达式为． 【小问2详解】 解：存在，，理由如下： 如图，由题意，点E在y轴的右侧，作轴， 交于点G， 轴， ， ， 直线与轴交于点D， ， ， ， 令得，， 解得， ， 设所在直线的解析式为， 将，代入上述解析式得：， 解得：， 的解析式为， 设，则，其中， ， 解得． ∴， 点E的坐标为． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ①当时，过点O作于点N，延长至H，使， 连接交抛物线于点P，过点H作轴于点T， ，， 是的垂直平分线， ， ， 点P为所求点， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入，得 ， 解得：， 直线的解析式为， 联立，得， 即， 解得（不符合题意），， 点P的横坐标为， ②当时， 如图 则轴，则点P、C关于抛物线对称轴对称， ∵对称轴为直线，， 点P的横坐标为， 综上所述，点P的横坐标为或3． 25. 在中，，，点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，，． （1）观察猜想 如图1，当时，的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是______； （2）类比探究 如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由； （3）解决问题 如图3，当时，点E，F分别是，的中点，点P在线段上，当点C，P，D在同一直线上，且时，求出的长． 【答案】（1）1； （2），直线与直线相交所成的较小角的度数为；理由见解析 （3）BD的值为 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． （1）延长交的延长线于E，设交于点O，证明即可得结论； （2）设交于点O，交于点E，证明即可得结论； （3）首先证明，由可得，可得，同理（2）证明，得即可求解出的长． 【小问1详解】 解：如图1中，延长交的延长线于E，设交于点O， ∵，，线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，直线与直线相交所成的较小角的度数是． 故答案为1，． 【小问2详解】 解：，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为，理由如下： 如图2中，设交于点O，交于点E， ∵，，线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即直线与直线相交所成的较小角的度数为， ∴，直线与直线相交所成的较小角的度数为． 【小问3详解】 解：如图，当点P在线段上时， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段，， ∴，，， ∴， ∵点E，F是、的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，∴， ∴，， ∴， 同理（2）可证， ∴，即， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级上学期数学期末学情调研试题 （满分150分 时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（ ）   A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. -2 3. 一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（ ）． A. B. C. D. 4. 把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 6. 如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，其对称轴为直线，以下结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③；④抛物线一定经过点；⑤关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 已知为锐角，且，那么的度数为_______． 12. 如图，以点O为位似中心，将缩小得到，若，的面积为4，则的面积为___． 13. 如图，点A，D分别在函数、的图象上，点B，C在x轴上．若四边形为矩形且矩形的面积为8，则k的值为___． 14. 如图，正八边形和正方形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 15. 如图，线段，点为平面上一动点，且，点为线段的中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为___． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 如图，在中，，是上一点，于点，若，，，求的长． 18. 码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？ 19. 数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 20. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.2米．（参考数据：，，，） （1）求水平横管到水平线距离； （2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 22. 如图，用一根铁丝制作一个“日”字型矩形框架，的长不超过的长，铁丝全部用完．设矩形框架的一边长为x（单位：），所围成的矩形框架的面积为S（单位：）． （1）求出S与x之间的函数解析式，并直接写出x的取值范围； （2）当x值是多少时，矩形框架面积S最大？最大面积是多少？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的横坐标为，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）在轴上存在一点，使．求点的坐标． 24. 如图，抛物线的图象经过点，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点，连接，直线与y轴交于点D，与上方的抛物线交于点E，与交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得中有一个锐角与相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在中，，，点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，，． （1）观察猜想 如图1，当时，的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是______； （2）类比探究 如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由； （3）解决问题 如图3，当时，点E，F分别是，的中点，点P在线段上，当点C，P，D在同一直线上，且时，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $