命题大赛 广东高二数学下学期阶段测试2025-2026学年(人教A版选择性必修第三册第六章)

**基本信息** 高二数学第六章计数原理单元卷，90分钟150分，以新情境与原创题为主，覆盖排列组合、二项式定理等核心知识，适配单元复习，培养数学应用与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8题40分|分类加法/分步乘法计数原理、组合数计算|路线问题（题1）、乡村振兴指导员安排（题6）等新情境设计| |多项选择|3题18分|排列组合综合、二项式系数性质|学科交流工作安排（题9）、杨辉三角探究（题11）体现文化传承| |填空|3题15分|二项式系数最大、着色问题、路径计数|四棱锥着色（题13）、格子路径（题14）强化空间观念| |解答|5题77分|组合应用、排列综合、二项式定理|医生选派（题15）、排队问题（题16）等综合题，突出数学语言表达现实问题能力|

应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末 高二数学下学期阶段测试 第六章 计数原理 （考试时间：90分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（新情境题）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地到丁地共有的路线条是（   ） A．8 B．11 C．14 D．48 2．（新情境题）甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（    ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 3．在的展开式中，的系数是（    ） A． B．5 C． D．10 4．（新情境题）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）． A．种 B．种 C．种 D．种 5．在的展开式中，含项的系数为（  ） A． B． C． D． 6．（新情境题）为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6位乡村振兴指导员到A，B，C，3地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（    ） A．180种 B．240种 C．480种 D．540种 7．在的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C．3 D．15 8．（原创）某超市举行抽奖活动，顾客从1到9的9个编号中依次不放回地选出3个不同的编号，，组成一张“抽奖卡”.若是3的倍数，该“抽奖卡”即为“中奖卡”，则“中奖卡”的数量为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（新情境题）某班要举办一次学科交流活动，现安排 这五名同学负责语文，数学，英语，物理学科相关工作． 则下列说法中正确的是（    ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有 种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有 240 种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人， 其余学科安排一人， 则有 60 种不同的方案 D．若每人至多安排一门学科，其中安排 和 负责语文、数学工作，其余三人中任选两人负责英语、 物理工作， 则有 12 种不同的方案 10．已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中各偶数项的二项式系数和为512 B．展开式中第5项和第6项的系数最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含的项的系数为210 11．（新情境题）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（原创）在展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则___________：第项的系数为___________． 13．（新情境题）现要用种不同的颜色对一个四棱锥的个面进行着色，要求有公共边的两个面不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数是_________． 14．（新情境题）如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为_________，若蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（新情境题）（13分）某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名医生参加赈灾医疗队. (1)若甲、乙必须参加，则有多少种不同的选法？ (2)若甲、乙均不参加，则有多少种不同的选法？ (3)若甲、乙两人至少有一人参加，则有多少种不同的选法？ (4)若医疗队中至少有2名内科医生和1名外科医生，则有多少种不同的选法？ 16．（新情境题）（15分）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数． (1)选5名同学排成一排； (2)全体站成一排，甲、乙不在两端； (3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端； (4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； (5)全体站成一排，男生排在一起； (6)全体站成一排，男生彼此不相邻； (7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻； (8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人； (9)排成前后两排，前排3人，后排4人； (10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边． 17．（15分）已知二项式的展开式中前项的二项式系数之和为． (1)求的值； (2)求的展开式中所有项的系数和； (3)求的展开式中的系数（用数字作答）． 18．（17分）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 19．（17分）已知函数. (1)当时，求的展开式中所有系数的和； (2)若，且. ①求的最大值. ②利用导数求的值； 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学下学期阶段测试 第六章 计数原理 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C C A A B B A A BCD AD BC 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 【答案】C 【解析】如果由甲地经乙地到丁地，则有种不同的路线；如果由甲地经丙地到丁地，则有 种不同的路线；因此，从甲地到丁地共有14种不同的路线.故选：C 2. 【答案】C 【解析】先从5个景点选出2个相同的，有种，再从剩下的3个景点选两个分配给甲乙二人，有， 所以两人恰好有两个景区相同的选法共有种.故选：C. 3. 【答案】A 【解析】由多选式乘法知，只需求出展开式中与项的系数，即可得解，由组合知识 可知，的系数为，项的系数为，故在的展开式中，的系数 是.故选：A 4. 【答案】A 【解析】先将五门课程分成3,1,1和2,2,1这样两种情况，再安排到三个学年中，则共有 种选修方式故选：A 5. 【答案】B 【解析】是6个相乘，需要依次从每个的三项（1，，）中选出 一项后相乘，就可得到展开式中的一项.得到项的方法有两类： 第一类是，6个的1个里选出，1个里选出，其余里 选出，相乘得，这类方法，共可得到个，合并同类项后即得到； 第二类是，6个的3个里选出，其余里选出，相乘得，这类方法， 共可得到个，合并同类项后即得到. 再将上述两项合并，得，因此项的系数为.故选：B. 6. 【答案】B 【解析】李指导员安排在C地上午时，张指导员有种安排方案，其余4位指导员有种安排方案， 则共有种安排方案；李指导员不安排在C地上午时，李指导员有种安排方案，张指导员 有种安排方案，其余4位指导员有种安排方案，则共有种安排方案； 综上，共有96+144=240种安排方案.故选：B 7. 【答案】A 【解析】由组合知识可知，含的求解，需要从5个因式中，3个因式选择，2个因式选择常数， 则含的项的系数是 .故选：A 8. 【答案】A 【解析】正整数被3除的余数可能是0，1，2，1到9中被3除的余数为0的集合为，被3除 的余数为1的集合为，被3除的余数为2的集合为，当的余数分别为， ，，，，，，，时，是3的倍 数，的情况有种，的情况有种，的情况有种， 的情况有种，的情况有种，的情况有种， 的情况有种，的情况有种，的情况有种， 共有168种情况，所以“中奖卡”的数量为168.故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 【答案】BCD 【解析】这五人每人任选一门学科，则不同的选法有 种，故A错误；根据若每人安排一门学科， 每门学科至少一人，我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工 作共有种 ，根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； 若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确；安排 和 负责语文、数学 工作，共有种安排，其余三人中任选两人负责英语、 物理工作，共有种安排， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故D正确；故选：BCD. 10. 【答案】AD 【解析】由题意知，所以n＝10，所以，令x＝1，则， 所以a＝1.对于A，展开式中各偶数项的二项式系数和为，故A正确； 对于B，因为n＝10，所以展开式中共有11项，中间项为第6项， 该项的二项式系数最大，该项的系数也是其二项式系数，故B错误； 对于C，展开式的通项为， 令，得，故展开式中不存在常数项，故C错误； 对于D，令，得r＝4，故展开式中含的项的系数为，故D正确.故选：AD. 11. 【答案】BC 【解析】对于A，第2026行共有2027个数，故A错误，对于B，由题意可得 ，B正确， 对于C，第48行的所有数字之和为 ，由于能被7整除，故第48行的所有数字之 和被7除的余数为1，C正确， 对于D，第行的和为， 当时，第行中去除为1的项的和为，第0行为1，故第行到第行中去除为1的项的和 为，故前17行中去除为1的项的和为，去除所有为1的项后， 则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为，可以看成一个首项为0，公差为1的等差 数列，前行共有个数，当时，，因此前17行中，去掉为1的项，共有136 项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为，则此数列前135项的和为， 则D答案错误.故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 【答案】 （2分）；（3分） 【解析】因为只有第项的二项式系数最大，所以，即．因为， ，所以，所以第项的系数为． 13. 【答案】（5分） 【解析】如图，对四棱锥的个面进行着色.可先给底面选一种颜色，有种选择， 再对侧面和侧面进行着色，若侧面和侧面同色，则有种选择， 此时，侧面和侧面各有两种选择，因此，有种着色方法； 若侧面和侧面不同色，则有种选择，此时，侧面和侧面只有一种选 择，因此，有种着色方法.综上所述，共有种着色方法. 14. 【答案】（2分）； （3分）. 【解析】蚂蚁从点爬到点需要走步，其中步横向，步纵向，所有路径数为从步中选择步 横向的组合数，所以；蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走， 如下： 共种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【解析】（1）根据题意，若甲、乙必须参加， 在剩下的7人中再选3人即可，有种选法；（3分） （2）甲乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有种选法；（6分） （3）在 9人中选出5人，有种选法，甲乙均不能参加的选法有种， 则甲乙两人至少有一人参加的选法有种选法；（9分） （4） ①队中有2名内科医生和3名外科医生，有种选法；（10分） （5） ②队中有3名内科医生和2名外科医生，有种选法；（11分） ③队中有4名内科医生和1名外科医生，有种选法，（12分） 由分类计数原理，可得种不同的选法. （13分） 16．【答案】(1)2520；(2)2400；(3)3720；(4)288；(5)720；(6)1440；(7)144；(8)960；(9)5040；(10)840. 【解析】（1）无条件的排列问题，排法有种；（1分） （2）先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种， 共有排法有种；（2分） （3）排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右 端的排法；（4分） （4）把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共 有种排法；（6分） （5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列， 共有种排法；（7分） （6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有 种排法；（9分） （7）对比（6），让女生插空，共有种排法；（10分） （8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列， 故共有种排法；（12分） （9）分步完成共有种排法；（13分） （10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列， 7人的全排列共有种，甲、乙、丙3人全排列有种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的 一种，所以共有种排法. （15分） 17．【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）二项式的展开式中前项的二项式系数之和为，（3分） （2）当时，令式子中的可得， 所以展开式中所有项的系数和为．（6分） （3）当时，二项式的展开式的通项为 ，（7分） 因为， （8分） 在中，即在中，令，可得， 即中含项的系数为；（11分） 在中，即在中， 令可得，所以的展开式中含项的系数. （14分） 所以的展开式中的系数为．（15分） 18．【答案】(1)31；(2)80；(3)105. 【解析】（1）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：确定1条直线； 第二类：以外的5个点可确定条直线； 第三类：从中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线． 根据分类加法计数原理，共有不同直线（条）．（4分） 法二：（间接法）： 可确定直线（条）．（4分） （2）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：从中取2个点，可得个三角形； 第二类：从中取1个点，可得个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形． 共有（个）三角形．（9分） 法二：（间接法）： 可确定三角形（个）．（9分） （3）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 分三类：第一类，从5个不共线点中取4个点，有个； 第二类，从5个不共线点中取3个点和4个共线点中取1个点，有个； 第三类，从5个不共线点中取2个点和4个共线点中取2个点，有个. 故共有四边形（个）. （17分） 法二：（间接法）： 可确定四边形（个）．（17分） 19．【答案】(1);(2)①；②. 【解析】（1）当时，，（1分） 令，得，（2分） 故的展开式中所有系数的和为；（3分） （2）①由题意得，， 通项为，（4分） 当时，，（5分） 因为，所以，解得， 因为，所以，故，（6分） 所以的通项为，（7分） 所以. 设为中的最大值，（8分） 则，故，解得，（10分） 因为，所以， （11分） 所以的最大值为. （12分） ②因为，（13分） 所以对关于求导得，（15分） 令，得. （17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 分类加法计数原理,分步乘法计数原理及简单应用 0.85 2 单选题 5 排列组合综合,分步乘法计数原理及简单应用 0.8 3 单选题 5 求指定项的系数,两个二项式乘积展开式的系数问题 0.75 4 单选题 5 实际问题中的组合计数问题,分组分配问题 0.75 5 单选题 5 多项式的展开式 0.65 6 单选题 5 实际问题中的组合计数问题,分组分配问题 0.6 7 单选题 5 求指定项的系数 0.45 8 单选题 5 代数中的组合计数问题 0.35 9 多选题 6 排列组合综合,分组分配问题,元素（位置）有限制的排列问题,分步乘法计数原理及简单应用 0.7 10 多选题 6 由二项展开式各项系数和求参数,求指定项的系数,奇次项与偶次项的系数和 0.65 11 多选题 6 二项式的系数和,分组（并项）法求和,杨辉三角 0.4 12 填空题 5 二项式系数的增减性和最值,求指定项的系数 0.7 13 填空题 5 分步乘法计数原理及简单应用,涂色问题 0.6 14 填空题 5 实际问题中的组合计数问题,分类加法计数原理,分步乘法计数原理及简单应用 0.4 15 解答题 13 实际问题中的组合计数问题,分类加法计数原理,分步乘法计数原理及简单应用 0.8 16 解答题 15 排列组合综合,全排列问题,元素（位置）有限制的排列问题,相邻问题的排列问题,不相邻排列问题 0.75 17 解答题 15 求指定项的二项式系数,二项展开式各项的系数和,两个二项式乘积展开式的系数问题 0.7 18 解答题 17 几何组合计数问题 0.6 19 解答题 17 简单复合函数的导数,求指定项的系数,二项展开式各项的系数和,求系数最大（小）的项 0.3 $