5.3 实际问题与一元一次方程——电话计费问题教学设计 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦电话计费问题，核心是运用一元一次方程解决方案选择问题，渗透分类思想与数学建模。通过“办电话卡选套餐”情境导入，衔接之前列方程解实际问题的知识，搭建学习支架引导探究。 资料特色在于结合生活实际（如电话套餐、流量包），通过互动探究、分组讨论及实战演练，培养学生模型意识与推理能力，利用PPT和微课动画辅助教学。既提升学生用数学解决实际问题的能力，也为教师提供结构化流程，提高课堂效率。

教学设计 课题 电话计费问题 科目 数学 年级 课时 1 课型 新授课 授课人 教学分析 课程标准分析 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义. 2.掌握等式的基本性质. 3.能解一元一次方程. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 教学内容分析 渗透数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力.由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，数量关系比较隐蔽，因此在探究过程中正确地列出方程是主要难点.突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系.方案选择问题，经常在生活中遇到，越来越被人们重视.数学教学适当结合这方面问题，可以增加学生的经济意识，使他们在面对相关方案选择问题时能作出较为合理的选择. 学情 分析 前面我们结合实际问题，讨论了如何分析数量关系和利用相等关系列方程.本设计针对学生的学习心态，抓住难点作为突破口，通过教师的组织、引导和学生的自主探索、合作交流，揭示各种数量关系和内在的客观规律，使他们能以愉快的心情，树立信心、循序渐进、层层深入，逐步解决问题.使探究过程活跃起来，在这样的氛围中可以更好地激发学生积极思维，得到更大收获. 资源环境分析 装有“智慧黑板”教学设备的教室 教学准备 教学 目标 1. 体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用，能够根据已知条件选择分类关键点对“电话计费问题”进行整体分析，从而得出整体选择方案. 2. 进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用方程模型解决问题的意识和能力. 重点 难点 重点：体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用，能够根据已知条件选择分类关键点对“电话计费问题”进行整体分析，从而得出整体选择方案. 难点：进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用方程模型解决问题的意识和能力. 教法 学法 根据学生的认知规律、教学内容及学生的实际情况，采用自主探究与合作交流相结合的教学方法.为了使课堂教学内容更充实，制作多媒体课件，实现信息技术与课堂教学的整合.多种手段的使用提高学生的学习兴趣.利用多媒体提升教学容量.多媒体可以比板演增加更多的习题数量，有效加大教学密度，更好地体现题目的难易梯度.灵活课堂训练方法.精心设计随堂练习，讲练密切结合，省略抄题时间，加大思维训练力度. 教具 资源 ppt多媒体课件，微课动画视频 设计 思路 1.让学生自己去尝试发现问题，而不是被动地回答老师的问题、接受老师的答案. 2.精心设计问题，因为好的问题设计能不断激发学生学习动机，还能给学生提供学习的目标和思维的空间，使学生自主学习真正成为可能.授课中通过一系列层层递进的问题，给学生充分的时间和广阔的思维空间，充分表达自己的想法，在此基础上解决问题并得出结论. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 资源应用 创设情境，引入新知 办电话卡时，工作人员会给我们说好几种套餐，你会怎样选择呢？ 学生积极交流，各抒己见，踊跃发言. 课件展示提出问题，目的在于引发和提高学生学习的积极性，启发学生的探索欲望，同时为本课学习做好准备和铺垫. 探究新知，讲授新课 互动探究 下表中有两种移动电话计费方式： 想一想 你觉得哪种计费方式更省钱？ 填填下面的表格，你有什么发现？ 哪种计费方式更省钱与“主叫时间有关”. 问题1 设一个月内移动电话主叫为 t min (t是正整数)，列表说明：当 t 在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费. 计费时首先要看主叫是否超过限定时间，主叫不超过限定时间，月使用费一定； 主叫超过限定时间，超时部分加收超时费. 考虑 t 的取值时，两个主叫限定时间 150 min和 350 min是不同时间范围的划分点. 当 t 在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下表： 问题2 观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法. (1) 比较下列表格的第2，3行，你能得出什么结论？ ①当t 小于或等于150时，方式一计费少(58元)； (2) 比较下列表格的第2，4行，你能得出什么结论？ 当t 大于150且小于 350时，存在某一个值，使得两种方式计费相等. 依题意 ，得 58＋0.25(t－150) = 88， 解得 t =270. (3) 当t 大于350时，两种计费方式哪种更合算呢？ 解析：当t大于350时，方式一的计费其实就是在108元的基础上，加上超过350min部分的超时费[0.25(t－350)]. 当t 大于350时， 方式一： 58＋0.25(t－150)= 108＋0.25(t－350)， 方式二： 88＋0.19(t－350)，所以，当t 大于350min时，方式二计费少. 想一想 (1)回顾问题的解决过程，谈谈你的收获. (2)解决本题的过程中，你觉得最难突破的步骤是哪些？本题中运用了哪些方法突破这些难点？ (3)电话计费问题的解决过程中运用一元一次方程解决了什么问题？ 例 小明和小强为了买同一种火车模型，决定从春节开始攒钱，小明原有200元，以后每月存50元；小强原有150元，以后每月存60元．设两人攒钱的月数为x（个）（x为整数）. （1）根据题意，填写下表： （2）在几个月后，小明与小强攒钱的总数相同？此时他们各有多少钱？ 解：(2) 根据题意，得200+50x=150+60x. 解得x=5． 所以150+60x=450． 答：在5个月后，小明与小强攒钱的总数相同，此时每人有450元钱. （3）若这种火车模型的价格为780元，他们谁能够先买到该模型？ 解：(3) 根据题意，由200+50x=780，解得x=11.6，故小明在12个月后攒钱的总数超过780元. 由150+60x=780，解得x=10.5， 故小强在11个月后攒钱的总数超过780元. 所以小强能够先买到该模型． 方法总结：解决此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分段讨论，从而得出整体选择方案. 做一做 移动公司推出两种智能手机上网流量包： 如何选择流量包更划算？ 解：设一个月内使用的流量为 x M，根据题意，当x 在不同范围内取值时，两种流量包计费如下表： (1) 当 x ≤ 320 时，流量包A 计费少(30元)； (2) 当 320＜x＜420 时，流量包A 计费少(＜50元)； (3) 当 x = 420时，两种流量包计费相等，都是50元； (4) 当 420＜x＜550 时，流量包B 计费少(50元)； (5) 当 x = 550 时，流量包B 计费少(50元)； (6) 当 x＞550 时，流量包B 计费少. 综上所述， 当月使用流量小于 420 M 时，选择流量包A 划算； 当月使用流量等于 420 M 时，两种流量包费用一样； 当月使用流量大于 420 M 时，选择流量包B 划算. 学生分组讨论. 提出问题，学生自己看书学习，培养他们的自学能力，之后让学生在小组中进行讨论，畅所欲言，体现学生学习的主体地位. 运用新知，实战演练 1.小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过 5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每吨加收2元.小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（　　） A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x-2）=44 C．9（x+2）=44 D．9（x+2）-4×2=44 2. 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每户每月用水不超过 7m3，则按 2 元/m3 收费；若每户每月用水超过 7 m3，则超过的部分按 3元/m3 收费. 如果某居民户去年12月缴纳了 53 元水费，那么这户居民去年12月的用水量为_____m3. 3. 某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一. A计时制：0.05 元/分；B包月制：60 元/月 (限一部个人住宅电话上网). 此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元/分. (1) 某用户某月上网时间为 x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； (2) 你认为采用哪种方式比较合算？ 解：(1) 采用计时制： (0.05＋0.02)×60x＝4.2x， 采用包月制：60＋0.02×60x＝ 60＋1.2x. (2) 由 4.2x ＝ 60＋1.2x，得 x＝20.又由题意可知，上网时间越长，采用包月制越合算．所以，当 0 < x < 20 时，采用计时制合算；当 x＝20 时，采用两种方式费用相同；当 x > 20 时，采用包月制合算. 4. 用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20时每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元.在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元.问：如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？ (复印的页数不为零) 解：设复印页数为x，依题意，列表得： (1) 当 x ＜20 时，0.12x 大于 0.1x 恒成立，图书馆价格便宜. (2) 当 x = 20 时，图书馆价格便宜. (3) 当 x 大于20时，依题意，得2.4+0.09(x－20) ＝ 0.1x. 解得 x ＝ 60. 所以，当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜； 当x等于60时，两者价格相同； 当x大于60时，复印社价格便宜. 综上所述：当 x 小于60时，图书馆价格便宜； 当 x 等于60时，两者价格相同； 当 x 大于60时，复印社价格便宜. 5. 小明可以到甲或乙商店购买练习本.已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠方法是：购买10本以上时，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠方法是：从第一本开始就按标价的80%出售. (1) 小明要买20本时，到哪家商店购买省钱？ (2) 买多少本时，到两个商店花的钱一样多？ (3) 小明现有24元钱，最多可买多少本练习本？ 答案：(1) 小明要买 20 本时，到乙家商店购买省钱. (2) 买 30 本时，到两个商店花的钱一样多. (3) 小明现有 24 元钱，最多可买 30 本练习本. 学生独立完成，板演结果并对题目进行分析讲解.全班同学互评互改，学生及时纠错，共同提高，进一步让学生巩固基本知识. 结合实际题目，运用所学知识. 小结巩固 1. 解决电话计费问题需要明确“哪种计费方式更省钱”与“主叫时间”有关. 2. 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分段讨论，从而得出整体选择方案. 学生回顾本节课学习内容，总结知识点，主动发言.教师补充. 通过总结，利用多媒体课件分层次展示本节课的知识点，使学生学到的知识能梳理得井井有条. 课后练习，拓展提升 作业： 完成教材上的练习题. 课后作业可以设成必做题和选做题，来满足不同学生的需求，使其新知识得到巩固. 板书设计 实际问题与一元一次方程---电话计费问题  1. 解决电话计费问题需要明确“哪种计费方式更省钱”与“主叫时间”有关. 2. 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分段讨论，从而得出整体选择方案.                                                        教学反思 本节课主要是借电话计费问题传授数学知识的应用.在前面已经讨论过由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的基础上，本节进一步以探究的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题.要探究的问题比前几节的问题复杂些，问题情境与实际情况更接近.本节的重点是建立实际问题的方程模型.通过探究活动，进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决问题的能力.由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确建立方程是难点，教师要恰当地引导，让学生弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，找出可作为方程依据的主要相等关系，但教师不要代替学生的思考.     学科网（北京）股份有限公司 $