1.4.1正方形的性质 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的定义、性质及应用，课堂导入从生活中的特殊平行四边形切入，通过思考正方形与矩形、菱形的关系，构建平行四边形家族知识脉络，以旧知为支架自然引入新知。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过性质证明和K型、旋转全等的变式训练发展推理能力，用几何语言表格和模型总结提升模型意识。学生能深化理解与应用，教师可获得系统教学资源提升效率。

1.3.1 正方形的性质 新课引入 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 特殊的平行四边形 思考；在我们的生活中除了矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？ 2 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 正方形的定义 还记得正方形的定义吗？正方形与菱形有怎样的关系？与矩形呢？ A B C D A B C D A B C D 3 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 AB=AD，∠A=90° ∴四边形ABCD是正方形 A B C D 4 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 正方形的性质 （1） 正方形是菱形吗？正方形是矩形吗？ 正方形既是菱形又是矩形 A B C D （2）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 5 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 正方形的性质 （3）正方形具有哪些性质？ A B C D 角： 边： 对角线： 对称性： 四个角都是直角. 四条边相等. 对角线相等且互相垂直平分. a a a a 轴对称图形（4条对称轴），中心对称图形. 6 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 正方形的性质 证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∠A=90°, AB=AD. ∴四边形ABCD是矩形 四边形ABCD是菱形 ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB=BC=CD=AD, AC=BD ∴ AO=CO=BO=DO， AC⊥BD. A B C D O 7 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 正方形的性质 性质 图形 几何语言 性质1： 四个角都是直角，四条边相等. 性质2： 对角线相等且互相垂直平分 A B C D A B C D O ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° AB=BC=CD=AD ∵四边形ABCD是正方形 ∴AC⊥BD，AC=BD OA=OB=OC=OD 8 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 正方形的对称性 例1：如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对， 分别是 △ADC 与 △ABC, △FCD与 △FCB, △FAD 与 △FAB． 变式：延长BF交AD于点E，若∠DFB＝140°，求∠CEF的度数． E 9 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 正方形的对称性 变式：如图，四边形 ABCD 是正方形，△CBE 是等边三角形，求∠AEB 的度数. 证明: ∵△BEC 是等边三角形， ∴BE = EC = BC = AB， ∴△ABE 是等腰三角形， ∴ ∠ABE = 90°-60° = 30 ° ∴∠AEB = = 75 ° 10 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 例2：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ 　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 正方形的对角线 11 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 正方形的对角线 变式： 对角线长为2cm的正方形，边长是多少？ A B C D O 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD=2cm， ∴OA＝OD＝1cm. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 ∴AD＝ cm 变式2：此时正方形面积是多少？ 12 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 例3：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. A B D C F E 解：BE=DF,且BE⊥DF. （1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF（ SAS）. ∴BE=DF. 正方形中的K型全等 13 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 (2)延长BE交DF于点M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. A B D F E C M 也可以用八字形 正方形中的K型全等 14 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 变式： 如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC. 证明两条直路 BP = AQ 且 BP⊥AQ. 结论：正方形中，互相垂直的线段相等。 正方形中的K型全等 条件改成：已知AQ⊥BP，证明AQ=BP 15 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 正方形中的K型全等 如图，在正方形 ABCD 中， AB ＝2，点 E 是 BC 边上一动点（不与点 B ， C 重合），连接 AE ，以 AE 为边，在 AE 右侧作正方形 AEFG ，连接 CF . 当点 E 运动时，∠ ECF 的大小会不会发生变化？如果会变化，请说明理由；如果不会变化，请求出∠ ECF 的度数. (课内P14) 16 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 正方形中的K型全等 解：∠ ECF 的大小不会变化.理由如下： 如答图，过点 F 作 FH ⊥ BC ，交 BC 的延长线于点 H . ∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形， ∴∠ H ＝∠ ABC ＝∠ AEF ＝90°， AE ＝ EF . ∴∠ EAB ＋∠ AEB ＝90°＝∠ AEB ＋∠ FEH . ∴∠ EAB ＝∠ FEH . 在△ ABE 和△ EHF 中， ∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°. 17 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 例4 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，正方形A′B′C′O 与正方形 ABCD 的边长相等. 在正方形A′B′C′O绕点 O 旋转的过程中，两个正方形重叠的部分与正方形ABCD 的面积有什么关系？请证明你的结论. 正方形中的旋转全等 18 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 正方形中的旋转全等 解：S重叠部分 = S正方形ABCD 证明:如图,正方形 OA′B′C′ 分别交 AB、BC 于点 E、F． ∵OC ＝ OB, ∠C′OA′＝∠COB ＝ 90°, ∠OCB ＝∠OBA ＝ 45°, ∴ ∠COF ＝ ∠BOE, 则△OFC ≌ △OEB． ∴S重叠部分＝ S△OEB+ S△OBF = S△OFC + S△OBF = S△OBC = S正方形ABCD . 19 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 变式：如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N.四边形MOND的面积是1，则AB= . 正方形中的旋转全等 20 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 正方形中的旋转全等 例5：如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD边BC的延长线上（CG>BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于点N。 （1）求证：AD=NE （2）判断DM与MF的关系 21 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 正方形中的旋转全等 变式：如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H，若AB=AG=1，求EB的长。 22 课堂小结 作业布置 新课引入 新知讲解 典例分析 小结 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 轴对称图形（4条对称轴）、中心对称图形 对称性 23 $