余弦定理课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦正余弦定理及其应用，覆盖解三角形、面积计算、边角关系判断、平面几何综合等高考核心考点，依据高考评价体系分析近五年真题，明确解三角形占30%、面积与周长综合占25%的高频考点分布，归纳选择、填空、解答题三大题型的解题策略。 课件亮点在于“真题溯源+变式拓展+素养提升”，如以2024河南濮阳期末题为例，通过正弦定理化边为角结合辅助角公式求角，培养数学思维中的逻辑推理能力，针对“边角互化”“面积公式应用”等关键技巧构建答题模板，帮助学生掌握得分要点，教师可依托课件系统开展专题复习，提升备考效率。

余弦定理 课 前 预 习 知识点 三角形中边与角之间的关系 1.在中,内角,,所对的边分别为,, . （1）若,则, 为______三角形; （2）若,则, 为______三角形; 钝角 直角 （3）若且且 ,则 ,, , 为______三角形. 锐角 课 前 预 习 2 2.射影定理 在 中, ① ___; ② ___; ③ __. 课 前 预 习 3 探究点一 利用正、余弦定理解三角形 例1 [2024·河南濮阳高一期末] 在中，内角，， 的对边分 别为，，，已知 . （1）求角 的大小； 解：由 及正弦定理得 ， 因为，所以 ， 则 . 因为 ，所以 ， 所以，所以 . 课 中 探 究 4 例1 [2024·河南濮阳高一期末] 在中，内角，， 的对边分 别为，，，已知 . （2）若的面积为，周长为18，求 的值. 解：因为,所以 ， 由余弦定理得 ，解得 . 课 中 探 究 5 变式 已知，，分别为的三个内角，， 的对边，且 . （1）求 ； 解：由 及正弦定理得 ， 即 ， 所以 ， 因为，所以，即 ， 又 ，所以，即 . 课 中 探 究 6 变式 已知，，分别为的三个内角，， 的对边，且 . （2）若，且的面积为，求， . 解：由，，得 ， 由余弦定理得 ，所以 ， 又，所以，或， . 课 中 探 究 7 ［素养小结］ （1）一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑 用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多 用正弦定理；如果以上特征不明显，则两个定理都有可能用． （2）正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往 往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质， 如内角和为<m></m> 、大边对大角等． 课 中 探 究 8 拓展 在中,内角,,所对的边分别为,,, 的面积记为 ,且满足 . （1）求 ; 解：因为,所以 , 所以 . 又 ,所以 . 课 中 探 究 9 拓展 在中,内角,,所对的边分别为,,, 的面积记为 ,且满足 . （2）若,求 的取值范围. 解：由正弦定理得 ,所以 , . 课 中 探 究 10 因为,所以 , 所以 , 所以 . 故的取值范围为 . 课 中 探 究 探究点二 正、余弦定理在平面几何中的应用 例2 如图，在中， ，，， 为 内一点，且 . （1）若，求 的长； 解：在中，, ，则，所以 ， 所以 . 在 中，由余弦定理得 ，所以 . 课 中 探 究 12 例2 如图，在中， ，，， 为 内一点，且 . （2）若 ，求 . 解：设 ，则 , . 在中，因为 ， 所以 . 在中， , 所以 ，即 ， 所以 ，即 . 课 中 探 究 13 变式 [2024·河北武邑中学高一月考] 如图所示，在平面四边形中， ， ，，， ． （1）求 的长； 课 中 探 究 14 解：在 中，由余弦定理得，所以 ， 由余弦定理得 ， 所以 ， 所以 . ，所以 ． 课 中 探 究 变式 [2024·河北武邑中学高一月考] 如图所示，在平面四边形中， ， ，，， ． （2）若与交于点，求 的面积． 解：由（1）可知， 为等边三角形，所以 ，. 在 中，由余弦定理得 ， 所以 ， 课 中 探 究 16 在中，由正弦定理得 ， 即，解得 ， 所以 ． 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 运用正、余弦定理求解三角形时，很重要的一步是找所求的边或角 所在的三角形，若所求的边或角所属的三角形不只一个，则要选用 已知条件较多的三角形进行求解. 课 中 探 究 18 探究点三 证明三角形中的恒等式 例3 在中,内角,,所对的边分别为,, .求证： （1） ； 证明： . 课 中 探 究 19 例3 在中,内角,,所对的边分别为,, .求证： （2） . 证明：由余弦定理, , 得 ， 整理得 . 由正弦定理得 . 课 中 探 究 20 变式 在中，内角，，所对的边分别为，，.已知 是边上的中线，求证： . 证明：设， ， 则 . 在 中，由余弦定理得. 在 中，由余弦定理得 . 课 中 探 究 21 ， ， 整理得，即 ， 又， ， 即 . 课 中 探 究 ［素养小结］ （1）证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式 上一般有：左<m></m> 右、右<m></m> 左或左<m></m> 中<m></m>右三种. （2）利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是 把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系;二是把边的关系通过 正弦定理转化为角的关系. 课 中 探 究 23 1.在中，内角，，所对的边分别为，，，若 的 面积为，且，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 . 因为，，所以 ， 所以.因为，所以， 又 ，所以 .故选D. √ 课 堂 评 价 24 2.[2024·江苏苏州高一期末]在中，内角,, 所对的边分别为 ,,，若，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由，得 ，即 ，由余弦定理得 ， 又 ，所以 .故选B. √ 课 堂 评 价 25 3.[2024·重庆巴蜀中学高一月考]在中，内角，， 的对边分 别为，，，若 ,，且，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 ， 由余弦定理得 ， 所以，由正弦定理得 .故选B． √ 课 堂 评 价 26 4.在中，内角，，所对的边分别为,, ，若 ，则 的形状是( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 [解析] 由题得，即 ，由正弦定理及 余弦定理得，整理得，故 为等腰三 角形. √ 课 堂 评 价 27 5.已知,,分别为的三个内角,,的对边，若 ， ，则 的面积的最大值为____. [解析] 由 及正弦定理得 ，即 ,化简得 ，由余弦定理可知 ， 可得,又,. （当且仅当时取等号）,则. 设的面积为 ，则， 的面积的最大值为 . 课 堂 评 价 28 1.解决三角形的综合问题，除灵活运用正弦定理、余弦定理及三角形 的有关知识外，一般还要用到三角函数、三角恒等变换、向量、方 程等知识.掌握这些知识是解题的关键. 备 课 素 材 29 例1 [2025·河北石家庄高一期中] 在中，内角，， 所对的 边分别为，，，已知 （1）求角 的大小； 解： 由题及正弦定理得 ， 又 ， 所以，又 ， 所以，即 ， 因为 ，所以，所以 ，解得 备 课 素 材 30 例1 [2025·河北石家庄高一期中] 在中，内角，， 所对的 边分别为，，，已知 （2）若，的面积为，求 的周长， 解： 由题知，解得 ， 所以 ， 所以的周长为 备 课 素 材 31 例1 [2025·河北石家庄高一期中] 在中，内角，， 所对的 边分别为，，，已知 （3）若为锐角三角形，求 的取值范围. 解： 由（1）知，则，所以 解得 ，所以 ， 又，所以， 所以 的取值范围为 备 课 素 材 32 例2 在中，内角，，的对边分别是，， ，且 （1）求角 的大小； 解： 由 及正弦定理得 ， 即 ， 即，即 ， 所以，又 ，所以 备 课 素 材 33 例2 在中，内角，，的对边分别是，， ，且 （2）若，且，求 的面积. 解： 由，可得，则 ， 因为，所以 ， 因为 ，所以 ， 由①②可得，解得 故的面积为 备 课 素 材 34 2.在判断三角形的形状时，经常用到以下结论： （1）为直角三角形或 或 ； （2）为锐角三角形且 且 ； （3）为钝角三角形或 或 备 课 素 材 35 例3（1）在中，内角，，所对的边分别为，， ，若 ， ，则( ) A.为直角 B.为钝角 C.为直角 D. 为钝角 [解析] 由及正弦定理得 ， 则，又 ，所以由余弦定理得 ，可得 ， 所以，所以，，故选 √ 备 课 素 材 36 （2）在中，内角，，的对边分别为，， ，若 ，则 ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 [解析] 由，得，所以 ，所以C为钝 角，因此 一定是钝角三角形. √ 备 课 素 材 37 3.与平面多边形有关的问题，可以转化为三角形中的边或角问题，借 助余弦定理或正弦定理来解决. 例4 如图，在四边形中，， ， 是等边三角形. （1）若 ，求 的面积； 解： 在 中，由余弦定理可得 ，则 因为是等边三角形，所以 的面积 备 课 素 材 38 例4 如图，在四边形中，，， 是等边三角形. （2）若，求 的面积； 解： 在 中，由余弦定理可得 ，则 ， 因为是等边三角形，所以 ， 则 的面积为 所以 ， 备 课 素 材 39 例4 如图，在四边形中，，， 是等边三角形. （3）求 的面积的最大值. 解： 设 ， . 在中，由正弦定理可得 ，则 ， 由余弦定理可得 ， ， 则 ，所以 的面积 ， 备 课 素 材 40 因为 ， ， 所以 ， 当 时，取得最大值，所以 的面 积的最大值为 备 课 素 材 练习册 42 1.已知的内角，，所对的边分别为，， ,若 ，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由及正弦定理得，则 ， 由余弦定理得，可得 ， 所以 .故选D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 2.在中，内角，，的对边分别为，，，且 , ,,则 的面积为( ) A. B. C.3 D.4 [解析] 由及正弦定理得 .由余弦定理可得 ，可得，所以， 则 的面积为 .故选B. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 3.已知的内角，，所对的边分别为,,，若 的面 积为,,，则 的周长等于( ) A. B. C. D. [解析] 因为,，所以 ，又因为 ，所以 ， 所以，所以的周长为 ，故选B. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 4.已知的内角,,所对的边分别为,, ,若 ,则 ( ) A. B. C.或 D.或 [解析] , , 由正弦定理可得 , , , ,,或 .故选C. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 5.[2024·合肥高一期末]在中，内角,,的对边分别为,, ， 若，且，则 ( ) A.1 B. C. D.2 [解析] 因为，所以 ， 由余弦定理得，则 ， 即， 由余弦定理得 ， 所以，又，所以 .故选A. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 6.如图，，，，四点共圆，其中 为直径， ，， ，则 的面 积为( ) A. B. C. D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 [解析] 在中，因为， ，， 所以由余弦定理得 ， 所以 . 易知和 均为直角三角形， 所以， ， 又 ，所以 的面积 .故选C. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 7.在中，，若为的外心，且 ， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由为的外心，得在上的投影向量为， 在上的投影向量为，所以 ， ，可得， . 由余弦定理得， 又 ，所以. 故选C. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 8.[2025·广西河池高一期中]已知的内角，， 所对的边分别 为，，，， ，且 的面积为，则 的周长为( ) A. B. C. D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 由及正弦定理得 . 由及余弦定理得 ， 整理得，代入化简得 . 由余弦定理得， 又 ，所以 ，所以 ，可得 ， 所以 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 9.如图，在中，点在上， ， ，，，则 的 长度为___. 4 [解析] 由题意知 ， 中，由余弦定理可得，所以 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 10.[2024·广州执信中学高一月考] 如图，在锐角三角 形中，边上的中线 的长度为3，且 ， ． （1）求边 的长； 解：因为 ， 所以，所以 . 在中，由正弦定理得 ， 即，解得 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 10.[2024·广州执信中学高一月考] 如图，在锐角三角形中， 边上的中线的长度为3，且， ． （2）求 的面积． 解：因为， 为锐角三角形，所以 ， 在 中，由余弦定理得， 解得 或 ， 又 ，所以，所以 ， 所以的面积为 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 11.在中，内角,,的对边分别为,, ，且 ，则( ) A. B. C. D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 由 及正弦定理得， 因为 ，所以 ，则， 即，又 ，所以，所以， 则，所以 ，故A，C错误； 由余弦定理可得 ，故B正确， D错误.故选B. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 12.（多选题）[2025·辽宁沈阳高一期中]在中， , ,，点为边 上一动点，则( ) A. B.当为边上的高时， C.当为边上的中线时， D.当为角的平分线时， √ √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 对于B，由题可得 ， 又 ，所以 ，所以B错误； 对于C，如图所示， 取的中点，连接， 则，所以 ， ，所以 ，所以A正确； 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 在中，由余弦定理得 ，可得，所以C正确； 对于D，由题得 ，由 ，可得 ， 可得，所以D正确.故选 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在中，内角,,所对的边分别为,,，若 ， ，，则 __________． [解析] 因为，所以 ， 由正弦定理得由余弦定理得 ， 即，整理得，解得 ，所以 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 14.在中，内角，，的对边分别为，， ，且 . （1）求证： ； 证明：由及 ， 得 ， 由正弦定理得 ， 所以 ， 则 或 （舍去）， 所以，即 ， 所以 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 14.在中，内角，，的对边分别为，， ，且 . （2）求证： ； 证明：由（1）知， ， 所以 ， 由余弦定理得 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以，整理得 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 14.在中，内角，，的对边分别为，， ，且 . （3）若，求 . 解：因为，，所以 ， 所以,所以 ， 所以,, ， 故 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 15.[2024·河南洛阳栾川一中高一月考]如图， ,是等腰直角三角形的斜边 的三等 分点，则 ( ) A. B. C. D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 [解析] 设三角形的直角边长为3，则斜边长为 ， 因为,为 的三等分点，所以 . 在 中，由余弦定理得 ， 因为为锐角，所以 ．故选D. 在中，由余弦定理得 ， 则,易知， 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 16.在中，内角，，的对边分别为，，，已知 且 . （1）求 的值； 解：由及 ，得 . 由及正弦定理得 ，故 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 16.在中，内角，，的对边分别为，，，已知 且 . （2）设，求 的值. 解：由得 ， 由，可得，即 . 由余弦定理 ，得 ， ， ， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 $