精品解析：山东日照市 北京路中学2025-2026学年九年级下学期第三次阶段数学考试试卷

初三年级数学学科第三次模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的比较大小．熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小，是解题的关键． 根据“正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可． 【详解】解:两个负数比较大小，绝对值大的反而小． ． 故选B． 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 3. 3月22日是第三十四个“世界水日”，记者从2026年“节水中国行·安徽合肥”主题宣传活动上了解到，2025年我国开发利用非常规水量已超过250亿立方米，其中250亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：亿， 亿． 4. 如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：它的主视图是： ． 5. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式； 根据同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A.，原式错误； B.和不是同类项，不能合并，原式错误； C. ，计算正确； D. ，原式错误； 故选：C． 6. 3月14日是国际数学日．某数学小组在今年的数学日活动中策划了“逻辑快递”“图形幻方”和“的追击”三个游戏．如果小鼎和小成每人随机选择一个游戏参加，那么他们选择相同游戏的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出表格，列出所有等可能的情况数，然后根据概率求解即可． 【详解】解：记三个游戏分别为1，2，3， 列表如下： 1 2 3 1 2 3 可知一共9种情况，其中两人选择相同游戏的结果有3种，即，，， ∴选择相同游戏的概率． 7. 如图，是的直径，、是上的两点，，，且，与相交于点，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直径所对圆周角为直角和平行得到，再利用三角形中位线求出，最后通过勾股定理求得半径． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ，， 为的中位线， ， ， ，即圆的半径为． 8. 地理老师介绍道：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，小东根据地理教师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意，找出等量关系:长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，列出方程组，选出正确答案即可，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组． 【详解】设长江长为x千米，黄河长为y千米， 由题意得，， 故选：D． 9. 如图，在菱形ABCD中，过点A作，垂足E在CD的延长线上，过点E作，垂足为F．若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质证明，列式得，然后根据勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， （负值舍去）， ． 10. 二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，容易求得，结合，分两种情况讨论：当时和当时． 【详解】根据题意可得，二次函数的对称轴为，且开口向下，所以． （Ⅰ）当时，可得 解不等式，得 （不符合题意，舍去）． （Ⅱ）当时，可知且，可得 解不等式组，得 ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．） 11. 因式分解：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为： 12. 如图，已知四边形，添加一个条件：______可使得．（写出一个即可） 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，即可求解． 【详解】解：本题答案不唯一，只要能利用平行线的判定定理推出即可； 添加的条件可以是，理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 添加的条件也可以是，理由如下： ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 添加的条件也可以是，理由如下： ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 综上，可以添加的条件是，，（答案不唯一）． 13. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ，相似比为， 与的面积之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 14. 不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，求出的长，进而求出点的坐标，根据旋转的性质，以及点的坐标规律，判断每次一个循环，进而求出第次旋转后，点的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，交轴于点，连接，交轴于点， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 由旋转得， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， 同理得，， 将绕点逆时针每次旋转： ，，，，，，每次一个循环， ∵， ∴第次旋转后，点的坐标为． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算 （1）． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 当时，原式． 17. 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，以点C为圆心，以的长为半径作弧，交边于点E． （1）求的度数； （2）若，求由线段，和围成的图形的面积． 【答案】（1） （2）所求图形面积为 【解析】 【分析】（1）结合已知条件利用三角形内角和定理求出的度数，再由作图可得平分，得到，最后利用三角形外角的性质即可得解； （2）利用解含30度的直角三角形得到，结合已知条件利用勾股定理求得的长度，由可得出，最后利用三角形面积公式和扇形面积公式即可得解． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 由作图可得平分， ， ，， ． 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， ， ， ， ， ∴所求图形面积． 18. 如图1所示的茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”．某数学小组的同学想利用测角仪和皮尺测量茗阳阁的高度，他们的测量方案如下： 【测量方案】 第一步：如图2，在茗阳阁底部正东方向的点处测得塔顶的仰角为． 第二步：如图3，从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点，且测得点在点南偏东方向上（点，，在同一水平地面上）． 【问题解决】 根据以上信息，求茗阳阁的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】在图3上过点作于点，由题意可知，，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，根据等角对等边得到，可知，在图2的中，根据三角函数求解即可． 【详解】解：在图3上过点作于点，如解图所示． 由题意，得，，， 在中，， ． ． 在中，， ． ． 在图2的中，，， ． 答：茗阳阁的高度约为． 19. 【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食和剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况． 【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（牙齿生长长度用表示，单位为毫米，分为四组：；；；；）下面给出部分信息： 剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的数据为： 10，10，11，12，12，12，13，14，14 剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据为： 6，7，7，8，8，12，12，12，12，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25 【实践探究】 两种剂量组中豚鼠牙齿生长长度统计表 剂量 平均数 12 中位数 13 众数 12 剂量组中豚鼠牙齿生长长度扇形统计图 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由；（写出一条理由即可） （3）若养殖基地准备按和的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对牙齿生长长度低于的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？ 【答案】（1），， （2）剂量更适合豚鼠牙齿的生长，理由见解析； （3）估计大概有只豚鼠需要加大剂量投喂． 【解析】 【分析】（1）计算剂量组中豚鼠牙齿生长长度在各区间的数量，根据中位数的定义可得，根据众数的定义可得，根据剂量组中豚鼠牙齿生长长度在各区间的百分比之和等于，可得; （2）比较平均数的大小即可； （3）用两种剂量的豚鼠总数分别乘以对应的牙齿长度在区间所占的比例，相加即可． 【小问1详解】 解：（只），， ∵剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的有只，区间有（只），区间有（只），区间有（只）， ∴剂量组中豚鼠按照牙齿长度从小到大的顺序排列，第只和第只的牙齿长度分别为区间的第个和第个数据， ∴， ∵剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据中，出现次数最多的为， ∴， ， ∴． 【小问2详解】 解：剂量更适合豚鼠牙齿的生长． 理由：剂量组中豚鼠牙齿生长长度的平均数（）大于剂量组中豚鼠牙齿生长长度平均数（）． 【小问3详解】 解：（只） ∴估计大概有只豚鼠需要加大剂量投喂． 20. 设函数，（），当时，函数的最大值是，函数的最小值是． （1）求和的值； （2）直线与函数，的图象交于两点，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）利用反比例函数的性质解答即可求解； （）求出点的坐标，即得到线段的长，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴在每个象限内，随着的增大而减小，随着的增大而增大， ∵当时，函数的最大值是，函数的最小值是， ∴，， 把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图， 由（）可得，，， 当时， ，， ∴，， ∴， ∴． 21. 如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦ABDP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD． （1）求证：AFOD； （2）若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）延长DO交AB于点H，根据切线的性质得到OD⊥DP，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据垂径定理求出AH、BH，根据勾股定理求出OH，根据相似三角形的性质计算即可． 【小问1详解】 证明：延长DO交AB于点H， ∵DP是⊙O的切线， ∴OD⊥DP， ∵ABDP， ∴HD⊥AB， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴AFOD； 【小问2详解】 ∵OH⊥AB，AB＝8， ∴BH＝AH＝4， ∴OH＝＝＝3， ∵BHED， ∴△BOH∽△EOD， ∴＝，即＝， 解得：ED＝ ， ∵∠BAC＝90°，DH⊥AB，DH⊥DP， ∴四边形AFDH为矩形， ∴DF＝AH＝4， ∴EF＝ED﹣DF＝﹣4＝． 【点睛】本题考查的是切线性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 22. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 （1）下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 （2）已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 （3）无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 （4）若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 【答案】（1）②③ （2）①；②或 （3）该抛物线上存在二倍点，为，其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米 （4） 【解析】 【分析】（1）由题可知二倍点在直线上，再逐个判断与是否有交点即可； （2）①根据题意与联立求解即可判断； ②根据①中的二倍点直接写出解集即可； （3）先利用待定系数法求出，再与联立求解即可判断； （4）方法一：抛物线与联立，再两次运用二次方程根的判别式求解；方法二：同方法一，根据根的判定式得到，再参变分离求的范围． 【小问1详解】 解：由题可知二倍点在直线上， ①把代入，得，无解， ∴直线上不存在二倍点； ②把代入，得， 整理，得， 当时，时，， ∴双曲线上存在二倍点； ③把代入， 得整理得， 解得时，， ∴抛物线上存在二倍点； 【小问2详解】 ①解：由得， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， ∴该函数的二倍点为； ②或； 【小问3详解】 该抛物线上存在二倍点， ∵无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米， ∴抛物线过点， 将代入，得， ， ， 令， 解得或（舍去）， 此时， ∴该抛物线上存在二倍点，为， 其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米． 【小问4详解】 方法一：由题可知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得． ∵抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， ∵对于任意的常数b恒有两个二倍点， ∴可设关于的方程无解， 解得，即a的取值范围为， 方法二：易知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得， ∵抛物线对于任意的常数b恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， 即，对任意的常数恒成立， ， 令，知是关于的二次函数， 且开口向上，知当时，w有最小值且， ， ． 23. 【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作： （1）取，的中点D，E，在边上作； （2）连接，分别过点D，N作，，垂足为G，H； （3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置； （4）延长，交于点F． 小宏发现并证明了以下几个结论是正确的： ①点Q，A，T在一条直线上； ②四边形是矩形； ③； ④四边形与的面积相等． 【任务1】请你对结论①进行证明． 【任务2】如图2，在四边形中，，P，Q分别是，的中点，连接．求证：． 【任务3】如图3，有一张四边形纸，，，，，，小丽分别取，的中点P，Q，在边上作，连接，她仿照小宏的操作，将四边形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的长． 【答案】[任务1]见解析；[任务2]见解析；[任务3] 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得对应角相等，即，，由三角形内角和定理得，从而得，即Q，A，T三点共线； （2）梯形中位线的证明问题常转化为三角形的中位线问题解决，连接并延长，交的延长线于点E，证明，可得，，由三角形中位线定理得； （3）过点D作于点R，由，得，从而得，由【发现】得，则，，由【任务2】的结论得，由勾股定理得．过点Q作，垂足为H．由及得，从而得，证明，得，从而得． 【详解】[任务1] 证法1：由旋转得，，． 在中，， ∴， ∴点Q，A，T在一条直线上． 证法2：由旋转得，，． ∴，． ∴点Q，A，T在一条直线上． [任务2] 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点E． ∵， ∴． ∵Q是的中点， ∴． 在和中， ∴． ∴，． 又∵P是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． [任务3]的方法画出示意图如图2所示． 由【任务2】可得，． 过点D作，垂足为R． 在中，， ∴． ∴， ∴，． 在中，由勾股定理得． 过点Q作，垂足为H． ∵Q是的中点， ∴． 在中，， ∴． 又由勾股定理得． 由，得． 又∵， ∴． ∴，即， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、三点共线问题的证明、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、梯形的面积计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科第三次模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 3月22日是第三十四个“世界水日”，记者从2026年“节水中国行·安徽合肥”主题宣传活动上了解到，2025年我国开发利用非常规水量已超过250亿立方米，其中250亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 6. 3月14日是国际数学日．某数学小组在今年的数学日活动中策划了“逻辑快递”“图形幻方”和“的追击”三个游戏．如果小鼎和小成每人随机选择一个游戏参加，那么他们选择相同游戏的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，、是上的两点，，，且，与相交于点，则的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 地理老师介绍道：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，小东根据地理教师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，过点A作，垂足E在CD的延长线上，过点E作，垂足为F．若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．） 11. 因式分解：__________． 12. 如图，已知四边形，添加一个条件：______可使得．（写出一个即可） 13. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是____． 14. 不等式组解集是，则的取值范围是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后点的坐标为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算 （1）． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，以点C为圆心，以的长为半径作弧，交边于点E． （1）求的度数； （2）若，求由线段，和围成的图形的面积． 18. 如图1所示的茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”．某数学小组的同学想利用测角仪和皮尺测量茗阳阁的高度，他们的测量方案如下： 【测量方案】 第一步：如图2，在茗阳阁底部正东方向的点处测得塔顶的仰角为． 第二步：如图3，从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点，且测得点在点南偏东方向上（点，，在同一水平地面上）． 【问题解决】 根据以上信息，求茗阳阁的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 19. 【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食和剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况． 【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（牙齿生长长度用表示，单位为毫米，分为四组：；；；；）下面给出部分信息： 剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的数据为： 10，10，11，12，12，12，13，14，14 剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据为： 6，7，7，8，8，12，12，12，12，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25 实践探究】 两种剂量组中豚鼠牙齿生长长度统计表 剂量 平均数 12 中位数 13 众数 12 剂量组中豚鼠牙齿生长长度扇形统计图 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由；（写出一条理由即可） （3）若养殖基地准备按和的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对牙齿生长长度低于的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？ 20. 设函数，（），当时，函数的最大值是，函数的最小值是． （1）求和的值； （2）直线与函数，图象交于两点，求的面积． 21. 如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦ABDP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD． （1）求证：AFOD； （2）若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长． 22. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 （1）下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 （2）已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 （3）无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 拓展提升】 （4）若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 23. 【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作： （1）取，的中点D，E，在边上作； （2）连接，分别过点D，N作，，垂足为G，H； （3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置； （4）延长，交于点F． 小宏发现并证明了以下几个结论是正确的： ①点Q，A，T在一条直线上； ②四边形是矩形； ③； ④四边形与的面积相等． 【任务1】请你对结论①进行证明． 【任务2】如图2，在四边形中，，P，Q分别是，中点，连接．求证：． 【任务3】如图3，有一张四边形纸，，，，，，小丽分别取，的中点P，Q，在边上作，连接，她仿照小宏的操作，将四边形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $