精品解析：2026年河南驻马店市正阳县名校协作体中考第三次阶段测试数学试题

2026年河南省初中学业水平考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出15元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 陀螺起源于中国新石器时代，由纺锤演变而来，明代《帝京景物略》首次明确其名称与玩法．如图是旋转中直立的“陀螺”的实拍图，关于其视图下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图和俯视图都不相同 3. 从物理学角度来看，目前公认的最小时间单位是普朗克时间（Planck time），在这个尺度之下，我们现有的时间和空间概念将失效．1普朗克时间约等于0.000…00054（小数点后有43个零）秒．则1普朗克时间用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 4. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知甲长方形相邻两边长相差6，乙长方形相邻两边长相差4，甲、乙两长方形的周长相等．若甲长方形的面积记为，乙长方形的面积记为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7. 如图，四个完全相同的球上分别标有数字，，0，6，将四个小球置于暗箱中摇匀后随机取出一个球记为m，不放回，再取出一个记为n，则能被2整除的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转得到对应的，交于点P．若，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形为正方形，点P为射线上一点，连接，将沿着射线翻折得对应，且点Q恰好在边上，射线与的延长线交于点N．若，，则的长度为（） A. B. C. D. 10. 现在，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩袋压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量不变，其体积与密度之间具有反比例函数关系，其图象关系如图所示．下列说法中正确的是（ ） A. 当羽绒服的体积为时，其密度为 B. 当羽绒服的密度增大时，羽绒服的体积在减小 C. 羽绒服的密度每增加，羽绒服的体积就减小 D. 当羽绒服的密度由增加到时，羽绒服的体积增大了 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：______． 12. “闪送”为一种速递平台，核心模式为“一对一急送，拒绝拼单”．某闪送员十月份速递统计数据如下表： 速递距离 小于或等于3公里 大于3公里 占比 速递费 40元/单 60元/单 则该闪送员十月份平均每单速递费是_________元． 13. 已知关于x的一元二次方程的两个根，满足，则的值为_________． 14. 如图，在扇形中，，以为直径作半圆，交于点D，若，则阴影部分的面积是_________． 15. 如图，为等边三角形，点为平面内一点，连接，得，已知．若为等腰直角三角形，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算或化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 【新情境AI智能教学】某科技公司研发的AI智能教学助手“智学伴”上线试运行后，受到广泛关注．为收集用户反馈，研发团队随机抽取了60名线下的试用者进行满意度评分，同时统计了4000名线上注册用户的使用评分（满分10分），并根据得分绘制了不完整的统计图和统计表： 两个用户群体对“智学伴”AI教学助手评分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 线下 7.7 8 m 线上 a b 7 （1）依据题意可得_________，_________，_________； （2）请你补全统计图，计算出线上注册用户评分不低于8分的总人数； （3）研发团队的产品经理认为线上用户群体对“智学伴”教学助手的打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 18. 如图，在平行四边形中，点E在边上，是四边形的外接圆． （1）尺规作图，过点E作的平行线，交于点F； （2）当时， ①求证：四边形是菱形； ②若的半径，，则点O到的距离为_________． 19. 阅读理解：如图1，若点，和，则． （1）若点，，则的面积为_________； （2）如图2，点A，B在反比例函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，若的面积是4.5，求k的值． 20. 无人机是一种由无线电遥控设备或自身程序控制装置操纵的无人驾驶飞行器，凭借其灵活机动、操作便捷等优势，在航拍测绘、农业植保、物流运输等多个领域得到广泛应用，成为当下备受青睐的智能设备．某智能设备销售公司看准市场机遇，计划购进一批不同型号的无人机进行销售．已知3架A型无人机和4架B型无人机的进价共计12万元；4架A型无人机和3架B型无人机的进价共计13.2万元． （1）求A，B两种型号的无人机每架进价； （2）若该公司计划购进这两种型号的无人机共12架（两种型号的无人机均购买），且A型无人机的数量不超过B型无人机数量的2倍，已知销售1架A型无人机可获利400元，销售1架B型无人机可获利300元，那么该公司如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 21. 【新课标应用意识】为精准测量高楼的高度，九（3）班数学兴趣小组开展实践探究并形成报告，相关测量方案、数据及说明如下： 活动主题 测量高楼的高度 准备工具 测角仪，卷尺等 测量示意图 测量方案 在地面上取点E，C，使点A，E，C在同一条水平直线上，在点E，C处放置测角仪器，测量高楼的顶端点B的仰角和，再测量点E与点C的距离． 测量数据 ，，， 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直．（参考数据：；，，） 请根据上述数据，计算高楼的高度（结果精确到）． 22. 平面直角坐标系中抛物线（a为常数）与y轴交于，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于点E，F，且点E为线段的中点，求的值； （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为18，直接写出的最大值． 23. 中，过点B作，垂足为B，点P为边上不与端点重合的一动点，过点C作，且交于点Q，连接，． （1）【问题发现】如图1，当时，与之间的数量关系是_________； （2）【类比探究】如图2，当时，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（1）的条件下，将沿翻折得对应，连接．若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省初中学业水平考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出15元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正数和负数，理解正数和负数表示一组具有相反意义的量是解题的关键． 利用正负数的意义解答即可． 【详解】解：∵收入记为正数， ∴支出记为负数． ∵支出15元， ∴记作元． 故选A． 2. 陀螺起源于中国新石器时代，由纺锤演变而来，明代《帝京景物略》首次明确其名称与玩法．如图是旋转中直立的“陀螺”的实拍图，关于其视图下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图和俯视图都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的定义，分别从正面、左面、上面观察该几何体，判断所得到的平面图形即可． 【详解】解：从正面看（主视图），看到的是上部为矩形、下部为三角形的组合图形，从左面看（左视图），看到的也是上部为矩形、下部为三角形的组合图形，且与主视图形状相同， ∴从上面看（俯视图），看到的是圆（包含圆心），不与主视图，左视图相同， 即主视图与左视图相同，俯视图与它们不同． 3. 从物理学角度来看，目前公认的最小时间单位是普朗克时间（Planck time），在这个尺度之下，我们现有的时间和空间概念将失效．1普朗克时间约等于0.000…00054（小数点后有43个零）秒．则1普朗克时间用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】D 【解析】 【详解】解：（小数点后有43个零）秒. 4. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）以及对顶角相等的性质，建立与的数量关系进行求解． 【详解】解：如图，设的对顶角为，  ，  ，  ，  ， ，  ． 5. 已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点所在的象限求出的取值范围，在数轴上表示即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， ∴选项B符合题意． 6. 已知甲长方形相邻两边长相差6，乙长方形相邻两边长相差4，甲、乙两长方形的周长相等．若甲长方形的面积记为，乙长方形的面积记为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据甲乙周长相等得到二者邻边长度之和相等，设参数表示出甲乙的两边长，再计算面积差，消去参数即可得到结果． 【详解】解：∵长方形周长相等，周长（邻边之和） ∴甲乙两长方形的邻边之和相等，设甲乙邻边之和为 对于甲长方形，相邻两边长相差， 设长为，宽为， ∴ 解得 ∴长为，宽为 ∴ 对于乙长方形，相邻两边长相差，同理可得长为，宽为 ∴ ∴． 7. 如图，四个完全相同的球上分别标有数字，，0，6，将四个小球置于暗箱中摇匀后随机取出一个球记为m，不放回，再取出一个记为n，则能被2整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：列表如下： 0 6 5 2 0 6 6 5 2 6 ∴一共有12种情况，其中能被2整除的有6种情况， ∴能被2整除的概率为． 8. 如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转得到对应的，交于点P．若，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作交于，由旋转可知，，，，解直角三角形得到，设，则，再证，再利用相似的性质求线段长即可． 【详解】解：过作交于， 由旋转可知，，，， 等腰中，，，， ，，则， ，， 设，则， 又， ， ， ，， ， 解得，即． 9. 如图，四边形为正方形，点P为射线上一点，连接，将沿着射线翻折得对应，且点Q恰好在边上，射线与的延长线交于点N．若，，则的长度为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠可知，利用勾股定理得出，进而得到，再利用勾股定理求出，然后证得，根据相似的性质求的长度即可． 【详解】解：由折叠可知， 正方形，，， 在中：，故， 设， 在中，即，解得， ， 设，， 由折叠，， ，即， 整理得， 解得，即， ， ， ， ，，代入：， 解得． 10. 现在，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩袋压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量不变，其体积与密度之间具有反比例函数关系，其图象关系如图所示．下列说法中正确的是（ ） A. 当羽绒服的体积为时，其密度为 B. 当羽绒服的密度增大时，羽绒服的体积在减小 C. 羽绒服的密度每增加，羽绒服的体积就减小 D. 当羽绒服的密度由增加到时，羽绒服的体积增大了 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象得出相关信息，将体积与密度之间的关系式列出来，将对应值代入求解即可． 【详解】解：∵体积与密度之间具有反比例函数关系， ∴设体积与密度之间的反比例关系式为， 将点代入得，解得； ∴体积与密度之间的反比例关系式为， A，通过图象可知，当羽绒服的体积为，其密度为，不符合题意； B，根据图象可知，体积随着密度的增加而减小，符合题意； C，由图可知，当密度为时，体积为，当密度为时，则体积为， ；当密度为时，则体积为，， 实际减小的非，不符合题意； D，根据图象可知，体积随着密度的增加而减小，密度增大体积应该是减小，不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，任取范围内一个x的值即可. 【详解】解：要使在实数范围内有意义，则被开方数， 解得， 即任意大于或等于的实数都符合要求. 故答案为（答案不唯一） 12. “闪送”为一种速递平台，核心模式为“一对一急送，拒绝拼单”．某闪送员十月份速递统计数据如下表： 速递距离 小于或等于3公里 大于3公里 占比 速递费 40元/单 60元/单 则该闪送员十月份平均每单速递费是_________元． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法，用不同区间的速递费乘以对应占比，求和即可得到平均每单速递费． 【详解】解：根据加权平均数计算公式可得：． 13. 已知关于x的一元二次方程的两个根，满足，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根，满足  ∴该方程有两个相等的实数根， ∴． ∵方程中一次项系数， ∴， 整理得， 解得． 14. 如图，在扇形中，，以为直径作半圆，交于点D，若，则阴影部分的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，再由扇形面积公式及三角形面积公式，结合进行求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ，， ∴． 15. 如图，为等边三角形，点为平面内一点，连接，得，已知．若为等腰直角三角形，则的长为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质可得，， 即得，进而由，可知点在以点为圆心，长为半径的圆上，得到，再分当点在的左侧和右侧两种情况，分别画出图形，利用锐角三角函数和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：为等边三角形，，  ，，  ，  ， ，且，  ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上，  ，  为等腰直角三角形，且，  ， 分两种情况讨论： 当点在的左侧时，如图，过点作交的延长线于点， 则，， ∴， ∴，， ， ∴； 当点在的右侧时，如图，过点作于点， 则， ， ∴，， ， ∴； 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算或化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照先计算绝对值、有理数乘方、立方根，再计算加减的顺序求解即可． （2）先计算括号内的分式减法，通分因式分解后，将除法转化为乘法，约分即可得到化简结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 【新情境AI智能教学】某科技公司研发的AI智能教学助手“智学伴”上线试运行后，受到广泛关注．为收集用户反馈，研发团队随机抽取了60名线下的试用者进行满意度评分，同时统计了4000名线上注册用户的使用评分（满分10分），并根据得分绘制了不完整的统计图和统计表： 两个用户群体对“智学伴”AI教学助手评分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 线下 7.7 8 m 线上 a b 7 （1）依据题意可得_________，_________，_________； （2）请你补全统计图，计算出线上注册用户评分不低于8分的总人数； （3）研发团队的产品经理认为线上用户群体对“智学伴”教学助手的打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【答案】（1）8，7.8，8 （2） 2200 （3）解：同意他的说法，理由如下： 线上用户的样本容量大，更具有代表性 【解析】 【分析】（1）求出评分为8分的人数，根据众数的定义求出的值，根据加权平均数的计算公式求出，中位数的计算方法求出即可； （2）根据（1）中求出的评分为8分的人数，补全条形图，用线上总人数乘以评分不低于8分所占的比例求出评分不低于8分的总人数； （3）根据样本容量大，更具有代表性作答即可. 【小问1详解】 解：线下试用者评分为8分的人数为，人数最多，故； ； 由统计图可知，线上打分为6分和7分的人数占比为，线上打分为6分，7分和8分的人数占比为， 故中间的两位数字都是8分， ∴； 【小问2详解】 解：补全条形图略； 线上注册用户评分不低于8分的总人数为； 【小问3详解】 略 18. 如图，在平行四边形中，点E在边上，是四边形的外接圆． （1）尺规作图，过点E作的平行线，交于点F； （2）当时， ①求证：四边形是菱形； ②若的半径，，则点O到的距离为_________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）①证明：∵是四边形的外接圆，， ∴，， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； ②3 【解析】 【分析】（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，易得四边形为平行四边形，则； （2）①先证明四边形是平行四边形，再根据圆内接四边形的性质，得到，推出为等边三角形，得到，即可得证；②求出的长，作，连接，垂径定理结合勾股定理求出的长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵平行四边形， ∴， 由（1）知：为等边三角形， ∴， 作，连接，则， ∴，即点O到的距离为3. 19. 阅读理解：如图1，若点，和，则． （1）若点，，则的面积为_________； （2）如图2，点A，B在反比例函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，若的面积是4.5，求k的值． 【答案】（1）6 （2）6 【解析】 【分析】（1）直接利用题干给出的公式，进行计算即可； （2）表示出点的坐标，利用题干给出的公式，进行计算即可. 【小问1详解】 解：∵，， ∴的面积； 【小问2详解】 ∵点A，B在反比例函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6， ∴， ∴的面积， ∴， ∵反比例函数的图象过第一象限， ∴， ∴， ∴. 20. 无人机是一种由无线电遥控设备或自身程序控制装置操纵的无人驾驶飞行器，凭借其灵活机动、操作便捷等优势，在航拍测绘、农业植保、物流运输等多个领域得到广泛应用，成为当下备受青睐的智能设备．某智能设备销售公司看准市场机遇，计划购进一批不同型号的无人机进行销售．已知3架A型无人机和4架B型无人机的进价共计12万元；4架A型无人机和3架B型无人机的进价共计13.2万元． （1）求A，B两种型号的无人机每架进价； （2）若该公司计划购进这两种型号的无人机共12架（两种型号的无人机均购买），且A型无人机的数量不超过B型无人机数量的2倍，已知销售1架A型无人机可获利400元，销售1架B型无人机可获利300元，那么该公司如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A型无人机每架进价2.4万元，B型无人机每架进价1.2万元 （2）购进A型无人机8架，B型无人机4架时可获得最大利润，最大利润是4400元 【解析】 【分析】（1）设A型无人机每架进价万元，B型无人机每架进价万元，再根据题意列方程组求解； （2）设购进A型架，则B型架，结合题意得到且为整数，进而得到，进而根据一次函数的性质得出最值即可． 【小问1详解】 解：设A型无人机每架进价万元，B型无人机每架进价万元， 则，解得， 答：A型无人机每架进价2.4万元，B型无人机每架进价1.2万元； 【小问2详解】 解：设购进A型架，则B型架， 则，且， 所以且为整数， 总利润， ，随增大而增大， 时最大： ，此时B型：架， 答：购进A型8架，B型4架，最大利润4400元． 21. 【新课标应用意识】为精准测量高楼的高度，九（3）班数学兴趣小组开展实践探究并形成报告，相关测量方案、数据及说明如下： 活动主题 测量高楼的高度 准备工具 测角仪，卷尺等 测量示意图 测量方案 在地面上取点E，C，使点A，E，C在同一条水平直线上，在点E，C处放置测角仪器，测量高楼的顶端点B的仰角和，再测量点E与点C的距离． 测量数据 ，，， 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直．（参考数据：；，，） 请根据上述数据，计算高楼的高度（结果精确到）． 【答案】建筑物的高度约米 【解析】 【分析】延长交于点，在，中，分别表示出，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，则，， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 答：建筑物的高度约米. 22. 平面直角坐标系中抛物线（a为常数）与y轴交于，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于点E，F，且点E为线段的中点，求的值； （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为18，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）设，利用中点及关于对称轴对称，列方程组求解； （3）根据抛物线的性质，要使得最大，则在上方的直线与抛物线的交点离对称轴越远，结合，可得至少使得抛物线的一段要经过顶点，得到最值，一条直线为，结合题意得出另一条直线为，联立抛物线解析式求得两点的横坐标，进而求差，即可求解． 【小问1详解】 解：由题可得，解得， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， 抛物线，对称轴为直线， 所以关于对称轴对称，又点为线段的中点， 所以，解得， 将代入，可得， 所以； 【小问3详解】 解：顶点，且， 则一条直线为，另一条直线为， ∴当时， 解得： 则的最大值为． 23. 中，过点B作，垂足为B，点P为边上不与端点重合的一动点，过点C作，且交于点Q，连接，． （1）【问题发现】如图1，当时，与之间的数量关系是_________； （2）【类比探究】如图2，当时，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（1）的条件下，将沿翻折得对应，连接．若，直接写出的长． 【答案】（1） （2）解：不成立，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即（1）中的结论不成立. （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，得到，即可； （3）根据翻折推出四边形为正方形，作，，证明，推出为等腰直角三角形，求出，分点在点的左侧和右侧两种情况，进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵翻折， ∴为等腰直角三角形，， ∴四边形为正方形， ∴ 当点在点左侧时， 作，，则， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴为等腰直角三角形，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 当点在点右侧时，同法可得：； 综上：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $